湖北省武汉市黄陂区2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知随机变量，则（）A.100 B.105 C.110 D.1153.已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为()A. B. C.1 D.4.某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（）A.150 B.90 C.60 D.305.函数的极大值点为（）A. B. C. D.6.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7.若，则（）A.3 B.0 C. D.48.对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为（

）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.若随机变量，满足，则B.在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好C.经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点D.若事件，满足，，，则10.如表，在两个变量与的列联表中，已知，其中，下列结论正确的是（）总计总计0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.越大，两个变量有关联的可能性越大B.若每个数据，，，均变为原来的2倍，则的值不变C.对于独立性检验，随机变量值越小，判定“两变量有关系”犯错误概率越大D.若计算得到，则认为与有关，该推断犯错误的概率不超过0.0511.设函数，均在闭区间上可导，定义导函数一阶偏差：．已知函数，，区间为，则下列说法正确的有（）A.B.对任意，都有恒成立C.存在唯一的，使得D.对任意，都有恒成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其展开式中x²的系数为________.(用数字作答)13.已知函数，则______．14.一随机变量服从正态分布，则，_____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）求；（2）若，且，求实数，应满足的关系式．16.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围．17.某制药公司研发一种新药､需要研究某种药物成分的含量x（单位：）与药效指标值y（单位：）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验､统计得到一组数据，其中分别表示第次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值.且.（1）已知该组数据中y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；（2）据临床经验，当药效指标值y在内时，药品对人体是安全的，求该新药中此药物成分含量x的取值范围；（3）该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生产的药品是否合格相互独立（i）从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；（ii）在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率，参考公式：18.已知函数，其中.（1）若是的极值点，求的值；（2）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；（3）设，分别为在区间的极值点和零点，比较与的大小，并证明你的结论.19.为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲､乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局．（1）当时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望；（2）当时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出的值（直接写出结果即可）；（3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，证明：当时，．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先化简集合，再根据交集的定义求解.解答过程：对于不等式，对数定义域要求；不等式变形为，因为是单调递增函数，因此，即；，解不等式得，因此，所以.2.已知随机变量，则（）A.100 B.105 C.110 D.115答案：B解析：思路：利用二项分布的期望、方差公式，结合求解.解答过程：，所以，，由得.3.已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为()A. B. C.1 D.答案：D解析：思路：服从超几何分布，求出的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．解答过程：方法一：可能取0，1，2，其对应的概率为，∴．方法二：由题可知，服从超几何分布，故．故选：D．4.某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（）A.150 B.90 C.60 D.30答案：A解析：解答过程：共5名宇航员同时在3个舱中开展实验，则有两种情况，若按人数分为三组，则有种方法，若按人数分为三组，则有种方法，共有种不同方法.5.函数的极大值点为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性分析极大值点.解答过程：因为函数的定义域为，且，令，解得或；令，解得；可知函数在内单调递减，在，内单调递增，所以函数的极大值点为.6.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：求得，参变分离得在上恒成立，然后利用正弦函数的性质求解最值即可求解.解答过程：由得，由题意得在上恒成立，即在上恒成立，即，因为，所以恒成立，故实数的取值范围是．故选：B7.若，则（）A.3 B.0 C. D.4答案：B解析：思路：利用赋值法结合二项式定理计算即可.解答过程：令，则，又对于中含的项为，所以中含的项为，即，所以.8.对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设，由两函数值域得，然后用表示出，计算，用导数求其最小值．解答过程：，，，的值域是，设，则，，，，，所以，设，，设，则，是增函数，又，因此时，，递减，时，，递增，所以，所以的最小值是，故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.若随机变量，满足，则B.在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好C.经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点D.若事件，满足，，，则答案：BD解析：思路：逐一根据方差性质、决定系数、回归直线性质、条件概率公式判断四个选项.解答过程：选项A，因为，所以，A错误.