2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题08 平面向量及其应用（学生版）

专题08平面向量及其应用

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础题核心考查向量共线的坐标运算、

2023-2026年连续考查，题型覆盖单选参数求解，难度较低；近年变化显著：

考点01平面向量题、填空题、解答题；2025年出现3问大量结合椭圆方程、数列通项、三角形

共线的坐标表示椭圆综合解答题，2026、2025、2024年三边关系综合考查，2025年首次以本考

均有基础填空/单选题点为核心命制椭圆压轴解答题，对综合

应用与分类讨论能力要求大幅提升

基础题考查数量积的坐标运算、模长与

2018-2026年连续考查，题型以填空夹角求解；核心变化为2026年首次结

题、解答题为主；2026年考查填空压合三角形内线段比例、向量夹角命制最

考点02平面向量

轴题，2025年考查单位向量综合填空，值类压轴题，近年大量融合三角函数、

的数量积

2023、2022、2019、2018年均有高频椭圆方程、平面几何图形综合考查，从

考查基础计算转向多知识点融合的综合推

理，难度显著提升

基础题考查向量在三角形中的线性运

2017、2021、2022年上海高考真题高

算、最值求解；核心命题方向为结合三

频考查，题型覆盖单选题、填空题；2022

角形重心、中点等几何性质、平面直角

考点03平面向量年考查三角形内向量最值填空，2021

坐标系建模、新定义概念综合考查，2017

的应用年考查向量线性运算逻辑判断单选，

年首次以本考点为核心命制新定义压轴

2017年考查平面几何新定义填空压轴

题，对逻辑推理与数学建模能力要求大

题

幅提升

考点01平面向量共线的坐标表示

n

1．（2025·上海·高考真题）已知数列an、bn、cn的通项公式分别为an10n9，bn2、，

cnan(1)bn.若对任意的0,1，an、bn、cn的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（）

A．4个B．3个C．1个D．无数个

1/7

2．（2026·上海·高考真题）已知ax,3，b4,6，若ab，则x____________.

3．（2025·上海·高考真题）已知a(2,1),b(1,x)，若a∥b，则x__________．

4．（2024·上海·高考真题）已知kR,a2,5,b6,k，且a//b，则k的值为______．

5．（2023·上海·高考真题）已知向量a(3,4),b(1,2)，则a2b_______________．

x2y2

6．（2025·上海·高考真题）已知椭圆:1(a5)，M(0,m)(m0)，A是的右顶点．

a25

(1)若的焦点(2,0)，求离心率e；

(2)若a4，且上存在一点P，满足AP2PM，求m；

(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，CMD为钝角，求a的取值范围．

考点02平面向量的数量积

1．（2026·上海·高考真题）在ABC中，D、E在边BC上，且BDDEEC，AD1，AD与AE所成

π

的夹角为，则ABAC的最大值为____________.

3

1,x0

2．（2025·上海·高考真题）已知f(x)0,x0，a、b、c是平面内三个不同的单位向量．若

1,x0

rr

rrrr

f(ab)f(bc)f(ca)0，则|abc|的取值范围是_______．

3．（2023·上海·高考真题）已知a2,3，b1,2，求ab________

4．（2022·上海·高考真题）若|a||b||c|，且满足ab0,ac2,bc1，则___________.

x2y2

5．（2019·上海·高考真题）在椭圆1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有FPFP1，则FP

42121

与F2Q的夹角范围为____________

22221

6．（2018·上海·高考真题）已知常数x1、x2、y1、y2满足：xy1，xy1，xxyy，则

112212122

|xy1||xy1|

1122的最大值为______

22

7．（2018·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)、B(2,0)，E、F是y轴上的两个动点，

且|EF|2，则AEBF的最小值为________

考点03平面向量的应用

1．（2022·上海·高考真题）在ABC中，C，ACBC2，M为AC的中点，P在线段AB上，则MPCP

2

的最小值为________△

2．（2021·上海·高考真题）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使

得ABCE0；②存在三角形△ABC，使得CE∥(CBCA)，则（）

A．①成立，②成立B．①成立，②不成立

C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立

3．（2017·上海·高考真题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“”

