湖南省邵阳市2027届高三上学期第一次考试数学试题（含答案）

邵阳市2027届高三第一次联考试题卷

数学

本试卷共4页，19个小题。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在

答题卡上“条形码粘贴区”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定

区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使

用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.已知复数z满足(1-i)z=4i,则|z|=

A.-2B.2C.√5D.2√2

2.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x²-4x<0},则AUB=

A.{x|-1<x<4}B.{x|0<x<3}

C.{x|-1<x<0D.{x|0<x<4}

3.已知向量a与b的方向相同，a=(3,-4),b|=10,则b=

A.(8,-6)B.(-8,6)C.(6,-8)D.(-6,8)

4.在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于

点,则

A.1D.0

5.已知直线l:y=kx与双曲线相交于A,B两点，且A,B两点的横坐标之积

为-9,F₁,F₂为此双曲线的左、右焦点，则△AF₁F₂的面积为

A.√14B.2√14C.√2D.2√2

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6.《九章算术》是中国古代的数学名著,书中有“粟米问题”.现有9人分粟米，每人所得

粟米质量(单位：铢)从小到大构成数列{a,该数列的前3项成等差数列，后7项成

等比数列，且a₁=1,a₂+a₃=5,a₄+a₅=18,则这9人所得粟米质量和的铢数为

A.284B.381C.384D.484

7.已知定义域为R的奇函数f(x)=(2x-a)⁵+mx⁴+nx²+1(a,m,n∈R),则函数

的单调递增区间为

A.(2,+∞)B.(1,+0∞)C.(-∞,1)D.(-∞,0)

8.近期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“Bewater,myfriend”深入人心，其哲学内

涵被广大网友反复讨论.某数学兴趣小组从中提取四个首字母B,W,M,F,各取两

次(即共8个字母：B,B,W,W,M,M,F,F)并排成一排.若至多有两对相同的

字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为

A.2376B.2352C.2208D.2068

二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.若正实数a,b满足a+b=1,则

A.ab的最大值为B.的最小值为

的最小值为1D.2°+2的最小值为2√2

10.已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)-1为奇函数，y=f(2x+1)为偶函数.

若f(2025)=2,则下列说法正确的是

A.f(0)=0B.f(x)的一个周期为4

C.f(x)+f(x+2)=2

11.如图(一),半圆锥V-PAD的底面直径AD的长为2,顶点V为矩形ABCD的边BC的

中点，母线VA的长为2,P为半圆弧AD上任意一点(P不与A,D重合),则下列结论

正确的是

A.该半圆锥的表面积为

B.三棱锥P-ABD的四个面都为直角三角形

C.当直线PA与平面ABCD所成的角为30°时，

异面直线PA与BD所成角的余弦值为

D.当三棱锥P-ABD的体积最大时，平面PAV截

三棱锥P-ABD的外接球所得截面的面积为B

图(一)

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三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.在数列{a}中，a则a₄=·

13.已知函数f(x)=2x²-x+1,g(x)=log₃x+a.若Vx₁∈[0,2],3x₂∈[3,9],

满足f(x₁)≤g(x₂),则实数a的最小值为

14.已知a,b,c∈R,且e+¹+2a²lna=a²b+2a²,则a²+b²+5c²-2ac-4bc的最小值

为

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)如图(二),在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥BC,AB=BC=BB₁,E,F分别

为棱A₁B₁,BC的中点.

(1)求证：EF//平面AA₁C₁C;

(2)求平面AEF与平面ABC的夹角正切值.

图(二)

16.(15分)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(b,cosB),

n=(2c-a,cosA),且m//n

(1)求角B的大小；

(2)若b=√3,D为边AC的中点，求线段BD的长的取值范围.

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17.(15分)设集合A={1,2,3,…,n}(n∈N°),B≌A且B≠,记集合B中的最小

元素和最大元素分别为随机变量X,Y.

(1)当n=4时，求事件“X=2且Y=4”的概率；

(2)求随机变量Y的分布列；

(3)在Y=n的条件下，求X的数学期望E(X|Y=n).

