2027高考物理复习题型精讲及课时精练专题50 带电粒子（体）在磁场中运动（教师版）

专题50带电粒子在匀强磁场中运动

模型一对洛伦兹力的理解..............................................................................................................................2

模型二带电体在磁场中的运动....................................................................................................................10

模型三带电粒子在有界匀强磁场中的运动................................................................................................17

课时精练..........................................................................................................................................................30

【基础回顾】

一、洛伦兹力

1．洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力。

2．洛伦兹力的方向(左手定则)

(1)伸出左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内。

(2)让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)。

(3)拇指所指的方向就是运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。

如图，①表示正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向，②表示磁场的方向，③表示

洛伦兹力的方向。

3．洛伦兹力的大小：F＝qvBsinθ，θ是v与B之间的夹角。

(1)当v∥B时，F＝0。

(2)当v⊥B时，F＝qvB。

二、带电粒子在匀强磁场中的运动

1．洛伦兹力的特点：由于洛伦兹力F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面，

所以洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功。

2．粒子的运动性质

(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动。

(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。

3．基本公式

v2mv

(1)由qvB＝m，得r＝。

rqB

2πr2πm

(2)由v＝，得T＝。

TqB

1qB

(3)f＝＝。

T2πm

2πqB

(4)ω＝＝2πf＝。

Tm

模型一对洛伦兹力的理解

1．洛伦兹力的特点

(1)洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。

(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。

(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向负电荷运

动的反方向。

2．洛伦兹力与安培力的联系及区别

(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力。

(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。

3．洛伦兹力与静电力的比较

洛伦兹力静电力

产生

v≠0且v不与B平行电荷处在电场中

条件

大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE

正电荷受力与电场强度方向相同，负电荷受力与电

方向F⊥B且F⊥v

场强度方向相反

做功

任何情况下都不做功可能做正功，可能做负功，也可能不做功

情况

【例题精讲】

1．关于安培力和洛伦兹力的方向，下列各选项正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解答】解：A．由于A图像中电荷的速度方向与磁场方向平行，由左手定则可知，电荷不受洛伦兹力

