广西壮族自治区柳州市鹿寨县鹿鸣中学2025~2026学年高二下册期末检测数学试卷【附解析】

数学（考试时间：120分钟试卷分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.4.若向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.5.设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（）A.16 B.8 C.4 D.26.已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（）A.18 B.16 C.12 D.87.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（）A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.938.若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.10.函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（）A.B.C.在区间恰有一个零点D.将图象向左移个单位后关于轴对称11.已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（）A.的离心率为B.C.的最小值为-9D.若以实轴为直径的圆与相切，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式的展开式中，的系数为___________．13.2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法．14.已知四面体ABCD的顶点都在球O的球面上，且，，，，则球O的体积为_____四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的角平分线的长度.16.为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）；（2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望；（3）某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率.17.已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足．（1）求和的通项公式；（2）若，求数列的前项和为．18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.（1）求证：平面（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值；（3）函数，当时，求证：对任意的，且，有．

数学（考试时间：120分钟试卷分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知集合，，则.2.已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部.解答过程：由已知，解得，故，其虚部为，故选：D.方法提示：本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为角的终边经过点，，所以.4.若向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用投影向量公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果．解答过程：在方向上的投影向量为．故选：C5.设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（）A.16 B.8 C.4 D.2答案：A解析：思路：设出公差，借助等差数列及其前项和的基本量与等比中项的性质计算即可得.解答过程：设等差数列的公差为，则有，即，由，，成等比数列，则，即，化简得，由，则，即有，解得，故.6.已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（）A.18 B.16 C.12 D.8答案：B解析：解答过程：由，则，即，则曲线在点处的切线方程为，即，联立，得，则，解得.7.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（）A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.93答案：D解析：思路：根据全概率公式求解即可.解答过程：.8.若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：令，得到，令，则，原函数等价于，分离参数，设，则当时，单调递减；当时，单调递增；根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果.解答过程：令，得到，即，令，则，设，则，令，得到，当时，，单调递减；当时，，单调递增；因此在处取得最小值，故方程仅有唯一解，因此，原函数等价于，变形得到，设，则令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；因此，在处取得极小值（也是最小值），，因为时，，当时，，函数在上有两个不同的零点，转化为直线与的图像有两个不同交点，则.故实数的取值范围为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：ABC解析：解答过程：选项A：离散型随机变量所有可能取值的概率之和为1，本题中的取值只有0,1,2，因此，故选项A正确；选项B：将代入分布列公式求和得，解得，故选项B正确；选项C：，故选项C正确；选项D：，故选项D错误.10.函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（）A.B.C.在区间恰有一个零点D.将图象向左移个单位后关于轴对称答案：ACD解析：思路：根据，结合的取值范围可求的值，判断B的真假；在此基础上，再根据可求的值，判断A的真假；求函数在区间上的零点，判断C的真假；将函数进行平移变换，求平移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D的真假.解答过程：因为，又，所以，故B错误；因为，由图可知，，所以，故A正确；所以，当时，，所以方程在上只有即一个解，即函数在区间恰有一个零点，故C正确；将图象向左移个单位后可得，为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确.11.已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（）A.的离心率为B.C.的最小值为-9D.若以实轴为直径的圆与相切，则答案：BCD解析：思路：对于A选项，通过离心率的定义求解即可；对于B选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直线与双曲线交于右支求解即可；对于C选项，设，分别表达出，，再由在双曲线上求解即可；对于D选项，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，求解，再由直线与双曲线联立，由余弦定理求解即可.解答过程：对于A选项，由双曲线方程为，可得，，所以，所以，，所以离心率为，故A错误；对于B选项，，设直线：，直线与双曲线联立可得，，，，，，因为直线与双曲线右支交于一点，所以，解得，故B正确；对于C选项，设，，，所以，由在双曲线上可得，代入可得，，当时，取得最小值，可得，故C正确；对于D选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点，半径，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，，联立求解坐标，将代入双曲线方程，可得，解得，，所以，，，，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式的展开式中，的系数为___________．答案：解析：解答过程：的展开式的通项为，，令，解得，则的系数为.13.2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法．答案：150解析：思路：先按和两种方式分组，再排列即可.解答过程：把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种：按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组，组数；按分组：先从个中选个为一组，剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)，组数，分配到3个不同的盒内，，故装法总数.14.已知四面体ABCD的顶点都在球O的球面上，且，，，，则球O的体积为_____答案：##解析：思路：利用勾股定理证明，然后由直角三角形的性质判断球心位置，然后可得体积.解答过程：因为，，，，所以，所以，由直角三角形的性质可知，的中点到的距离相等，即为球心，所以球的半径为，所以球的体积.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的角平分线的长度.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先根据正弦定理将已知等式的角化为边，再结合余弦定理求出角；（2）先根据三角形面积公式求出的值，再利用角平分线的性质和三角形面积公式求出角平分线的长度.（1）由正弦定理可得：，即，化简可得，由余弦定理.因为，所以.（2）根据三角形面积公式，可得：，即，化简可得，解得.因为是角平分线，所以.由得：.，解得.16.为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）；（2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望；（3）某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率.答案：（1）（2）X的分布列为数学期望为（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可；（2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望；（3）利用全概率公式可得.（1）由频率分布直方图，这组数据的平均值为.（2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为，即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为；易知，所以，，，.所以X的分布列为X的数学期望是.（3）已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，且三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为，所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，这名学生是“滇超达人”的概率为.17.已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足．（1）求和的通项公式；（2）若，求数列的前项和为．答案：（1），（2）解析：思路：（1）设等差数列的公差为，列出方程即可求出的通项公式，利用即可求出的通项公式；（2）利用错位相减求和即可.（1）设等差数列的公差为，则解得，，所以．由已知，①当时，，得，当，时，，②①-②得，，即，又，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．所以．（2）数列．则所以故所以．18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.（1）求证：平面（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明可得；（2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明可得；（3）取中点为，连接，利用等体积法可得