的点在正方形的顶点处，设集合P1,P2,P3,P4，点P，过P作直线lP，使得不在lP上的“”的点分布

在lP的两侧.用D1(lP)和D2(lP)分别表示lP一侧和另一侧的“”的点到lP的距离之和.若过P的直线lP中有

且只有一条满足D1(lP)D2(lP)，则中所有这样的P为________

一、单选题

．（上海闵行二模）已知平面上个向量，其中，若对任意，总

12026··13a1､a2､､a13|a1|1nN,1n12

有且，则的最小值为（）

|an1|2|an|anan10|a1a2a13|

A．0B．3C．166D．632

2．（2026·上海嘉定·二模）对任意平面向量a、b、c及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）

abba；（Ⅱ）abcacbc；（Ⅲ）(a)b(ab)．则下列选项中一定成立的是（）

A．若ab0，则a0或b0B．|ab||a||b|

3/7

C．(ab)(ab)aa2abbbD．aa0

3．（2026·上海·三模）已知向量a6,0，b1,1，则向量a在向量b上的投影向量为（）

11

A．aB．aC．3bD．3b

66

4．（2026·上海·三模）已知向量a,b满足|ab||ab|，则ab在a方向上的投影向量为（）

A．aB．bC．2aD．2b

5．（2026·上海黄浦·三模）ABC中，AC2，AB2，A45，P是ABC外接圆上一点，APABAC，

则的最大值是（）

21213232

A．B．C．D．

2222

二、填空题

1

6．（2026·上海虹口·三模）在ABC中，若ABsinCACsinB，BC在BA上的投影向量为BA，则

2

cosA_____________．

7．（2026·上海虹口·三模）已知a、b、c是三个平面向量，且a为给定的单位向量．若baba1，

c5a2，则2cbca的最小值为______．

8．（2026·上海黄浦·三模）在ABC中，A30，BC2，则BA在BC上的数量投影的取值范围为________．

9．（2026·上海·三模）函数ysinx2cosx0对应的图象如图，点A为图象与x轴的交点，点B为

图象的最高点，点C为图象的最低点，若ABAC0，则的值为______

10．（2026·上海·三模）已知坐标平面上的三点A2,1，B3,2，C3,1，则AB在AC方向上的投影数

量为________．

11．（2026·上海长宁·二模）在ABC中，D是BC的中点，AD4，BC6，则AB·AC_________.

12．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知z3，w5，uzw，

且u7，则向量OP与OQ的夹角为______．

2

13．（2026·上海徐汇·二模）已知向量a､b，其中b3，a在b方向上的投影向量是b，则ab__________.

9

7

14．（2026·上海·二模）在ABC中，AB1，BC2，BACA，则cosABC________．

5

15．（2026·上海普陀·二模）已知向量a1,2，b1,1，c3,4，函数yfx的表达式为

x1,x2

fx，设dxfxafx2b，若dx//c，则x______.

2x1,x2

．（上海杨浦二模）记，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中

162026··1,2…mmmN,m1

任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使

ijk

1111

kij成立，则m的最大值为______.

2

kij

17．（2026·上海杨浦·二模）直线l：a3x2a1y30的一个法向量是n3,2，则实数a______.

π

18．（2026·上海嘉定·二模）已知向量a(cosx,sinx)，b(3,3)，且x0,，则a在b方向上的数量

2

投影的取值范围为___________

19．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点Acos,sin，Bsin,cos，0,2π．若

点Px,y满足：OPOA1，OPOB2，则xy的最大值是________．

20．（2026·上海金山·二模）已知在ABC中，AB2,AC3,BAC60．若点O为ABC外接圆的圆心，

则BCBO__________．

21．（2026·上海·三模）平面上五点A,B,C,D,E满足ABBCCD，EAEB4，EBEC5，ECED8，

则EAED的值为_____．

22．（2026·上海·三模）如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为3，底面圆直

径AB2，且点A满足AB2BC.现在A点处固定一枚无线电信标，且在C点有一微型无人机（视为一点）.

点Q在母线PB上，无人机先在空中以直线航迹从点C飞行到Q处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到A点，设飞

行路径总长度为S.则S2的最小值为_______________.

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23．（2026·上海崇明·二模）已知向量ak,2，b2,1，若ab，则实数k____________.

1

24．（2026·上海·三模）在平面上，ABAB，OBOB1，APABAB，若OP，则OA的

1212122

取值范围是________.

三、解答题

y2

25．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：x21，O为原点．

2

(1)求的右顶点到一条渐近线的距离；

(2)若点P在第一象限且P，若P、E1,0、F2,0为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标；

(3)过点0,1的直线l与交于两个不同的交点A和B，若OAOBm，求实数m的取值范围．

26．（2026·上海·三模）已知平面直角坐标系中，向量a1,2，b2,6.

(1)求b在a上的投影向量；

(2)