的作用，故A错误；

B．对于负电荷，根据左手定则，伸开左手，让磁感线垂直穿过手心，四指指向负电荷运动的反方向，

大拇指所指方向即为洛伦兹力方向，故B正确；

C．对于通电导线，根据左手定则，可知C图中安培力方向应水平向右，故C错误；

D．由于D图像中电流的方向与磁场方向平行，不受安培力的作用，故D错误。

故选：B。

2．如图所示，带正电物体（视为点电荷）静置于光滑绝缘水平面（足够长）上，空间存在垂直于纸面向

外的匀强磁场。某时刻将水平向右的恒力作用在该物体上，之后该物体会（）

A．先做加速度减小的加速运动后做匀加速直线运动

B．先做加速度减小的加速运动后做匀速直线运动

C．先做加速度减小的加速运动后做减速运动直至静止

D．做匀加速直线运动

【答案】D

퐹

【解答】解：物体在水平面上运动时，水平方向仅受恒力，加速度푎=，恒定，做匀加速直线运动；

푚

洛伦兹力竖直向下，随着速度的增大，洛伦兹力增大，地面的支持力增大，不改变水平加速度，故D

正确，ABC错误。

故选：D。

3．如图甲所示，洛伦兹力演示仪由励磁线圈、玻璃泡等组成，结构示意图如图乙所示，励磁线圈是一对

彼此平行共轴的圆形线圈，当线圈通有励磁电流时，两线圈之间将产生垂直线圈平面向外的匀强磁场，

且磁感应强度的大小与励磁线圈中的电流大小成正比。电子在电子枪中经加速电压加速后形成高速电子

束，垂直磁场方向射入，若电子束径迹在磁场中呈闭合圆形，下列说法正确的是（）

A．励磁线圈中电流方向为顺时针方向

B．仅将励磁线圈中的电流加倍，电子在磁场中运动的轨迹半径一定减半

C．仅将励磁线圈中的电流减半，电子在磁场做圆周运动的周期一定减半

D．若励磁线圈中的电流加倍，且电子枪的加速电压变为原来的2倍，则电子的运动轨迹不变

【答案】B

【解答】解：A.根据安培定则，结合磁场方向垂直线圈平面向外的条件，励磁线圈的电流方向为逆时针

方向，故A错误；

1

B.电子经加速电压加速，由动能定理푒푈=푚푣2

2

푣2

进入磁场后洛伦兹力提供向心力푒푣퐵=푚

푟

2푚푒푈

联立得轨迹半径公式푟=，因磁感应强度与励磁电流成正比（B＝kI，k为常数），电流加倍时B

푒퐵

加倍，可知轨迹半径减半，故B正确；

2휋푚

C.电子在磁场中做圆周运动的周期公式为푇=，电流减半则B减半，可知周期变为原来的2倍，

푒퐵

故C错误；

2푚푒푈

D.由轨迹半径公式푟=，当励磁电流加倍（B加倍）且加速电压变为原来的2倍（U'＝2U）时，

푒퐵

푟

2푚푒⋅2푈2⋅2푚푒푈

新的半径푟′===，轨迹半径改变，故D错误。

푒⋅2퐵2푒퐵2

故选：B。

4．如图所示，在地球上同一个地区创设不同的条件进行单摆实验。图甲装置置于真空中，悬点处固定一

带正电的小球，绝缘细线下端连接另一带正电小球，周期记为T1；图乙中，单摆的悬点在一向下加速

的电梯顶端，周期记为T2；图丙中的摆球带正电，在如图所示的匀强磁场中进行摆动，周期记为T3；

图丁中的摆球带正电，在如图所示的匀强电场中进行摆动，周期记为T4。若四个单摆的摆长一样长，

则周期关系正确的是（）

A．T1＞T2＞T4＞T3B．T2＞T1＞T3＞T4

C．T3＝T1＞T4＞T2D．T2＞T3＝T1＞T4

【答案】D

【解答】解：单摆甲所受的库仑力和单摆丙受的洛伦兹力总是沿半径方向的，不影响回复力大小，所以

푙

푇=푇=2휋

13푔

根据等效重力加速度的求法，在平衡位置处，对丁有

T丁＝mg+qE

푇丁푞퐸

则푔==푔+

效丁푚푚

푙푙

故푇=2휋=2휋푞퐸，

4(푔+)

푔效丁푚

对乙有

mg﹣T乙＝ma

解得

푇乙

푔==푔−푎

效乙푚

则有

푙푙

푇2=2휋=2휋

푔效乙푔−푎

综上比较四个单摆的周期可知

T2＞T3＝T1＞T4，故ABC错误，D正确。

故选：D。

5．如图所示，竖直平面内固定一足够长绝缘直杆，倾角为37°，杆处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面

