贵州黔东南苗族侗族自治州2025~2026学年高一下册期末学业水平测试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷选择题部分（共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.若复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C.1 D.2.某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的产品有40件，则（）A.160 B.180 C.200 D.2203.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数小于3”的概率是（）A. B. C. D.4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（）A.若，，，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则5.如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的55%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（）A.76 B.77 C.78 D.796.已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则向量（）A. B. C. D.7.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则圆锥的高与底面半径的比值为（）A. B. C.2 D.18.已知为边长为4的等边三角形，设点M为边的中点，点P在边上（包括端点），则的最小值等于（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B.C. D.10.设、为两个随机事件，且，，下列说法正确的有（）A. B.若、互斥，则C.若，则 D.若，则、独立11.如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，AC上，则下列命题错误的是（）A.异面直线和所成的角为B.直线与平面所成的角等于C.点到平面的距离为D.线段长度的最小值为第Ⅱ卷非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为_______．13.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦是中国文化的重要哲学概念.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，点O是其中心，且，则_______．14.已知圆锥SO的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为，AB为底面圆O的一条直径，C为圆O上的一个动点（不与A，B重合），则三棱锥的外接球表面积为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.贵州省乃中国避暑胜地，每到夏季，贵州会接待大量中外游客，炎炎夏日，水果冰浆销售火爆．（1）统计得到10名水果冰浆消费者，每周购买水果冰浆的次数依次为：1，3，4，5，3，2，7，6，4，5，求这10个数据的第60百分位数与方差；（2）统计1000名水果冰浆消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照，，，，分组，得到频率分布直方图.估计这1000名水果冰浆消费者年龄的中位数a及平均数ω（结果保留整数）．16.已知向量，，（1）求证：；（2）若向量与向量夹角为钝角，求t的取值范围．17.如图，在四棱锥中，，，，平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，．（1）求证：平面PAC；（2）求二面角的大小．18.黔东南州强大的“村字号”IP带动了周边县市旅游井喷式增长，2026年五一假期，台江县借势“村BA”和苗族姊妹节，接待游客60.31万人次，旅游综合收入7.78亿元.在一次“村BA”篮球决赛中，分别来自于两支决赛队伍的甲乙两名运动员，进行三分投篮比赛活动.甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为．在每次投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响.在每一轮比赛中甲乙都投中的概率为，甲乙都投不中的概率为．（1）求，的值；（2）求甲乙两名运动员在两轮投篮活动中恰好投中3个球的概率．19.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点．（1）若点为的中点，求证：平面；（2）若点为线段上的动点（包含端点），求的最小值；（3）若点在侧面正方形内（包含边界），且，求点的轨迹长度．

数学满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷选择题部分（共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.若复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C.1 D.答案：D解析：解答过程：因为，所以，则的虚部为．2.某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的产品有40件，则（）A.160 B.180 C.200 D.220答案：C解析：解答过程：根据题意，得：，解得：．3.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数小于3”的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：根据题意，将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，有6种结果，分别为1，2，3，4，5，6其中小于3的结果有1，2，所以概率.4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（）A.若，，，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则答案：C解析：解答过程：选项A：如图所示，在长方体中，点，分别是和的中点，记平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，，但是，故选项A错误；选项B：如图所示，在长方体中，点，分别是和的中点，记平面为平面，平面为平面，，则直线为，直线为，满足，，但是，故选项B错误；选项C：若，，根据线面垂直的性质可得，故C正确；对于D：如图所示，在长方体中，点，分别是和的中点，记平面为平面，平面为平面，则直线为，直线为，因为平面，平面，所以，因为，所以平面和所成的二面角为，满足，，，但是与所成的二面角为，故选项D错误.5.如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的55%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（）A.76 B.77 C.78 D.79答案：C解析：解答过程：从左到右前2个小组的频率分别为0.1，0.2，第3个小组的频率为0.3，又，，故55%分位数在内，约为．