2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题01 集合与常用逻辑用语（教师版）

专题01集合与常用逻辑用语

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础题聚焦集合交并补运算、子集/集合

2017-2026年连续考查，题型覆盖单选

相等定义、元素与集合关系，难度较低；

题、填空题、解答题；2026年出现单选

考点01集合难题常结合函数新定义、数列、三角函

+填空，2025年出现填空+解答题，2019

数、函数零点等知识点综合考查，解答

年出现解答题压轴题

题多为压轴类综合题，难度梯度明显

基础题核心考查充分必要条件的判断；

2017-2026年高频考查，题型以单选题进阶题常结合新定义概念、函数性质、

考点02常用逻辑

为主；2018、2019、2020、2021、2024复数、空间向量、数列等知识点考查逻

用语

年均有单选题，2026年首次出现解答题辑推理能力，充要条件的证明是解答题

核心考查方向，对逻辑严谨性要求提升

考点01集合

1．（2026·上海·高考真题）对于函数yfx，xD，设Afx,y|yfx,xD.对于点集M，若存

在x0,y0M，使得任取x,yM，总有yy0，则称x0,y0为“最低点”.对于函数yfx和ygx，

以下说法中正确的是（）

A．若yfx和ygx都有最小值，则AfAg有最低点；

B．若AfAg有最低点，则yfx和ygx都有最小值；

C．若yfx或ygx有最小值，则AfAg有最低点；

D．若AfAg有最低点，则yfx或ygx有最小值.

【答案】D

【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得x0,y0Af

1/39

或x0,y0Ag，再分类讨论即可.

【详解】对于A项，取fxx，x[0,1]，取gxx，x[2,3]，

则，；而AA无最低点，故错误；

fxmin0gxmin2fgA

对于B项，取fxx，x(0,3]，取gxx，x[2,3]，

则无最小值，；而AAA有最低点，故错误；

fxgxmin2fgg2,2B

对于C项，取fxx2，xR，取gxx2，xR，

则无最小值，；

fxgxmin0

22

因为fxx的函数值可趋向于负无穷大，所以Afx,y|yx,xR无最低点，则AfAg亦无最

低点，故C错误；

对于D项，因为AfAg有最低点，不妨设x0,y0为AfAg的最低点，yfx且xD1，ygx且xD2，

所以x0,y0Af或x0,y0Ag，

若x0,y0Af，则y0fx0且对任意的xD1，总有yf(x)y0，即f(x)miny0；

若x0,y0Ag，同理可知g(x)miny0；

所以若AfAg有最低点，则yfx或ygx有最小值，故D正确.

故选：D.

2．（2023·上海·高考真题）已知P1,2，Q2,3，若M{x|xP且xQ}，则M（）

A．{1}B．{2}C．{1,2}D．1,2,3

【答案】A

【分析】根据给定条件，直接求出集合M中的元素作答.

【详解】因为P{1,2}，由xP，得x1或x2，

又Q{2,3}，且xQ，即有x2且x3，因此x1，

所以M{1}.

故选：A

3．（2022·上海·高考真题）若集合A1，2，BZ，则AB（）

A．2，1,0,1B．1,0,1C．1,0D．1

【答案】B

【分析】由于Z是整数集，结合交集的概念即可求出结果.

【详解】因为A1，2，BZ，所以AB1,0,1，

故选：B.

4．（2021·上海·高考真题）已知集合Axx2x20,Bxx1，则（）

痧

A．ABB．RARBC．ABD．ABR

【答案】D

【详解】由题意，A{x|x2x20}{x|(x2)(x1)0}{x|x2或x1}

ð

RA{x|1x2}

ð

由Bxx1RB{x|x1}

痧

A,B和RA,RB不存在包含关系，AB{x|x2},ABR

故选：D

5．（2026·上海·高考真题）已知集合A2,1a，1A，则a__________．

【答案】

2

【详解】由题意得1a1，解得a2，经验证此时集合A2,1满足题意.

