2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题07 函数的应用（学生版）

专题07函数的应用

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础题考查零点定义的直接应用、元素

与集合的判断；核心变化为2025年首

2025年上海高考真题考查，题型为3

考点01函数零点次结合偶函数、新定义集合、函数图象

问压轴解答题；2026年模拟题高频延

的定义综合考查，压轴题侧重零点个数的逻辑

伸考查，为近年新增核心考点

证明，对抽象推理与分类讨论能力要求

大幅提升

基础题考查零点存在性定理、零点个数

2020、2023、2024年上海高考真题连

与参数范围求解；命题规律稳定，核心

续考查，题型覆盖填空题、解答题；2024

考点02函数零点结合三角函数、二次函数、分段函数考

年考查三角函数零点分布，2023年考

的分布查，2024年创新结合三角函数周期性考

查二次函数零点分布，2020年考查分

查区间内零点个数，对函数图象与性质

段函数零点分布

的综合应用能力要求提升

基础题考查方程解集求解、函数定义域

2021、2022、2025年上海高考真题高与单调性；核心变化为2022年首次结

考点03函数与方频考查，题型覆盖填空题、解答题；2021合函数奇偶性、对称性、周期性综合考

程的综合应用年考查3问解答题，2022年考查填空查，2021年创新考查复合函数单调性与

压轴题，2025年考查绝对值方程求解方程根的分布，题型从基础计算转向多

知识点融合的综合推理

2018、2023、2025、2026年上海高考核心变化为2023年起从传统函数模型

真题连续考查，题型覆盖填空题、解答转向统计、几何、导数融合的综合场景，

考点04函数模型

题；2026年考查3问统计回归类解答2026年新增环保监测类实际场景，对数

及其应用

题，2025年考查抛物线模型填空压轴学建模、数据分析与综合应用能力要求

题，2023年考查建筑体模型解答题大幅提升

考点01函数零点的定义

1．（2025·上海·高考真题）已知函数yf(x)的定义域为R．对于正实数a，定义集合Ma{x∣f(xa)f(x)}．

1/6

π

(1)若f(x)sinx，判断是否是M中的元素，请说明理由；

3π

x2,x0

(2)若fx,Ma，求a的取值范围；

x,x0

(3)若yf(x)是偶函数，当x(0,1]时，f(x)1x，且对任意a(0,2)，均有MaM2．写出yf(x)，

x(1,2)解析式，并证明：对任意实数c，函数yf(x)c在[3,3]上至多有9个零点．

考点02函数零点的分布

1．（2020·上海·高考真题）设aR，若存在定义域R的函数fx既满足“对于任意x0R，fx0的值为

2

x0或x0”，又满足“关于x的方程fxa无实数解”，则a的取值范围为______.

π

2．（2024·上海·高考真题）已知f(x)sin(x)，0

3

(1)设1，求解:yfx,x0,π的值域;

(2)aπ(aR),f(x)的最小正周期为π，若在xπ,a上恰有3个零点，求a的取值范围.

x23a1xc

3．（2023·上海·高考真题）函数fxa,cR

xa

(1)当a0时，是否存在实数c，使得fx为奇函数；

(2)若函数fx过点(1,3)，且函数f(x)图像与x轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.

考点03函数与方程的综合应用

1．（2025·上海·高考真题）关于x的方程|x1||πx|π1的解集为__________．

2．（2022·上海·高考真题）已知f(x)为奇函数，当x0,1时，f(x)lnx，且f(x)关于直线x1对称，设

f(x)x1的正数解依次为、、、、、，则lim(xn1xn)

x1x2x3xnn________

3.（2021·上海·高考真题）已知函数f(x)|xa|ax.

（1）若a1，求函数的定义域；

（2）若a0，若f(ax)a有2个不同实数根，求a的取值范围；

（3）是否存在实数a，使得函数f(x)在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围.