6.已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则向量（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由得，则，，则.7.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则圆锥的高与底面半径的比值为（）A. B. C.2 D.1答案：B解析：解答过程：设圆锥的底面半径为r，高为，母线长为，则，由圆锥的侧面展开图为半圆得：，解得，所以圆锥的高与底面半径的比值为：．8.已知为边长为4的等边三角形，设点M为边的中点，点P在边上（包括端点），则的最小值等于（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标法以及二次函数性质分析求解即可．解答过程：取BC的中点O，连接OA，由题意为等边三角形，故以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为等边的边长为4，所以，，，又点M为AB边的中点，所以，设，则，，所以，设，由二次函数开口向上，对称轴为，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：解答过程：因为，所以，故A正确；，故B错误；，，，故C错误；，故D正确．10.设、为两个随机事件，且，，下列说法正确的有（）A. B.若、互斥，则C.若，则 D.若，则、独立答案：BD解析：解答过程：选项A：，，，故A错误；选项B：若互斥，即事件不会同时发生，即，则，B正确；选项C：若，则，C错误；选项D：因为，，所以，则相互独立，故D正确．11.如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，AC上，则下列命题错误的是（）A.异面直线和所成的角为B.直线与平面所成的角等于C.点到平面的距离为D.线段长度的最小值为答案：ABD解析：思路：对于A，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，对于B、C，利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线BC与平面所成的角及C到平面的距离，对于D，过P作于E，再过E作于Q，利用线面垂直及勾股定理求PQ的最小值．解答过程：因为，故异面直线和所成角即为与所成角，而为等边三角形，故，所以异面直线和所成的角为，故A错误；因为平面，面，故，又，由，、面，故面，而面，故直线BC与平面所成的角，故B错误；而到平面的距离为，故C正确；过P作于E，再过E作于Q，平面平面，面，面，故面ACD，而面ACD，则，又，、面PEQ，所以面PEQ，易知即为异面直线，上两点的距离，令，则，，，当时，，故D错误．第Ⅱ卷非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为_______．答案：解析：解答过程：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为、，则一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种，其中2只球的颜色相同只有共1种；故所求的概率是．13.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦是中国文化的重要哲学概念.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，点O是其中心，且，则_______．答案：##.解析：解答过程：正八边形的中心角为，则，，如图所示，连接，，，在中，由余弦定理得，，所以，在中，由余弦定理得，，所以，在中，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，,.14.已知圆锥SO的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为，AB为底面圆O的一条直径，C为圆O上的一个动点（不与A，B重合），则三棱锥的外接球表面积为_______．答案：解析：思路：根据条件，求出圆锥底面半径和母线的值，进而可得圆锥的高，分析可得三棱锥的外接球球心在上，根据勾股定理，计算求解，可得外接球半径，代入表面积公式，即可求解．解答过程：设圆锥底面圆半径为，母线长为，则圆锥的高，因为侧面展开图为一个半圆，所以，解得，又轴截面面积为，所以，解得，则母线长，圆锥的高，由题意三棱锥的外接球的球心在上，且设为，外接球半径设为，连接，则，所以，在中，，即，则，解得，则三棱锥的外接球的表面积．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.贵州省乃中国避暑胜地，每到夏季，贵州会接待大量中外游客，炎炎夏日，水果冰浆销售火爆．（1）统计得到10名水果冰浆消费者，每周购买水果冰浆的次数依次为：1，3，4，5，3，2，7，6，4，5，求这10个数据的第60百分位数与方差；（2）统计1000名水果冰浆消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照，，，，分组，得到频率分布直方图.估计这1000名水果冰浆消费者年龄的中位数a及平均数ω（结果保留整数）．答案：（1）4.5，3.（2）24，25．解析：（1）按从小到大顺序排列：1，2，3，3，4，4，5，5，6，7，由于，故第60百分位数为，平均数，.（2）①由，，可得，所以，解得，所以这1000名水果冰浆消费者年龄的中位数估计值为24.②平均数为：.16.已知向量，，（1）求证：；（2）若向量与向量夹角为钝角，求t的取值范围．答案：（1）由已知得，，，所以成立．（2）解析：思路：（1）根据平面向量加法坐标运算、数量积坐标运算公式及向量垂直的充要条件证明即可；（2）由与夹角为钝角，则且与不共线，列出不等式组求解即可.（1）略（2）由与夹角为钝角得：且与不共线，即，解得且，故．17.如图，在四棱锥中，，，，平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，．（1）求证：平面PAC；（2）求二面角的大小．答案：（1）证明：在四棱锥中，由平面，平面，得，又，即，而，PA，平面，则平面，又在中，分别为中点，即有，因此平面（2）.解析：思路：（1）利用线面垂直的性质定理，判定定理证明即可.（2）取，的中点，，利用线面垂直的判定，性质证明是二面角的平面角，进而求出二面角的大小.（1）略（2）如图所示，取的中点，连接，取的中点，连接，，由，平面，得平面，而平面，则，由，，得，又，EM，平面，于是平面，又平面，因此，是二面角的平面角，设，则，在中，，，则，在中，，，则在中，，因此，所以二面角的大小为.18.黔东南州强大的“村字号”IP带动了周边县市旅游井喷式增长，2026年五一假期，台江县借势“村BA”和苗族姊妹节，接待游客60.31万人次，旅游综合收入7.78亿元.在一次“村BA”篮球决赛中，分别来自于两支决赛队伍的甲乙两名运动员，进行三分投篮比赛活动.甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为．在每次投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响.在每一轮比赛中甲乙都投中的概率为，甲乙都投不中的概率为．（1）求，的值；（2）求甲乙两名运动员在两轮投篮活动中恰好投中3个球的概率．答案：（1），（2）解析：思路：（1）由题可得，求解可得，的值；（2）根据相互独立