6．（2026·上海·高考真题）已知集合A2,4，B2,3,m，若AB，则m____________.

【答案】4

【分析】利用子集的定义求解.

【详解】A2,4，B2,3,m，AB，

集合A中所有的元素都在集合B中，

集合A中的元素4在集合B中，

m4.

故答案为：4.

7．（2025·上海·高考真题）已知全集U{x∣2x5,xR}，集合A{x∣2x4,xR}，则A_________．

【答案】x|4x5,xR/4,5

【分析】根据补集的含义即可得到答案.

3/39

【详解】根据补集的含义知Ax|4x5,xR.

故答案为：x|4x5,xR.

8．（2024·上海·高考真题）设全集U1,2,3,4,5，集合A2,4，则A______．

【答案】1,3,5

【分析】根据补集的定义可求A.

【详解】由题设有A1,3,5，

故答案为：1,3,5

9．（2023·上海·高考真题）已知集合A{1,2},B{1,a}，且AB，则a_____________．

【答案】2

【分析】利用集合相等的定义求解即可.

【详解】因为A{1,2},B{1,a}且AB，

所以集合A,B中元素相同，

所以a2，

故答案为：2

10．（2022·上海·高考真题）已知A(1,2)，B(1,3)，则AB________

【答案】1,2/x1x2,xR

【分析】根据集合交集的定义可得解.

【详解】由A(1,2)，B(1,3)

根据集合交集的定义，AB1,2.

故答案为:(1,2)

11．（2020·上海·高考真题）已知集合A1,2,4，B2,3,4，则AB______．

【答案】2,4

【解析】直接根据交集的概念运算可得结果.

【详解】因为集合A1,2,4，B2,3,4，

所以AB{2,4}.

故答案：2,4.

12．（2019·上海·高考真题）已知集合At,t1t4,t9，0A，存在正数，使得对任意aA，都

有A，则t的值是____________

a

【答案】1或3

【分析】根据t所处的不同范围，得到at,t1和at4,t9时，所处的范围；再利用集合A的上下

a

限，得到与t的等量关系，从而构造出方程，求得t的值.

【详解】0A，则只需考虑下列三种情况：

①当t0时，at,t1t4,t9

11111

,,

at9t4t1t

又0,,

at9t4t1t

tt4

t9t1

A且

a

t1t9

t4t

tt9tt9

可得：

t1t4t1t4

tt9t1t4t1

②当t90即t9时，与①构造方程相同，即t1，不合题意，舍去

t10

③当即4t1时

t40

tt4

t1t9

可得：且

t1t9

tt4

tt1t4t9t3

综上所述：t1或3

【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过t的不同取值范围，得到

a与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于t的方程；难点在

a

于能够准确地对t的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.

13．（2019·上海·高考真题）已知集合A1,2,3,4,5，B3,5,6，则AB_________________

【答案】3,5

【分析】根据交集的定义，直接求解即可.

5/39

【详解】A1,2,3,4,5，B3,5,6

AB3,5

本题正确结果：3,5

【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题.

14．（2017·上海·高考真题）已知集合A1,2,3,4，集合B3,4,5，则AB_______.

【答案】{3，4}．

【分析】利用交集的概念及运算可得结果.

【详解】A1，2，3，4，B3，4，5

AB3，4.

【点睛】本题考查集合的运算，考查交集的概念与运算，属于基础题.

15．（2025·上海·高考真题）已知集合Axx0，B1,0,1,2，则AB等于________．

【答案】1,2

【详解】试题分析：ABx|x01,0,1,21,2

考点：集合运算

【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类

型，是数集、点集还是其他的集合．

2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn

图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

16．（2025·上海·高考真题）已知函数yf(x)的定义域为R．对于正实数a，定义集合

Ma{x∣f(xa)f(x)}．

π

(1)若f(x)sinx，判断是否是M中的元素，请说明理由；

3π

x2,x0

(2)若fx,Ma，求a的取值范围；

x,x0

(3)若yf(x)是偶函数，当x(0,1]时，f(x)1x，且对任意a(0,2)，均有MaM2．写出yf(x)，

x(1,2)解析式，并证明：对任意实数c，函数yf(x)c在[3,3]上至多有9个零点．

【答案】(1)不是；

7

(2),4；

4

(3)证明见解析.