选项B，回归分析中，决定系数，越接近1，残差平方和越小，模型拟合效果越好，B正确.选项C，经验回归直线一定过样本中心点，但不一定经过任意一个原始样本数据点，C错误.选项D，由，得.条件概率公式：，，D正确.10.如表，在两个变量与的列联表中，已知，其中，下列结论正确的是（）总计总计0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.越大，两个变量有关联的可能性越大B.若每个数据，，，均变为原来的2倍，则的值不变C.对于独立性检验，随机变量值越小，判定“两变量有关系”犯错误概率越大D.若计算得到，则认为与有关，该推断犯错误的概率不超过0.05答案：ACD解析：解答过程：对于A，同一个样本中，越小，说明两个变量有关联的可能性越小，越大，说明两个变量有关联的可能性越大，所以A正确；对于B，若列联表中的每个数字均变成原来的2倍，则，此时的值变为原来的2倍，所以B错误；对于C，独立性检验中，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，所以C正确；对于D，根据独立性检验的意义可知，所以认为X与Y有关，该推断犯错的概率不超过0.05，所以D正确．11.设函数，均在闭区间上可导，定义导函数一阶偏差：．已知函数，，区间为，则下列说法正确的有（）A.B.对任意，都有恒成立C.存在唯一的，使得D.对任意，都有恒成立答案：ABD解析：思路：先求导构造，研究在的最值判断A、C；构造判断B；构造函数只需证在上恒成立可判断D.解答过程：，令，对于A．在上单调递增，，即，A正确；对于B，令，则，在上单调递增，故，即，B正确；对于C，仅有一个解，在内无解，C错误；对于D，由A知，则，只需证，即证在上恒成立，，设为的导函数，则，所以在上单调递增，而，使得，当时，，当时，在上单调递减，在上单调递增，，而在上恒成立，即成立，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其展开式中x²的系数为________.(用数字作答)答案：解析：解答过程：由题可知展开式共项，所以，又的展开式的通项为，令，解得，所以x²的系数为13.已知函数，则______．答案：解析：解答过程：由题意得，所以，解得．14.一随机变量服从正态分布，则，_____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____.答案：①.②.##解析：思路：由关于对称，推得；粒子8步右行步数服从二项分布且具有的对称性，结合与独立，用全概率公式展开，再将求和式配对并利用前一问结论相加化简，即可求得概率为.解答过程：①已知，正态曲线图像关于对称，故，因此.②由题意，，满足，且与独立，由全概率公式：(1)令，则,即等价于(2)(1)(2)两式相加结合第一空的结论，得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）求；（2）若，且，求实数，应满足的关系式．答案：（1）（2）解析：思路：（1）解不等式结合交集的概念计算即可；（2）利用子集的概念及判别式计算即可.（1）对于等价于，则，对于，则，．（2）由题意知，方程无实根，即.16.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围．答案：（1）（2）．解析：思路：(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程，再求解围成的三角形的面积；（2）解法一：，转化为求解.解法二：利用分离参数法，转化为求解．（1）函数的定义域为当时，因为，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即所以三角形的面积是：（2）解法一：（i）当时，在单调递增，此时存在，不符合题意，舍去；（ii）当时，显然成立；（iii）当时，令，得，令，得；所以在单调递减，在单调递增．所以，解得．综上所述，a的取值范围为．解法二：由已知，得．（i）当时，可得．因为，所以，又因为时，，所以；（ii）当时，恒成立，所以；（iii）当时，可得．令，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，所以．综上所述，a的取值范围为17.某制药公司研发一种新药､需要研究某种药物成分的含量x（单位：）与药效指标值y（单位：）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验､统计得到一组数据，其中分别表示第次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值.且.（1）已知该组数据中y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；（2）据临床经验，当药效指标值y在内时，药品对人体是安全的，求该新药中此药物成分含量x的取值范围；（3）该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生产的药品是否合格相互独立（i）从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；（ii）在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率，参考公式：答案：（1）；（2）；（3）（i），（ii）.解析：思路：（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式计算作答.（2）利用（1）中经验回归方程，求出x的取值范围作答.（3）（i）利用全概率公式求出不合格品的概率；（ii）利用条件概率公式求出不合格的新药是设备生产的概率，再利用二项分布的概率求解作答.（1）因为，则，于是，，所以关于的线性经验回归方程为.（2）由（1）得，当时，，解得，所以该新药中此药物成份含量的取值范围为.（3）（i）设“随机抽取一件新药，是设备生产的”，则“随机抽取一件新药，是设备生产的”，“随机抽取一件新药为不合格品”，依题意，，所以；（ii）设“抽到一件不合格的新药，它是设备生产的”，则，设表示三件不合格新药来自设备生产的件数，则，所求事件的概率为.18.已知函数，其中.（1）若是的极值点，求的值；（2）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；（3）设，分别为在区间的极值点和零点，比较与的大小，并证明你的结论.答案：（1）（2）证明见解析（3），证明见解析解析：思路：（1）根据导数与极值的关系求解即可.（2）根据导数与极值的关系，结合零点存在定理证明即可.（3）由（2）知，，，且，代入整理得，构造函数，结合导数与单调性得到，即，结合在单调递减即可得到.（1）的定义域为，.因为是的极值点，所以，即，解得.当时，，当时，；当时，，所以是的极值点.综上，.（2）由（1）知，，.令，即，因为，，所以，解得，且.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以是在上唯一的极值点，是极大值点.所以.取，（易知，则，）则.令，则可写为.令，则，令，则，所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，所以，所以，所以存在，使得，所以是在上唯一零点.综上，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点.（3），证明如下：由（2）知，，满足，且，要比较与的大小，即比较与的大小..令，，则，所以在上单调递减，，即.