2026年广东省苏教版高二数学第9章函数性质习题集

2026年广东省苏教版高二数学第9章函数性质习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，若f(a)=0且a≠1，则f(1-a)的值为（）A.0B.2C.-2D.-4解析：由f(a)=a³-3a+1=0可得a³-3a=-1，代入f(1-a)=(1-a)³-3(1-a)+1，展开后利用多项式除法可得f(1-a)=1-3a+3a²-a³-3+3a+1=3a²-a³-1=a³-3a=0，故选A。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)={x+3,x≤-2,3,-2<x<1,-x+1,x≥1}，在区间[-3,3]上，f(x)的最小值为3，故选C。3.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π对称，且周期为π，则φ的可能取值为（）A.kπ+π/2B.kπ-π/2C.kπD.kπ+π/4解析：周期为π可得ω=2，对称性要求ωπ+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ-π/2，故选B。4.函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,3]上的最小值是a²-1，则实数a的取值范围是（）A.a≤1B.a≥3C.a≤1或a≥3D.1<a<3解析：对称轴x=a，分三种情况讨论：①a≤1时，最小值f(1)=2-2a=a²-1，解得a=1；②1<a<3时，最小值f(a)=-a²+3=a²-1，无解；③a≥3时，最小值f(3)=12-6a=a²-1，解得a=2（舍）或a=3，综上a=1或a≥3，故选C。5.函数f(x)=e^x-x³在区间(-∞,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f'(x)=e^x-3x²，令g(x)=e^x-3x²，g'(x)=e^x-6x，g''(x)=e^x-6，x∈(-∞,0)时g''(x)<0，g'(x)单调递减，且g'(0)=1>0，g'(x)>0，f'(x)单调递增，且f'(0)=1>0，f'(x)>0，故f(x)单调递增，故选A。6.函数f(x)=log₃(2x²-3x+1)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1/2,+∞)B.[1/2,1]C.(1/2,1)D.(-∞,1/2]∪[1,+∞)解析：2x²-3x+1>0，解得x<1/2或x>1，故选A。7.函数f(x)=x/(x-1)在区间[2,4]上的值域为（）A.[1,3/2]B.[2,3/2]C.[1,2]D.[3/2,2]解析：f'(x)=1/(x-1)²>0，f(x)单调递增，值域为[f(2),f(4)]=[2,4/3]，故选B。8.若函数f(x)=x²+ax+b在x=1时取得极值，且f(0)=1，则f(x)的解析式为（）A.x²-2x+1B.x²+2x+1C.x²-2x+2D.x²+2x+2解析：f'(x)=2x+a，x=1时f'(1)=0，a=-2，f(0)=b=1，故f(x)=x²-2x+1，故选A。9.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.3π/2D.4π解析：f(x)=1/2[1-cos(2x)]+1/2[1+cos(2x-2π/3)]=1+1/2cos(2x-2π/3)，周期T=2π/|ω|=2π/2=π，故选A。10.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为（）A.6B.8C.10D.12解析：f'(x)=3x²-a，x=1时f'(1)=0，a=3，f(x)=x³-3x+1，f(-2)=-8+6+1=-1，f(2)=8-6+1=3，f(1)=-1，最大值3，最小值-1，差为4，无选项，重新计算：f(-1)=-1+3+1=3，f(0)=1，f(1)=-1，最大值3，最小值-1，差4，无选项，题目可能设置错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x+1|-|x-1|在区间[-3,3]上的最大值是______。参考答案：4解析：f(x)={x+2,x≤-1,2,-1<x<1,-x,x≥1}，最大值f(-3)=-3+2=-1，f(-1)=2，f(1)=-1，f(3)=-3，最大值4。2.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于点(π/2,0)中心对称，且周期为π，则φ=____。参考答案：kπ-π/4解析：中心对称要求ωπ/2+φ=kπ+π/2，周期为π可得ω=2，解得φ=kπ-π/4。3.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的极值点为______。参考答案：0,2解析：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=0，f(3)=2，极值点为0,2。4.函数f(x)=e^x-x在区间(-∞,0)上的值域为______。参考答案：(0,1)解析：f'(x)=e^x-1<0，f(x)单调递减，极限为1，值域(0,1)。5.函数f(x)=log₃(2x²-5x+3)的定义域为______。参考答案：(1/2,3)解析：2x²-5x+3>0，解得x<1/2或x>3，故定义域(1/2,3)。6.函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,3]上的最小值是a²-1，则实数a的取值范围是______。参考答案：a≤1或a≥3解析：对称轴x=a，分三种情况讨论：①a≤1时，最小值f(1)=2-2a=a²-1，解得a=1；②1<a<3时，最小值f(a)=-a²+3=a²-1，无解；③a≥3时，最小值f(3)=12-6a=a²-1，解得a=2（舍）或a=3，综上a=1或a≥3。7.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的最小正周期是______。参考答案：π解析：f(x)=1/2[1-cos(2x)]+1/2[1+cos(2x-2π/3)]=1+1/2cos(2x-2π/3)，周期T=2π/|ω|=2π/2=π。8.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为______。参考答案：4解析：f'(x)=3x²-a，x=1时f'(1)=0，a=3，f(x)=x³-3x+1，f(-2)=-8+6+1=-1，f(2)=8-6+1=3，f(1)=-1，最大值3，最小值-1，差4。9.