【分析】（1）直接代入计算f和f即可；

33

2

（）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得37，

2x0f(x0a)f(x0)x02x0aax0

24

最后根据x0的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线yt与该函数有两个交点，将a用t表

示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；

（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出x(1,2)时解析式，再分析出f(3)(0,1)，最后对c的范围进

行分类讨论即可.

33

【详解】（1）（1）fsin，fsin，则不是M中的元素.

3323323

（2）法一：因为Ma，则存在实数x0使得f(x0a)f(x0)，且a0，

当x0时，fxx2，其在，0上严格单调递增，

当x0时，fxx，其在[0,)上也严格单调递增，

则x00x0a，则x02x0a，

令x20，解得x2，则2x00，

2

2

则2377

ax0ax0x02x0x0,4.

244

法二：作出该函数图象，则由题意知直线yt与该函数有两个交点，

由图知0t2，假设交点分别为Am,t，Bn,t，

mt2

联立方程组得2177

a|AB|mnt(t2)t,4

n2t244

（3）对任意x0(1,2),x02(1,0)，因为其是偶函数，

7/39

则fx02f2x0，而2x0x0242x0(0,2)，

所以x2MM，

042x02

所以fx0fx02f2x0，因为x01,2，则2x00,1，

所以fx0f2x012x0x01，所以f(x)x1,x(1,2)，

所以当s(0,1)时，1s(0,1)，1s(1,2)，则f(1s)1(1s)s，

f(1s)1s1s，则f(1s)f(1s)，

而1s1s2s，3s1s2，

则1sM2sM2，则f(1s)f(3s)，

所以当x(2,3)时，f(x)f(x2)1(x2)3x，而f(x)为偶函数，画出函数图象如下：

其中f3f3,f2f2,f0，但其对应的y值均未知.

首先说明f(3)n(0,1)，

若f(3)n(0,1)，则3n3,2，易知此时fxx3,x3,2，

则f(3n)n，所以f(3)MnM2，而x1,0时，fxx1，

所以f(3)f(1)0，与f(3)n矛盾，所以f(3)(0,1)，即f(3)f(3)(0,1)，

令yf(x)c0，则yf(x)c，

当c0时，即使让f3f3f2f2f00，此时最多7个零点，

当c1时，若f2f2f0f3f3c，此时有5个零点，

故此时最多5个零点；

当c0时，若f2f2f0f3f3c，此时有5个零点，

故此时最多5个零点；

当0c1时，若f2f2f0c，此时有3个零点，

若f(3)c(0,1)，则3c3，2，易知此时fxx3，

则f(3c)c，所以f(3)McM2，而x1,0时，fxx1，

所以f(3)f(1)0，与f3c矛盾，所以f(3)(0,1)，

则最多在(3,2),(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),(2,3)之间取得6个零点，

以及在x2,0,2处成为零点，故不超过9个零点.

综上，零点不超过9个.

17．（2025·上海·高考真题）已知函数yfx的定义域是D．对于tD，定义集合Sftxfxft．

S

(1)fxlog2x，求f16；

(2)对于集合A，若对任意xA都有xA，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数yfx是偶

函数”的充要条件是“对任意tD，Sft是对称集”；

x12

(3)若xR，fxemx．求m的取值范围，使得对于任意t1t2D，都有SftSft．

221

【答案】(1)xx16

(2)证明见详解

9/39

(3)0,e

【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；

（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；

（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.

【详解】（1）由定义得，Sf16xfxf16xlog2xlog216xx16.

（2）证明：

必要性：因为函数yfx是偶函数，所以对任意xD，fxfx，

对任意tD，若xSft，即fxft，则fxfxft，

所以xSft，所以对任意tD，Sft是对称集.