向里，磁感应强度大小为2T，杆上套一个带负电的环，电荷量为1C，质量为1kg，环与绝缘直杆间的

动摩擦因数μ＝0.5。将环由静止释放向下滑动，g取10m/s2，则小环的最大速度为（）

A．4m/sB．6m/sC．8m/sD．10m/s

【答案】D

【解答】解：当圆环从静止开始沿杆下滑时，分析其受力情况，根据平衡条件、滑动摩擦力公式以及牛

顿第二定律可得mgsinθ﹣μ（mgcosθ﹣qvB）＝ma。

随着圆环速度增大，其加速度也相应增大，同时杆对圆环的支持力逐渐减小，直至方向变为垂直杆向下。

此时，再次对圆环进行受力分析，得到mgsinθ﹣μ（qvB﹣mgcosθ）＝ma。随着圆环速度继续增大，其

加速度逐渐减小，当加速度减小至零时，圆环的速度达到最大值。

根据此时圆环的受力分析与平衡条件，有mgsinθ﹣μ（qvmB﹣mgcosθ）＝0，代入数据解得：vm＝

10m/s。故ABC错误，D正确。

故选：D。

6．如图所示，两个半径相同的半圆形光滑轨道置于竖直平面内，左右两端点等高，分别处于沿水平方向

的匀强电场和匀强磁场中。两个相同的带正电小球同时从两轨道左端最高点由静止释放。M、N为轨道

的最低点。则下列分析错误的是（）

A．两个小球到达轨道最低点的速度vM＞vN

B．两个小球第一次经过轨道最低点时对轨道的压力FM＞FN

C．小球第一次到达M点的时间大于小球第一次到达N点的时间

D．磁场中小球能到达轨道另一端最高处，电场中小球不能到达轨道另一端最高处

【答案】C

푚푣2

【解答】解：小球在磁场中运动，在最低点进行受力分析可知F﹣mg﹣Bqv=푀

MM푟

푣2푚푣2

解得퐹=푚푀+푚푔+퐵푞푣，小球在电场中运动，在最低点受力分析可知퐹−푚푔=푁

푀푟푀푁푟

푣2

解得퐹=푚푁+푚푔

푁푟

AC.由于小球在磁场中运动，磁场力对小球不做功，整个过程中小球的机械能守恒；而小球在电场中运

动受到的电场力对小球做负功，到达最低点时的速度的大小较小，即有vM＞vN，所以在电场中运动的

时间也长，故A正确，C错误；

B.因为vM＞vN，可知FM＞FN，故B正确；

D.若在磁场中小球能运动到另一端的最高处，则根据动能定理知，在电场中，电场力始终做负功，小球

不能到达最高点，故D正确。

本题要求选择错误的，故选：C。

7．如图所示，一个带正电的电荷量为q、质量为m的小带电体处于方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，