函数f(x)=|x+1|+|x-1|在区间[-3,3]上的值域为______。参考答案：[2,6]解析：f(x)={x+2,x≤-1,2,-1<x<1,x,x≥1}，最小值f(-1)=2，最大值f(-3)=-1+2=1，f(3)=3，值域[2,6]。10.函数f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)的最小正周期是______。参考答案：2π解析：f(x)=√3/2sinx+1/2cosx+1/2cosx-√3/2sinx=cosx，周期2π。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a=2。参考答案：×解析：f'(x)=3x²-a，x=1时f'(1)=0，a=3。2.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上是单调递增的。参考答案：×解析：在[-1,0]单调递减，在[0,1]单调递增。3.函数f(x)=sin²x+cos²x的周期为2π。参考答案：×解析：f(x)=1，周期为π。4.若函数f(x)=x³-3x²+2在x=2处取得极值，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值是4。参考答案：√解析：f(3)=2，f(-1)=-2，f(2)=0，f(0)=2，最大值4。5.函数f(x)=log₃(2x²-3x+1)在区间[0,1]上是单调递减的。参考答案：√解析：f'(x)=2/(x²-3x+1)<0，单调递减。6.函数f(x)=e^x-x在区间(-∞,0)上是单调递减的。参考答案：×解析：f'(x)=e^x-1>0，单调递增。7.函数f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)的图像关于直线x=π对称。参考答案：√解析：f(π)=sin(π+π/6)+cos(π-π/3)=-√3/2-1/2=-1，对称中心。8.函数f(x)=|x+1|-|x-1|在区间[-3,3]上的最大值是4。参考答案：√解析：f(-3)=-2，f(-1)=2，f(1)=2，f(3)=4，最大值4。9.函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,3]上的最小值是a²-1。参考答案：×解析：对称轴x=a，分三种情况讨论：①a≤1时，最小值f(1)=2-2a=a²-1，解得a=1；②1<a<3时，最小值f(a)=-a²+3=a²-1，无解；③a≥3时，最小值f(3)=12-6a=a²-1，解得a=2（舍）或a=3，综上a=1或a≥3。10.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的最小正周期是π。参考答案：√解析：f(x)=1+1/2cos(2x-2π/3)，周期T=2π/|ω|=2π/2=π。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=x³-3x²+2的单调递增区间是什么？参考答案：(-∞,0)∪(2,+∞)解析：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2，f'(x)>0时x<0或x>2，单调递增区间(-∞,0)∪(2,+∞)。2.函数f(x)=log₃(2x²-3x+1)的定义域是什么？参考答案：(1/2,1)解析：2x²-3x+1>0，解得x<1/2或x>1，定义域(1/2,1)。3.函数f(x)=e^x-x在区间(-∞,0)上的值域是什么？参考答案：(0,1)解析：f'(x)=e^x-1<0，f(x)单调递减，极限为1，值域(0,1)。4.函数f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)的最小正周期是什么？参考答案：2π解析：f(x)=cosx，周期2π。5.函数f(x)=|x+1|-|x-1|在区间[-3,3]上的最大值是多少？参考答案：4解析：f(x)={x+2,x≤-1,2,-1<x<1,-x,x≥1}，最大值f(3)=4。6.函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,3]上的最小值是a²-1，求实数a的取值范围。参考答案：a≤1或a≥3解析：对称轴x=a，分三种情况讨论：①a≤1时，最小值f(1)=2-2a=a²-1，解得a=1；②1<a<3时，最小值f(a)=-a²+3=a²-1，无解；③a≥3时，最小值f(3)=12-6a=a²-1，解得a=2（舍）或a=3，综上a=1或a≥3。7.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的最小正周期是什么？参考答案：π解析：f(x)=1+1/2cos(2x-2π/3)，周期T=2π/|ω|=2π/2=π。8.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，求f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差。参考答案：4解析：f'(x)=3x²-a，x=1时f'(1)=0，a=3，f(x)=x³-3x+1，f(-2)=-1，f(2)=3，f(1)=-1，最大值3，最小值-1，差4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值。解：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2，f(-2)=-2，f(0)=2，f(2)=0，最大值2，最小值-2。2.已知函数f(x)=log₃(2x²-5x+3)，求f(x)的定义域。解：2x²-5x+3>0，解得x<1/2或x>3，定义域(1/2,3)。3.已知函数f(x)=e^x-x，求f(x)在区间(-∞,0)上的值域。解：f'(x)=e^x-1<0，f(x)单调递减，极限为1，值域(0,1)。4.已知函数f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)，求f(x)的最小正周期。解：f(x)=cosx，周期2π。5.已知函数f(x)=|x+1|-|x-1|，求f(x)在区间[-3,3]上的最大值与最小值。解：f(x)={x+2,x≤-1,2,-1<x<1,-x,x≥1}，最小值f(1)=0，最大值f(-3)=-4。6.已知函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,3]上的最小值是a²-1，求实数a的取值范围。解：对称轴x=a，分三种情况讨论：①a≤1时，最小值f(1)=2-2a=a²-1，解得a=1；②1<a<3时，最小值f(a)=-a²+3