充分性：若对任意tD，Sft是对称集，

因为对任意tD，tSft，所以tSft，即ftft①，

又tSft，所以tSft，即ftft②.

由①②得，对任意tD，ftft，

所以函数yfx是偶函数.

综上，“函数yfx是偶函数”的充要条件是“对任意tD，Sft是对称集”，得证.

（）因为对于任意ttD，都有SS，

312ft2ft1

xSxS

所以若ft2，则ft1，即若fxft2，则fxft1，

所以ft2ft1，所以fx在R上单调不减，

所以对任意xR，fxexmx0恒成立.

当x0时，显然成立，mR；

exexx1ex

当x0时，m恒成立，令gx，gx，

xxx2

所以gx在0,1单调递减，1,单调递增，所以mgxming1e；

x

exx1e

当x0时，m恒成立，此时gx0

xx2

因为gx在,0上单调递减，当x时，gx0,gx0，

x0,x0时，gx，

所以m0；

综上，m0,e.

【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.

18．（2019·上海·高考真题）已知等差数列an的公差d0,，数列bn满足bnsinan，集合

Sx|xbn,nN.

2

（1）若a10,d，求集合S；

3

（2）若a1，求d使得集合S恰好有两个元素；

2

（3）若集合S恰好有三个元素：bnTbn，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值.

332

【答案】（1）S,0,；（2）d或d；（3）T3,4,5,6

223

【分析】（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列bn周期为3，从而得到S；（2）S恰好有两个元素，

可知b1b3或者b2b3，求解得到d的取值；（3）依次讨论T3,4,5,6,7的情况，当T3,4,5,6时，均可得

到符合题意的集合S；当T7时，对于k1,2,3，均无法得到符合题意的集合S，从而通过讨论可知T3,4,5,6.

224

【详解】（1）a0，da，a，a2

1323334

2343

b1sin00，bsin，bsin，b40

232332

由周期性可知，bn以3为周期进行循环

33

S,0,

22

（2）b1sin1，b2sind，b3sin2d

222

S恰好有两个元素

sinsin2d或sindsin2d

2222

即2d2或d2d2

22

2

d或d

3

（3）由S恰好有3个元素可知：T3

当T3时，bn3bn，集合Sb1,b2,b3，符合题意；

11/39

当T4时，bn4bn，sinan4dsinan

an4dan2k或an4d2kan

k

因为a为公差d0的等差数列，故an4dan2kd

n2

又d，故k1,2

当k1时，如图取a10，S0,1,1，符合条件

当T5时，bn5bn，sinan5dsinan

an5dan2k或an5d2kan

2k

因为a为公差d0的等差数列，故an5dan2kd

n5

又d，故k1,2

3

当k1时，如图取a1，Ssin,1,sin，符合条件

101010

当T6时，bn6bn，sinan6dsinan

an6dan2k或an6d2kan

k

因为a为公差d0的等差数列，故an6dan2kd

n3

又d，故k1,2,3

33

当k1时，如图取a10时，S,0,，符合条件

22

当T7时，bn7bn，sinan7dsinan

an7dan2k或an7d2kan

2k

因为a为公差d0的等差数列，故an7dan2kd

n7

又d，故k1,2,3

当k1时，因为b1,b2,,b7对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有aman2，即

222

mnd2,d，即=，mn7,m7,不符合条件；

mnmn7

当k2时，因为b1,b2,,b7对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有aman2，即

224

mnd2,d，即=，mn不是整数，故不符合条件；

mnmn7

当k3时，因为b1,b2,,b7对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有aman2或4

226

若mnd2,d，即=，mn不是整数，

mnmn7

446

若mnd4,d，即=，mn不是整数，

mnmn7

故k3不符合条件；

综上：T3,4,5,6

【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，

从而得到d的取值，再根据集合S的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的T；对于

无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题.

考点02常用逻辑用语

1．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数z，，如果满足“zR”或“zR”，那么就称z

13/39

和伴随.则当z和伴随，则i和zi伴随的充要条件是（）.

