广西壮族自治区钦州市2025~2026学年高一下册期末教学质量监测数学试卷【附解析】

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各角中，与终边相同的是（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则实数（）A. B. C. D.4.已知一扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.如图，是水平放置的平面图形按照斜二测画法得到的直观图，若，，则的周长为（）A.18 B.20 C.22 D.247.如图，正四棱锥的所有棱长均为，M为棱的中点，N为棱上一动点，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.8.已知是锐角三角形，角，，的对边分别为，，，且，，点在边上，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于点对称C.在区间上单调递增 D.若，则11.如图，在直四棱柱中，，，，，点为的中点，点为线段上的动点，则（）A.B.平面C.的最小值为D.三棱锥外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数（）的最小正周期为，则__________.13.如图，四边形是矩形，且，，M，N分别为，的中点，将四边形沿着折起，使得平面平面，则折起后直线和所成角的大小为__________.14.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，上图是一个正八边形窗花隔断，该正八边形的边长为1，P是正八边形内的动点（含边界），则的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.如图，在四棱锥中，点P是中点，平面，底面是正方形，.（1）求四棱锥的体积；（2）求证：平面.16.已知函数.（1）求的最小正周期及对称中心坐标；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.17.已知，且.（1）求的值；（2）已知，且，求的值.18.已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.（1）若外接圆的半径为，求b；（2）若，.①求A；②若是锐角三角形，点G为平面内一点，且，求的面积.19.如图，在四边形中，，，，且.将沿着翻折成三棱锥，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各角中，与终边相同的是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，结合选项知与终边相同的是.2.（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：.3.已知向量，，若，则实数（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得，，则，得4.已知一扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据条件，可得弧长、半径和圆心角的关系，结合面积公式，即可得答案.解答过程：设扇形的半径为r，弧长为l，则，解得，所以.5.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用同角三角函数的基本关系以及二倍角公式即可求解解答过程：因为,所以,联立，解得,所以6.如图，是水平放置的平面图形按照斜二测画法得到的直观图，若，，则的周长为（）A.18 B.20 C.22 D.24答案：D解析：思路：由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解.解答过程：由直观图可得，在中，，且，所以，所以的周长为.7.如图，正四棱锥的所有棱长均为，M为棱的中点，N为棱上一动点，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由等积法进行求解．解答过程：连接交于点，再连接，如图所示：则点为的中点，得为的中位线，得，而平面，平面，得平面，连接，因为在正四棱锥中，所以平面，则则．8.已知是锐角三角形，角，，的对边分别为，，，且，，点在边上，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据边角互化及三角恒等变换可得，再在与中，分别用正弦定理可得，根据中的正弦定理及三角函数性质可得取值范围.解答过程：在中，由正弦定理及可知，又在中，，则，即，又为锐角三角形，，，，，，即，，即，又在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，又，即，且，可得，，则，所以，即，，又为锐角三角形，，即，解得，则，则.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：解答过程：对于A，因为，所以，所以，A正确；对于B，C，因为，所以，因为，所以，所以，C正确；，B错误；对于D，因为，所以，所以，D错误.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于点对称C.在区间上单调递增 D.