18.(17分)已知椭圆G:(a>b>0)的短轴长为2√3,离心率

(1)求椭圆G的标准方程；

(2)设点A,B分别为椭圆G的上、下顶点，直线I与椭圆G交于C,D两点，

点A,B不在l上，直线AC,AD的斜率分别为kC,kAD·

(i)若kAc·kAD=-3,证明：直线l过定点；

(ii)过点B作直线l的垂线，垂足为点E.当△ABE的面积取得最大值时，求

直线l的斜率.

19.(17分)已知函数,m∈R.

(1)若f(x)在定义域上单调递增，求m的取值范围；

(2)若y=f(x)有两个极值点a,b,证明：

(3)若m=0,关于x的方程|xf(x)|=n在上有两个不同的实数根x₁,x₂(x₁>x₂),

证明：

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邵阳市2027届高三第一次联考试题参考答案与评分标准

数学

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的)

题号12345678

答案DACBBCDB

8.B【解析】恰有3对相同的字母相邻的排法有,恰有4对相同的

字母相邻的排法有：A₄=24,而8个字母的排列为：,所以至多有2对相

同的字母相邻的不同的排法有：2520-144-24=2352种，故选B.

二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

题号91011

答案ACDBCABD

10.BC【解析】对于选项A,由y=f(x)-1为奇函数，则f(x)-1+f(-x)-1=0,

即f(x)+f(-x)=2,令x=0,则f(0)=1,选项A错误；

对于选项B,C,由y=f(2x+1)为偶函数，则f(2x+1)=f(-2x+1),f(x+1)=f(-x+1),

即f(x+2)=f(-x),故f(x)+f(x+2)=2,用x+2替换x,则f(x+2)+f(x+4)=2,

所以f(x+4)=f(x),故选项B,C正确；

对于选项D,f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=2,

因为f(1)+f(3)=2,则f(3)=0.

因为f(0)=f(2),f(0)+f(2)=2,则f(0)=f(2)=1,f(4)=f(0)=1,

则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,又2026=4×506+2,

所以,选项D错误；

综上，故选BC.

11.ABD【解析】对于选项A,易得该半圆锥的表面积,故A正确；

对于选项B,半圆锥底面APD⊥平面ABCD,交线为AD.在矩形ABCD中AB⊥AD,由面面

垂直性质定理得：AB⊥平面APD,则AB⊥AP,△ABP,△ABD为直角三角形.

因为AB⊥面ADP,故AB⊥PD.

由AD为半圆的直径，得∠APD=90°,故△APD为直角三角形，则AP⊥PD,

所以PD⊥面APB,得DP⊥BP,△BPD为直角三角形，

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因此三棱锥PABD四个面都为直角三角形，选项B正确；

对于选项C,以点A为原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴，垂直于面ABCD的直线为

z轴建立空间直角坐标系.因为直线AP与面ABCD所成的角为∠PAD,则∠PAD=30°.

又AD=2,得,B(√3,0,0),D(0,2,0).

则

|BD|=√2²+(-√3)²=√7.

记直线PA与BD所成角为φ,则,选项C错误；

对于选项D,当三棱锥P-ABD的体积最大时，点P为AD的中点.

因为AB=√3,AP=√2,PD=√2,三棱锥P-ABD的外接

球等价于长、宽、高分别为√3,√2,√2的长方体的外接

球.设外接球半径为R,

则2R=BD=√(√3)²+(√2)²+(√2)²=√7,得

且BD的中点M为球心，

所以AP=(0,1,1),AV=(√3,1,0),设平面APV的一个法向量为n=(x,y,z),

易得n=(1,-√3,√3).又,设球心M到平面APV的距离为d,则

设平面APV截外接球的截面圆半径为r,则

所以,选项D正确；综上，故选ABD.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.713.514.

【解析】由题知

则f(x)=e-1.若f'(x)>0,则x>0;若f(x)<0,则x<0;所以f(x)在(-∞,0)上单调

邵阳市2027届高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第2页(共7页)

递减，在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0,则有e³≥x+1,当且仅当x=0时取等号.

故b-2lna+1=0,b=2lna-1,d=a²+b²+5c²-2ac-4bc=(a-c)²+(b-2c)²=[√(a-c)²+(b-2c)²]²,

可转化为求曲线y=2lnx-1上一点A(a,b)到直线y=2x上一点B(c,2c)的距离的平方的

最小值.令,则x=1.故当A(1,-1)时，

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)

(1)证明：取棱A₁C₁的中点为G,连接EG,CG,如图所示.

