浙江省名校协作体2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷（含解析）

浙江省名校协作体2026-2027学年高二上学期开学数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知不共线向量，满足向量与方向相同，则实数（

）A．2 B．1 C． D．3．已知复数为虚数单位，)，则“”是“为实数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．将边长为的正绕直线旋转一圈，则所得几何体的内切球的表面积等于（

）A． B． C． D．5．由斜二测画法得到的一个水平放置的的直观图是如图所示的等腰三角形，其中，底角为，则在水平放置图中，的边上的高为（

）A． B． C． D．6．已知关于的方程有实根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知函数与直线在上有且仅有个交点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．在中，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知为同一试验中的两个事件，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则对立C．若，则不互斥D．若，则相互独立10．如图，内角的对边分别为为边上一点，且，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则角C．若，则 D．的最小值为11．已知定义在上的函数满足对任意实数恒成立，且，则下列结论正确的是（

）A．B．为奇函数C．至少有两个零点D．对任意正整数恒成立三、填空题12．已知复数（为虚数单位），则的虚部为__________.13．已知平面经过正方体的顶点，平面平面，平面平面，平面平面，则直线与所成角的余弦值为______.14．已知函数，其中为实常数.若，则__________;若存在直线与的图象有无穷多个交点，则__________.四、解答题15．已知平面向量与的夹角为.(1)若向量与垂直，求实数的值;(2)求向量与的夹角的余弦值.16．在中，角的对边分别为.已知向量满足.(1)求角的大小;(2)若的面积为，外接圆面积为，求的周长.17．某地交通部门为了解市民对新能源汽车的续航满意度，随机抽取了名新能源车主进行问卷调查，统计了他们实际驾驶中的百公里电耗（单位:度），并将这个数据作为样本，将样本分成五组:，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值，并估计该地新能源车主驾驶中的百公里电耗的第百分位数;(2)已知样本数据落在的平均数是，方差是，落在的平均数是，方差是，求这两组数据合并后的平均数和方差;(3)已知在百公里电耗为和的车主中，分别有名和名女性.现从这两个区间的车主中各随机抽取人参加该地交通部门组织的“低碳出行”市民座谈会，求抽取的人中恰好有名女性的概率.18．如图，在四棱锥中，底面，，．