A．ReRez0B．ReRez0

C．ImImz0D．ImImz0

【答案】C

【分析】设zxyi，abi，x,yR，a,bR，由条件结合伴随的定义可判断结论.

【详解】设zxyi，abi，x,yR，a,bR，

则zxaybi，zxaybi，

当z和伴随，有yb0或yb0，

又iziaxby2i，iziaxbyi，

若i和zi伴随，则by20或by0，

所以i和zi伴随的充要条件是by0，即ImImz0.

1

2．（2018·上海·高考真题）已知aR，则“a1”是“1”的（）

a

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可．

1

【详解】若a1，得1，

a

11a

若1，则0，解得a1或a0，

aa

1

所以“a1”是“1”的充分非必要条件．

a

故选：A．

3．（2024·上海·高考真题）定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P1,P2,P3Ω，存在不全

为0的实数1,2,3，使得1OP12OP23OP30．已知(1,0,0)Ω，则(0,0,1)Ω的充分条件是（）

A．0,0,0B．1,0,0

C．0,1,0D．0,0,1

【答案】C

【分析】首先分析出三个向量共面，显然当1,0,0,0,0,1,0,1,0Ω时，三个向量构成空间的一个基底，

则即可分析出正确答案.

【详解】由题意知这三个向量OP1,OP2,OP3共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，

对A，由空间直角坐标系易知0,0,0,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当0,0,0,1,0,0Ω无法推出

(0,0,1)Ω，故A错误；

对B，由空间直角坐标系易知1,0,0,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当1,0,0,1,0,0Ω无法推出

(0,0,1)Ω，故B错误；

对C，由空间直角坐标系易知1,0,0,0,0,1,0,1,0三个向量不共面，可构成空间的一个基底，

则由1,0,0,0,1,0Ω能推出0,0,1Ω，

对D，由空间直角坐标系易知1,0,0,0,0,1,0,0,1三个向量共面，

则当0,0,1(1,0,0)Ω无法推出(0,0,1)Ω，故D错误.

故选：C．

4．（2021·上海·高考真题）已知函数yf(x)的定义域为R，下列是f(x)无最大值的充分条件是（）

A．f(x)为偶函数且关于直线x1对称B．f(x)为偶函数且关于点(1,1)对称

C．f(x)为奇函数且关于直线x1对称D．f(x)为奇函数且关于点(1,1)对称

【答案】D

【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得fx2f(x)2，据此

可判断D的正误.

【详解】对于A，因为f(x)为偶函数，故fxf(x)，

而f(x)的图像关于直线x1对称，故f2xf(x)，故f2xf(x)，

故fx为周期函数且周期为2，

而fx在0,2必有最大值，故fx必有最大值，故A错误.

对于B，而f(x)的图像关于点(1,1)对称，故f2xf(x)2，

故fx2f(x)2，故fx2f(x)2，故fx2f(x2)

故fx为周期函数且周期为4，

而fx在0,4必有最大值，故fx必有最大值，故B错误.

对于C，因为f(x)为奇函数，故fxf(x)，

15/39

而f(x)的图像关于直线x1对称，故f2xf(x)，故fx2f(x)，

所以fx4f(x)故fx为周期函数且周期为4，

而fx在0,4必有最大值，故fx必有最大值，故C错误.

对于D，因为f(x)为奇函数，故fxf(x)，

而f(x)的图像关于点(1,1)对称，故f2xf(x)2，

故f(x)fx22，设x2n,nN*，

则f(2n)f02n，故fx无最大值，

故选：D

5．（2020·上海·高考真题）若存在aR且a0，对任意的xR，均有f(xa)f(x)f(a)恒成立，则

称函数f(x)具有性质P，已知：q1:f(x)单调递减，且f(x)0恒成立；q2:f(x)单调递增，存在x00使

得f(x0)0，则是f(x)具有性质P的充分条件是（）

A．只有q1B．只有q2

C．q1和q2D．q1和q2都不是

【答案】C

【分析】对于q1，当a0，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可得f(xa)f(x)f(a)成

立；对于q2，取ax0同理可得出结论．

【详解】q1：当a0，f(a)0，因为函数f(x)单调递减，

所以f(xa)f(x)f(x)f(a)

即f(xa)f(x)f(a)，存在a0，

当满足命题q1时，f(x)具有性质P.

q2：当ax00时，f(a)0，

因为函数f(x)单调递增，

所以f(xa)f(x)f(x)f(a)，

即f(xa)f(x)f(a)，

存在a0，当满足命题q2时，f(x)具有性质P.