若，则答案：ABD解析：思路：化简的解析式，得，然后根据三角函数的周期性、单调性、对称性等知识判断ABC，利用诱导公式和二倍角公式判断D.解答过程：函数，所以最小正周期为，A正确；，故的图象关于点对称，B正确；当，则，由于正弦函数在单调递减，故在上单调递减，正弦函数在单调递增，故在上单调递增，即在区间上不单调，C错误；由，即，则，D正确.11.如图，在直四棱柱中，，，，，点为的中点，点为线段上的动点，则（）A.B.平面C.的最小值为D.三棱锥外接球的表面积为答案：ABD解析：思路：取中点为，连接，根据勾股定理即可判断选项A，取中点为，连接，利用平行四边形得到线线平行，进而利用线面平行判定定理判断选项B，根据的长，即可判断选项C，利用底面外接圆圆心与球心位置关系，结合勾股定理即可判断选项D.解答过程：对于A，取中点为，连接，因为，，，所以四边形是正方形，所以，所以，所以，，A正确；对于B，取中点为，连接，因为点为的中点，所以，且，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，B正确；对于C，因为，所以当在上时，满足，而点为线段上的动点，且与异面，所以不能为，C错；对于D，如图，三棱锥中，为外接圆圆心，为其半径，在中，，所以，由正弦定理得，，所以，记球心到平面的距离为，球半径为，则，在中，，在中，，上式联立即可得到，，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数（）的最小正周期为，则__________.答案：解析：思路：根据正切函数的周期性求得，再求的值.解答过程：因为函数（）的最小正周期为，所以，解得，即，则.13.如图，四边形是矩形，且，，M，N分别为，的中点，将四边形沿着折起，使得平面平面，则折起后直线和所成角的大小为__________.答案：（或）解析：思路：构造正方体，平移法将异面直线转化为相交直线，从而在三角形中求解角度.解答过程：根据题意，折起后，且平面平面，所有条件都符合棱长为1的正方体的局部结构，我们可以直接将折起后的几何体补形为棱长为1的正方体，所有边长、面面垂直关系都和正方体性质一致，连接，则由正方体的性质可知，因此与所成的角等于与的夹角，在中：，因此是等边三角形，，结合异面直线所成角的范围，可得直线和所成角为（即）.故答案为：.14.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，上图是一个正八边形窗花隔断，该正八边形的边长为1，P是正八边形内的动点（含边界），则的最小值为__________.答案：##解析：思路：利用向量数量积的几何意义求解.解答过程：，根据向量数量积的几何意义可知等于在上的投影的数量与的模的乘积，所以当点在上时，的值最小，为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.如图，在四棱锥中，点P是中点，平面，底面是正方形，.（1）求四棱锥的体积；（2）求证：平面.答案：（1）（2）如图，连接交于点O，再连接，∵四边形是正方形，是的中点，又是的中点，，又平面，平面，平面.解析：思路：（1）根据棱锥的体积公式可求解.（2）连接交于点O，再连接，结合中位线和线面平行的判定求证.（1）平面，底面是正方形，且，；（2）略.16.已知函数.（1）求的最小正周期及对称中心坐标；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.答案：（1），，（2）最小值为，最大值为解析：思路：（1）首先化简函数解析式，进而根据公式可得最小正周期，由整体法可得对称中心坐标；（2）结合整体法及正余弦函数的图象性质可求解.（1），的最小正周期，令，，解得，，所以的对称中心的坐标为，；（2）当时，有，当时，单调递减；当时，单调递增，∴当，即时，取得最大值，为；当，即时，取得最小值，为，综上，在上的最小值为，最大值为.17.已知，且.（1）求的值；（2）已知，且，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用平方关系求出，再利用诱导公式化简求值即可；（2）利用平方关系求出，将表示为，再利用差角的正弦公式计算即可.（1）因为，且，所以，所以；（2）因为，，所以，又，所以，由（1）知，，，所以.18.已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.（1）若外接圆的半径为，求b；（2）若，.①求A；②若是锐角三角形，点G为平面内一点，且，求的面积.答案：（1）（2）①或；②解析：思路：（1）根据向量共线及正弦定理得出，再结合余弦定理得出，最后利用正弦定理可得；（2）①利用正弦定理可得；②取线段的中点为D，得出G为的中点，利用可求.（1）因为，所以，由正弦定理得，即，所以，所以，因为，所以，由正弦定理得，所以；（2）①因为，，所以由正弦定理：，得，解得，因为，所以或.当时，，符合题意；当时，，符合题意；故或；②因为是锐角三角形，所以，.所以，取线段的中点为D，则，又因为，所以，则G为的中点，所以.19.如图，在四边形中，，，，且.将沿着翻折成三棱锥，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.答案：（1）因为，，所以，又因为，，所以，所以，如图所示，取的中点为，连接，，则，，又因为，所以，所以；又因为，为的中点，所以，又因为，平面，且，所以平面，平面，所以，又因为，，，平