因为点E为A₁B₁的中点，所以……2分

又F为BC的中点，所以EG业CF,所以四边形EGCF为平行四边形，所以EF//CG.

又EFC平面AA₁C₁C,CGC平面AA₁C₁C,所以EF//平面AA₁C₁C.……………6分

(2)解：如图，由题意，以B为原点，BA,BC,BB₁所在直线分别为

x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

不妨设AB=2,则A(2,0,0),B₁(0,0,2),F(0,1,0),E(1,0,2),

所以AF=(-2,1,0),AE=(-1,0,2).………………7分

设平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z),则

取x=2,则m=(2,4,1).……………9分

又BB₁⊥平面ABC,BB{=(0,0,2),

………11分

设平面AEF与平面ABC的夹角为θ,则,所以

所以平面AEF与平面ABC的夹角正切值为2√5.………13分

16.(15分)

解：(1)因为m//n,所以bcosA=(2c-a)cosB.

在△ABC中，由正弦定理得：sinBcosA=(2sinC-sinA)cosB,…………2分

展开得：sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosB,sinC=2sinCcosB.………4分

因为sinC≠0,得,故………6分

(2)因为点D是边AC的中点，由向量中线公式：

两边平方得：

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即.……8分

因为b=√3,,由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB,

则3=a²+c²-ac,故a²+c²=ac+3.

所以……10分

因为A+B+C=π,所以,即

因为△ABC是锐角三角形，所以有则…………11分

.……13分

由,故

所以ac∈(2,3),

故BD的长的取值范围为…………15分

17.(15分)

解：(1)当n=4时，非空子集B共有2⁴-1=15个，符合题意的子集只有{2,4},

{2,3,4}两个，所以…3分

(2)由题意得：Y的所有可能取值为1,2,3,…,n,非空子集B共有2”-1个.……4分

当Y=k时，集合B中必须包含元素h,不含大于k的元素，符合题意的子集B共有2-¹个，

故,其中k=1,2,3…n.……………7分

(3)当Y=n时，集合B中必须包含元素n,符合题意的子集B共有2”-¹个.

当X=n时

当X=k,k=1,2,3,…,n-1时………………10分

因此记………………12分

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即S=1×2⁻¹+2×2⁻²+3×2⁻³+…+(n-1)×2-(n-1),①

②

①-②得

整理得：………………14分

即…………15分

18.(17分)

(1)解：由离心率,得又短轴长为2√3,故b=√3.……………2分

由a²=b²+c²,代入得：,故a²=4.

所以椭圆G的标准方程：…………4分

(2)(i)证明：由(1)得：A(0,√3),B(0,-√3),

当直线I的斜率不存在时，易知直线AC,AD的斜率同号，不合题意；…………5分

所以直线l的斜率存在，设直线l:y=kx+m(m≠±√3).

消去y得：(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0.

则△=64k²m²-4(3+4k²)(4m²-12)>0,化简得：m²-3-4k²<0.

设C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),由韦达定理得：

……………7分

因为kAc·kAD=-3,则

代入y₁=kx₁+m,y₂=hx₂+m,得：(kx₁+m-√3)(kx₂+m-√3)=-3x₁x₂·

展开整理得：(k²+3)x₁x₂+Ł(m-√3)(x₁+x₂)+(m-√3)²=0,

将韦达定理代入，化简得：5m²-2√3m-9=0.………………9分

解得m=√3(舍去，直线过点A)或

故直线方程为,恒过定点………………11分

(ii)解：要使△ABE的面积取得最大值，又IABI=2√3,则E必为G的右顶点或左顶点.

………13分

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若E为G的右顶点，,此时1的斜率为

消去y得25x²-64x+28=0,

△=(-64)²-4×25×28=1296>0,满足题意，此时直线l的斜率为………15分

同理可得，当E为左顶点时，直线I的斜率

所以1的斜率为………………17分

19.(17分)

(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞),

因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)≥0恒成立.

则即在x∈(0,+∞)上恒成立，所以.………2分

,当且仅当x=1时，等号成立.

所以.……………4分

(2)证明：由题意

因为y=f(x)有2个极值点a,b,则f(x)=0有两个正根a,b.