磁场的磁感应强度为B。为了使小带电体对水平绝缘面正好无压力，应采取的措施为（）

A．仅增大B的数值

B．仅减小B的数值

푚푔

C．带电体以速度푣=푞퐵向右移动

푚푔

D．带电体以速度푣=푞퐵向左移动

【答案】C

【解答】解：根据左手定则可知，带电体应该向右移动，受到的洛伦兹力和重力平衡时，小带电体对水

푚푔

平绝缘面正好无压力，则根据平衡条件有qvB＝mg，解得v=푞퐵，故C正确，ABD错误。

故选：C。

（多选）8．如图所示，虚线AC上方区域和虚线DE下方区域均有垂直于纸面的匀强磁场（未画出），磁

感应强度大小分别为B1、B2，AC与DE之间区域无磁场。一带电粒子以垂直于磁场方向的速度射入AC

上方区域后，其运动轨迹呈现出“8”字形。图中，上部分圆形轨迹的半径比下部分圆形轨迹的半径小，

粒子在无磁场区做匀速直线运动，粒子重力不计。下列说法正确的是（）

A．上、下区域磁场方向相反

B．上、下区域磁场方向相同

C．B1＞B2

D．B1＜B2

【答案】AC

【解答】解：AB.设粒子带正电，由左手定则可判断上、下区域磁场方向相反，故A正确，B错误。

푚푣2

CD.由qvB=

푟

푚푣

得r=푞퐵可知，上方磁感应强度比下方磁感应强度大，故C正确，D错误。

故选：AC。

（多选）9．如图所示，电路中有一段金属导体，它的横截面是宽为a、高为b的长方形，放在沿y轴正方

向的匀强磁场中，导体中通有沿x轴正方向、大小为I的电流，已知金属导体中单位体积的自由电子数

为n，电子电荷量为e，金属导电过程中，自由电子做定向移动可视为匀速运动，测出金属导体前后两

个侧面间的电势差的大小为U，则下列说法正确的是（）

A．前侧面电势较高

B．后侧面电势较高

푛푒푏푈

C．磁感应强度的大小为

퐼

푛푒푎푈

D．磁感应强度的大小为

퐼

【答案】BC

【解答】解：AB．电子定向移动方向和电流方向相反，所以电子定向移动方向沿x轴负方向，根据左

手定则判断，电子受力方向指向前侧面，所以前侧面电势低，后侧面电势高，故A错误，B正确；

CD.当金属导体中自由电子定向移动时受洛伦兹力作用向前侧面偏转，使得前后两侧面间产生电势差，

푒푈푒푈

当电子所受电场力和洛伦兹力平衡时，前后两侧产生恒定的电势差，则有=퐵푒푣，q＝n（abvt）e，

푎푎

푞푛푒푏푈

=퐵푒푣，根据电流强度的定义式퐼=，联立以上几式解得퐵=，故D错误，C正确。

푡퐼

故选：BC。

（多选）10．带电量为q1的粒子在匀强磁场中运动，到达b点时与静止在那里的另一带电量为q2的粒子

相碰并粘合在一起运动，碰撞前后的轨迹如图所示，不计阻力、重力作用，则以下说法中正确的是（）

A．若轨迹从a到c，则q1为正电，q2可能正电、可能负电，也可能不带电

B．若轨迹从a到c，则q1为正电，q2为负电，电量关系有|q2|﹣|q1|＞|q1|

C．若轨迹从c到a，则q1为正电，q2为负电，电量关系有|q2|﹣|q1|＜|q1|

D．若不明确运动轨迹的走向，则不能判断q1、q2的电性

【答案】BC

【解答】解：粒子在磁场中受洛伦兹力做圆周运动，若粒子从a到c运动，根据左手定则可知粒子先带

正电，与q2相碰后粒子运动偏转方向发生了变化，即粒子所带电荷种类发生了变化，故q2应该带负电，

푣2

而且知q带负电且电量比q大。由于与粒子q相碰后粒子的半径减小，根据qvB=푚

212푅

푚푣

得푅=푞퐵，由于粒子在碰撞过程中动量守恒即mv保持不变，所以粒子做圆周运动的半径R与粒子所

带电荷量有关，由于碰撞后粒子偏转方向反向，轨道半径减小可知粒子q2带负电，且所带电荷量满足|q2|

﹣|q1|＞|q1|，同理若粒子从c到a运动根据左手定则可知粒子先带正电，与q2相碰后粒子运动偏转方向

发生了变化，即粒子所带电荷种类发生了变化，故q2应该带负电，由于与粒子q2相碰后粒子的半径增

푚푣

加，根据푅=푞퐵

由于粒子在碰撞过程中动量守恒即mv保持不变，所以粒子做圆周运动的半径R与粒子所带电荷量有关，

由于碰撞后粒子偏转方向反向，轨道半径减小可知粒子q2带负电，且所带电荷量满足|q2|﹣|q1|＜|q1|，

故AD错误，BC正确。

故选：BC。

模型二带电体在磁场中的运动

【例题精讲】

1．空间中有一磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现将一根横截面积为S、长度为L的

铜导线垂直磁场方向放置，固定后通以电流I，如图所示。若铜单位体积内的自由电子数为n，则该铜

导线中单个自由电子因定向移动所受洛伦兹力的大小为（）

퐵퐼퐿퐵퐼퐵퐼퐿퐵퐼

A．B．C．D．

푛푆푛푆푛푛

【答案】B

퐼

【解答】解：由题可知，导线中的自由电子定向运动的速率为푣=

푛푒푆

퐼퐵

则洛伦兹力为퐹=푞푣퐵=，故B正确，ACD错误；

푛푆

故选：B。

2．如图所示，一根足够长的光滑绝缘细管放在光滑的足够大水平绝缘桌面上，其底部放有一带正电小球，

小球直径比细管直径略小。整个桌面处在竖直向下的匀强磁场中。现让细管在外力作用下水平向右做匀

速直线运动。取水平向右为x轴正方向，细管初始所处直线为y轴，小球的初始位置为坐标原点。小球

的运动轨迹可能正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解答】解：细管水平向右做匀速直线运动（速度设为v），小球被细管约束，x方向速度始终等于细管