(1)若，求证：平面；(2)若平面平面，（i）求四棱锥体积的最大值；（ii）若二面角的正弦值是二面角的正弦值的两倍，求．19．已知函数.(1)判断的零点个数;(2)若，且，求证:;(3)若，且，求的最大值.参考答案1．D解析：，则.2．A解析：因为向量与方向相同，所以．又因为向量，不共线，则等式两侧向量，的对应系数相等，所以，解得，即（负的舍去）．故．3．C解析：因为复数为虚数单位，)，所以，所以为实数.4．B解析：作旋转体的轴截面，如下图，因为是等边三角形，，所以，，设所得几何体的内切球的半径为，如图，为切点，则在直角中，，所以，所以所得几何体的内切球的表面积等于.5．A解析：过点作轴的平行线，交于点，再过点作轴的垂线，交于点，如图：在直观图中，，底角为，．在中，．在中，．利用斜二测画法还原出原图，作，垂足为点，如图：由斜二测画法知．6．D解析：令，由指数函数性质得，原方程变形为关于的二次方程：，即.令，则，所以二次函数是开口向上，对称轴为，因此函数在上单调递增，且.所以函数在上的值域为，因此原方程要有实根，则，由对数函数的性质，解得，即的取值范围是.7．B解析：，令得，解得，要使时有且仅有3个交点，即可取0、1、2，时对应超出区间，因此，解得，8．A解析：令，则，有，则，若，则，若，则，即或，当时，有，又且，故，则；当时，有，又，则或，即（舍）或，故；综上所述：.9．CD解析：A：概率大小无法推出事件的包含关系.例如掷骰子，事件为“掷出偶数”，；事件为“掷出1点”，，满足，但，故A错误.B：对立事件需满足且，仅无法推出；例如从1~10中任取一数，，，，但不对立，故B错误.C：若互斥，则，与矛盾，因此必不互斥，故C正确.D：由得，则，满足相互独立的定义，故D正确.10．BCD解析：对于选项A：由题意得，，因为，，，所以，所以，故A错误；对于选项B：由，则，则，由A知，，故，故，故B正确；对于选项C：由，则，故，由，则，则，故，；由，，则，由正弦定理可得，则，，故，故C正确；对于选项D：由正弦定理得，又，故，令，因为，所以，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故D正确.11．ACD解析：选项A：令，代入不等式得：令，代入不等式得：因此，A正确.选项B：令，得，代入，解得；令，得，解得.故，而，，因此不是奇函数，B错误.选项C：令，代入不等式得，即对任意恒成立，故，是一个零点.令与，可推得，是另一个零点.因此至少有两个零点，C正确.选项D：先证明对任意正整数,.当时,,成立；假设当(为正整数)时,成立,令,代入得，代入,得，当时,,两边约去，得,即时也成立.由数学归纳法,对所有正整数,.于是，，作差得，对任意正整数,,故恒成立，D正确.12．/解析：已知复数，则，因此的虚部为.13．/解析：因为在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，所以.又因为平面，平面，且，由线面平行的判定定理得，平面，同理可得平面.又因为，平面，由面面平行的判定定理得平面平面.又因为平面平面，所以平面平面.因为平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质，所以.同理平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质，所以.因为，，由等角定理，直线与所成角等于与所成的角，即为.在中，由正方体的性质可知，，即为正三角形，所以，，因此直线与所成角的余弦值为.14．解析：①已知，所以当时，，所以，当时，，因此；②根据题意，函数的图像如图所示（），要使直线与的图象有无穷多个交点，则方程有无穷多个解，由于时，，而直线在时趋于，所以在时直线与最多有有限个交点，因此，无穷交点必须出现在的区间，在时，是由上的图像不断向右平移单位，向上平移单位得到周期性结构，若，的图像是周期为的周期函数，有界，此时直线与只有有限个交点；若，的图像呈阶梯状上升（）或下降（），直线的斜率为，即每向右单位，增加，为了让直线与函数每个周期的图像都有交点（从而有无穷多个交点），则在每个周期结束时的增量必须等于直线在周期长度上的增量，即时，，令，则，所以是一个周期为的函数，方程等价于，因为在时是周期函数，所以只要在的值域内，就会有无穷多个交点，因此，当时，存在直线与的图象有无穷多个交点.15．(1).(2).解析：（1）由与垂直知，

再由知，，解得.（2）由知，.

再由知，

.16．(1)(2).解析：（1）由，得.

再由余弦定理知，.

故由知，.（2）由，得.

由外接圆面积为知，外接圆半径.

由正弦定理知，.

再由余弦定理知，，从而.

故的周长为.17．(1)，第80百分位数为17(2)平均数；方差.(3)解析：（1）由题意知，，解得.

因为前组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以样本数据的80百分位数落在中，设其为，则，解得，即样本数据的80百分位数为.故估计该地新能源车主驾驶中的百公里电耗的80百分位数为17.（2）两组数据合并后的.

两组数据合并后的，

计算得.（3）已知中有6名女性，则男性有(人);中有14名女性，则男性有(人).

从中抽取1人，从中抽取1人，基本事件总数为:.

设事件=“抽取的2人中恰好有1名女性”，则事件包含以下两种互斥情况:①从中抽到女性，从中抽到男性，有，②从中抽到男性，从中抽到女性，有，所以事件包含的基本事件数为:.

故所求概率为.18．(1)因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以，又，，则，所以，所以在平面内，，又平面，平面，所以平面；(2)（i）；（ii）．解析：（1）略（2）（i）如图，过点作，垂足为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，设，，由勾股定理，，由基本不等式，得，所以，当且仅当，即取等号，所以最大值为，在中，，，，所以的最大值为四棱锥中，底面，高，,所以的最大值为；（ii）因为，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，且平面平面，如图，过点作，垂足为，再过作，垂足为，连接，，则平面，则，分别为二面角，的平面角，于是，由，得，在中，，由等面积得，由，得，设，中斜边上高，所以，解得．19．(1)在上有且仅有个零点；(2)由基本不等式，两边取对数得.

由知，.

即，所以，于是，.

另解:由基本不等式，两边取对数得.

由知，.再由知，.于是，．(3)．解析：（1）当时，.当时，由知，，故.当时，因为单调递增，单调递增，所