综上可知命题q1、q2都是具有性质P的充分条件．

故选：C

【点睛】本题考查函数的新定义、函数的单调性以及不等式的性质，考查了理解辨析能力、运算求解能力

和逻辑推理能力，属于中档题．

6．（2019·上海·高考真题）已知a、bR，则“a2b2”是“ab”的

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

【答案】C

【分析】通过函数yx2的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件.

【详解】设yx2，可知函数对称轴为x0

由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立

由此可知：当a0b0，即ab时，a2b2

当a2b2时，可得a0b0，即ab

可知“a2b2”是“ab”的充要条件

本题正确选项：C

【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.

2*

7．（2017·上海·高考真题）已知a、b、c为实常数，数列xn的通项xnanbnc，nN，则“存

在kN*，

使得x100k、x200k、x300k成等差数列”的一个必要条件是（）

A．a0B．b0C．c0D．a2bc0

【答案】A

【详解】存在kN，使得x100k,x200k,x300k成等差数列，可得

2[a(200k)2b(200k)c]a(100k)2b(100k)ca(300k)2b(300k)c，

化简可得a0，所以使得x100k,x200k,x300k成等差数列的必要条件是a0.

8．（2026·上海·高考真题）设fx是定义在R上的函数.定义性质P：若对任意x1,x2R，当x1x2时，

fx1fx2，则称函数fx具有“性质P”.

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(1)判断函数fxex是否具有“性质P”；

ax,x0

(2)若分段函数fx具有“性质P”，求所有满足条件的实数a和b的解；

xb,x0

(3)已知fx的值域为0,1，且在0,上是严格增函数，证明：fx是偶函数的充要条件是：fx具有

“性质P”.

【答案】(1)没有，理由见解析

(2)a1,b0

(3)证明见解析

【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可；

（2）根据一次函数的单调性，结合“性质P”的特性进行求解即可；

（3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质P”的特性进行运算证明即可.

【详解】（1）函数fxex不具有“性质P”，理由如下：

例如当x12,x23时，显然x1x2成立，

ex1e2,ex2e3，根据指数函数的单调性可知e2e3，

x

所以有fx1fx2，这与“性质P”矛盾，故函数fxe不具有“性质P”；

（2）因为函数fx具有“性质P”，所以取x10，有x10x2，

于是有fx1fx2，

当x20,时，由fx1fx20x2bb0，

当x2,0时，由fx1fx20ax2a0，

bbb

若b0，若x2,0，则有fx2fab，

aaa

x

取x20fxxbbfx，

12112

此时x1x2，但是fx1fx2，不符合“性质P”，所以b0不符合题意，

ax,x0

故b0，此时fx，

x,x0

x1

若x10,x20,x1x2时，则1，

x2

x1

由fx1fx2x1ax2aa1，

x2

x2

若x10,x20,x1x2时，则1，

x1

x2

由fx1fx2ax1x2aa1，

x1

因此a1，

综上所述：当且仅当a1,b0时，满足条件；

（3）充分性：若fx具有“性质P”，则fx是偶函数.

若存在x00，fx0fx0，不妨设fx0fx0，

记fx0M,fx0m，即Mm，

因为函数fx的值域为0,1，

所以0mM1，

若xx0，则有fxfx0m，

若xx0，则有fxfx0M，

Mm

故对任意xR，fx0,1，这与fx的值域为0,1矛盾，

2

所以fx0fx0不成立，则有fx0fx0，因此函数fx是偶函数；

必要性：若fx是偶函数，则fx具有“性质P”.