速度v，做匀速直线运动；y方向初速度为0，在洛伦兹力分力作用下独立运动，水平分速度vx＝v

产生的洛伦兹力F1＝qvB，方向竖直向上（恒定不变）。竖直分速度vy产生的洛伦兹力F2＝qvyB方向

水平向左，被细管的弹力抵消（保证x方向匀速）则小球水平方向做匀速，竖直方向做匀加速，故D

正确，ABC错误。

故选：D。

3．如图所示，光滑水平桌面上有一轻质光滑绝缘管道，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小

为B，绝缘管道在水平外力F（图中未画出）的作用下以速度v向右匀速运动。管道内有一带正电小球，

初始位于管道M端且相对管道速度为0，一段时间后，小球运动到管道N端，小球质量为m，电量为

+q，管道长度为l，小球直径略小于管道内径，则小球从M端运动到N端过程中，外力F做功的平均

功率为（）

푞푣퐵푙푞푣퐵푙

A．qvBB．qvB

2푚푚

2푞푣퐵푙푞푣퐵푙

C．qvBD．2qvB

푚푚

【答案】A

【解答】解：小球沿管道方向受到洛伦兹力分力F1＝qvB作用，从静止开始做匀加速直线运动。根据

푞푣퐵12푚푙

牛顿运动定律F＝ma，解得加速度푎=。由运动学公式푙=푎푡2，解得运动时间푡=。

1푚2푞푣퐵

小球在垂直管道方向随管以速度v匀速运动，同时获得沿管道方向的速度vy。小球所受洛伦兹力在垂

直管道方向的分力F2＝qvyB，其方向与管道运动方向相反。为保持管道匀速运动，所需外力F应与F2

푊푡푡

平衡，即F＝qvyB。外力F的瞬时功率Pinst＝Fv＝qvyBv。平均功率푃=，其中푊=퐹푣푑푡=푞푣퐵

푡00

푞푣퐵푙

푣푑푡=푞푣퐵푙。代入时间t，解得푃=푞푣퐵，故BCD错误，A正确。

푦2푚

故选：A。

4．如图甲所示，光滑绝缘水平面上方足够大空间内存在磁感应强度大小为B＝1T的水平匀强磁场，带正

电的物块A静置于水平面上，电荷量q＝0.2C。t＝0时，水平力F作用在物块A上，物块A由静止开

2

始运动，其对水平面的压力Fn随时间t的变化规律如图乙所示，重力加速度g＝10m/s，则（）

A．物块A的质量m＝1kg

B．物块A的加速度不断增大

C．水平力F的大小为25N

D．磁场力对物块A的冲量为0

【答案】C

【解答】解：A.由题图乙可知mg＝20N，得m＝2kg，故A错误；

B.物块A对水平面的压力FN＝qvB+mg＝qBat+mg

物块A对水平面的压力不断增大，则洛伦兹力不断增大，速度不断增大，做加速运动，结合图像可知，

速度均匀增大，则做匀加速运动，加速度不变，故B错误；

C.根据FN＝qBat+mg，题图乙图像的斜率k＝qBa，

代入数据得a＝12.5m/s2，F＝ma

代入数据得F＝25N，故C正确；

D.物块A对水平面的压力FN＝qvB+mg＝qBat+mg

物块A对水平面的压力不断增大，则洛伦兹力不断增大，I＝Ft所以洛伦兹力冲量不为0，故D错误。

故选：C。

5．如图所示，物块a带负电，物块b不带电，两物块叠放在光滑水平地面上，空间存在垂直纸面向里的

匀强磁场，现用水平恒力F拉物块b，两物块一起无相对滑动地沿地面向左运动，在a、b分开之前，

下列说法正确的是（）

A．物块a受到的摩擦力变小

B．物块a受到的摩擦力变大

C．地面对物块b的支持力变大

D．地面对物块b的支持力变小

【答案】D

【解答】解：AB．根据题意，对整体进行受力分析并结合牛顿第二定律有F＝（ma+mb）a

对物块a，由牛顿第二定律有f＝maa

푚푎퐹

解得푓=，物块a受到的摩擦力不变，故AB错误；

푚푎+푚푏

CD．根据题意，对整体受力分析，在竖直方向上结合平衡条件FN+qvB＝（ma+mb）g

由于做加速运动，速度增大，则地面对物块b的支持力变小，故C错误，D正确。

故选：D。