考点04函数模型及其应用

1．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀

的区域，其余部分完好，曲线MN为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DMDN3．工人师傅现要从完

好的部分中截取一块矩形原料BQPR，当其面积有最大值时，AQ的长为__________．

2．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化

硫密度进行了监测和记录，数据如下：

颗粒

物密101.0287.0257.4721.8511.768.865.034.633.86

度

二氧

化硫119.4781.9453.209.166.604.403.313.353.86

密度

(1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？

(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分

析，并请你判断相关系数在1,0，(0,1)，(1,2)哪个区间内？（直接写结论）

(3)2023年前9年的年份(x)的平均数为2018，y(颗粒物密度)关于x(年份)的回归方程拟采用

y106.544e0.461x2014，或yax201483.743.已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程

对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？

参考数据：106.544e0.46191.681

F0

3．（2023·上海·高考真题）已知S为正比例系数，定义：S,F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：

V0

平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．

(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，求该建筑体的S（用R,H表示）；

(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知f为正比例系数，L2与

L2

A成正比，定义：f，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为T．已

A

fn1

知该建筑体推导得出S，n为层数，层高为3米，其中f18,T10000，试求当取第几层时，

T3n

3/6

该建筑体S最小？

4．（2018·上海·高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用

时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中x%（0x100）的成员自驾时，

300x30

自驾群体的人均通勤时间为f(x)1800（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间

2x9030x100

x

不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式，讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义.

一、单选题

*

1．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列an的首项为1，且对任意的nN，an的前n项和都可以表示成

an的两项之差，则称an为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（）．

A．任意一个T数列均不是等差数列B．任意一个T数列均不是等比数列

C．T集中含有且仅含有有限个等差数列D．T集中含有无穷多个等比数列

1

2．（2026·上海普陀·二模）设x、y、zR，若x2，则下列结论中不可能成立的是（）

10ylog3z

A．yxzB．xyzC．xzyD．zyx

3．（2026·上海奉贤·二模）已知函数yfx的表达式为fxx1xaxb，xR，则下列命题正

确的是（）

A．函数yfx的零点的个数一定是3个

B．若集合Ax|fx0的解集是0,，则实数对a,b有2对

C．函数yfx必存在极值

D．函数yfx在b,0处的切线方程为y0，则b1

π

4．（25-26高三上·上海·阶段检测）设函数fxsinx0在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，

3

则的取值范围是（）.

5135191381319

A．,B．,C．,D．,

36366366

二、填空题

π

5．（2026·上海·三模）已知0，函数fx2sinx1在区间0,2有10个零点与10个极值点，

3

则的取值范围是________．

6．（2026·上海徐汇·二模）函数y2x1的零点是__________.

7．（2026·上海嘉定·二模）已知函数yx3x2ax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______

x2,xa

8．（2026·上海·三模）已知函数f(x)2，若存在实数b，使得方程f(x)b无解，则实数a的

xx1,xa

取值范围是_____________.

9．（2026·上海黄浦·三模）若函数y4x2x2axb的图象关于直线x3对称，则y的最大值为

__________.

ππ

10．（2024·山东烟台·一模）若函数f(x)sinx3cosx1在0,2π上恰有5个零点，且在[,]上单

415

调递增，则正实数的取值范围为__________.

三、解答题

11．（2026·上海黄浦·三模）对于函数yfx和ygx，若存在函数yhx，使得fxgxhx，

则称yfx是ygx的“hx关联函数”．

(1)已知fxcos2x，gxsinx，是否存在定义域为R的函数yhx，使得yfx是ygx的

“hx关联函数”？请说明理由；

(2)已知ygx是周期为2π的偶函数，且当x0,π时，gxsinx．函数yfx是ygx的“cosx关

1

联函数”，若fx在0,m上至少有26个解，求m的最小值；

4

(3)已知函数yfx和ygx的定义域均为1,．当xn,n1（n为正整数）时，

x

fx2n1sin1．若存在函数yhx及yhx，使得yfx是ygx的“hx关联函数”且

n121

ygx是yfx的“h2x关联函数”，求函数ygx的零点．

12．（2026·上海·三模）已知fxlog2ax1aR.

(1)当a1时，求不等式f4x20的解集；

(2)若函数gxf2xlog2x有且只有一个零点，求实数a的取值范围.