当x1x2时，因为fx在0,上是严格增函数，

所以fx1fx2，

又因为函数fx是偶函数，

所以由fx1fx2fx1fx2，因此fx具有“性质P”.

所以fx是偶函数的充要条件是：fx具有“性质P”.

*

9．（2022·上海·高考真题）数列an对任意nN，且n2，均存在正整数i1,n1，满足

an12anai,a11,a23.

(1)求a4可能值；

(2)命题p：若a1,a2,...a8成等差数列，则a930，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是

假，说明理由：

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m*

(3)若a2m3,mN成立，求数列an的通项公式.

【答案】(1)7或9；

(2)答案见解析；

1,n1

n3

2*

(3)an53,n2k1,kN.

n

*

32,n2k,kN

【分析】（1）利用递推公式可得a35，进而可求出a4；

*

（2）由题意可得an2n1n1,8,nN，则a92a8a30，从而命题p为真命题，给出反例即可得

出命题q为假命题；

（3）由题意可得a2m22a2m1aii2m，a2m12a2majj2m1，然后利用数学归纳法证明数列单

调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式.

【详解】（1）因为a32a2a15，所以a42a3a27或a42a3a19，所以a4可能值为7或9；

*

（2）因为a1,a2,...a8成等差数列，所以d2，an2n1n1,8,nN,

所以a92a8a30ai30，

逆命题q：若a930，则a1,a2,...a8为等差数列是假命题，举例：

a11,a23,a35,a47,a59,a611,a713,a82a7a517,a92a8a721,故命题q为假命题，

m*m1

（3）因为a2m3,mN，所以a2m23,a2m22a2m1aii2m,

a2m12a2majj2m1，所以a2m24a2majai，

mm1m

因此2ajai4a2ma2m24333a2m，

以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明an1an恒成立：

当n1时，a2a1明显成立；

假设当nk时命题成立，即akak1ak2a2a1，

则ak1ak2akaiakakai0，即ak1ak，即命题得证；

回到原题，分类讨论求数列的通项公式：

1.若j2m1，则a2m2ajai2a2m1aia2m1ai矛盾；

m1mm1

2.若j2m2，则aj3，所以ai32aj3，所以i2m2，

mm1m1

此时a2m12a2maj23353，

1,n1

n3

2*

所以an53,n2k1,kN，

n

*

32,n2k,kN

m1mm1

3.若j2m2，则2aj23，所以ai32aj3，所以j2m1，

所以a2m22a2m1a2m1（由（2）知对任意m成立），所以a62a5a3，与事实上a62a5a2矛盾，

1,n1

n3

2*

综上an53,n2k1,kN.

n

*

32,n2k,kN

【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤

(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．

2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第

(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.

一、单选题

1．（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若m，则“l与m不相交”是“l//”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必

要条件

【答案】B

【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断.

【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”，

但“l//”不成立，故充分性不成立；

若l//，则l与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立；

所以“l与m不相交”是“l//”的必要非充分条件.

2．（2026·上海嘉定·二模）已知陈述句是的充分非必要条件.若集合M=xx满足，N=xx满足，

则M与N的关系为（）

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A．MNB．MNC．M=ND．MN

【答案】A

【分析】根据充要条件和集合的包含关系可得.

【详解】因为是的充分非必要条件，所以成立时一定成立

所以x满足时，x一定满足，所以MN，

又成立时推不出成立，即x满足时x不一定满足，所以N不是M的子集.

故选：A

3．（2026·上海黄浦·二模）若a，b是空间中的两条直线，则“a//b”是“存在平面，使a，b”的

（）．

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.

【详解】若a//b，可知直线a，b是共面直线，则存在平面，使a，b，即充分性成立；

若存在平面，使a，b，则直线a，b可能相交，即必要性不成立；

综上所述：“a//b”是“存在平面，使a，b”的充分非必要条件.

4．（2026·上海长宁·二模）对于随机事件A、B，0PA1,0P