6．如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成θ角，质量为m、电荷量为﹣q的带电小球套

在细杆上，小球始终处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直细杆所在的竖直平面，不

计空气阻力。若小球以初速度v0沿细杆向上运动，经过一定的时间又回到出发点，则该过程中小球（）

A．机械能减小

B．上滑时间大于下滑时间

2

푣0

C．向上滑动的最大位移为

2푔푠푖푛휃

D．向下滑动时受到细杆的弹力大小一定先减小后增大

【答案】C

【解答】解：A．小球运动过程中，只受到竖直向下的重力、与杆垂直的洛伦兹力和弹力，由于洛伦兹

力和弹力不做功，所以小球的机械能守恒，故A错误；

B．小球上滑时mgsinθ＝ma上

下滑时mgsinθ＝ma下

所以a上＝a下

1

根据匀变速直线运动位移—时间关系式푥=푎푡2可知，上滑时间等于下滑时间，故B错误；

2

22

푣0푣0

C．小球向上滑动的最大位移为푥푚==

2푎上2푔푠푖푛휃

故C正确；

D．小球向下滑动时受到竖直向下的重力、垂直杆向上的洛伦兹力、与杆垂直的弹力，小球向下加速时，

根据F洛＝qvB可知，小球受到的洛伦兹力增大，若小球回到出发点加速到v0时，小球受到的洛伦兹力

仍小于小球重力沿垂直杆方向的分力，则根据平衡条件可知，杆对小球的弹力一直垂直杆向上减小，

故D错误。

故选：C。

7．如图所示，水平面上固定的斜面上表面光滑绝缘，斜面倾角为θ，斜面上方有一垂直纸面向里的匀强磁

场，磁感应强度为B。现有一个质量为m、带电荷量为+q的小球在斜面上由静止释放，假设斜面足够

长，重力加速度为g，下列说法正确的是（）

A．小球沿斜面下滑过程中斜面对小球的支持力一直增大

푚푔푠푖푛휃

．小球在斜面上运动的最大速率为

B푞퐵

푚푐표푠휃

．小球沿斜面下滑的时间为

C푞퐵푠푖푛휃

푚2푔푐표푠휃

D．小球沿斜面下滑的最大距离为

2푞2퐵2푠푖푛휃

【答案】C

【解答】解：A、小球沿斜面下滑，在离开斜面前，其受力分析如下图所示：

沿斜面方向：mgsinθ＝ma，垂直于斜面方向：F+FN﹣mgcosθ＝0，

其中：F＝qvB，

随着速度的增大洛伦兹力增大，支持力逐渐减小，故A错误；

B、设下滑距离x时离开斜面，此时斜面对小球的支持力FN＝0，

푚푔푐표푠휃

小球恰好脱离斜面时＝，解得最大速率为푣=，故错误；

qvBmgcosθ푞퐵B

푣푚푔푐표푠휃푚푐표푠휃

C、由v＝at，得下滑时间为푡==푞퐵=，故C正确；

푎푔푠푖푛휃푞퐵푠푖푛휃

푚2푔푐표푠2휃

D、由v2＝2ax，联立解得下滑的最大位移푥=，故D错误；

2푞2퐵2푠푖푛휃

故选：C。

（多选）8．如图所示，空间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量为2m且足够长的绝

缘木板静止在水平面上，在木板的右端放质量为m，电荷量为+q的滑块，滑块与木板之间、木板与水

平面之间的动摩擦因数均为0.2，滑块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对木板施加水平向右的

拉力为F，使木板以加速度a＝0.1g由静止开始做匀加速运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（）

A．滑块先做加速度减小的加速运动

푚푔

B．滑块最终以푞퐵的速度做匀速运动

C．拉力F大小恒定

D．拉力F先减小后恒定

【答案】BD

【解答】解：AB.分析滑块受力有μmg＝mam

代入数据得am＝0.2g

由am＞0.1g可知滑块与木板先相对静止，一起以加速度a＝0.1g做匀加速运动

当μ（mg﹣Bqv）＝ma＝0.1mg时，滑块相对木板滑动，滑动后随速度v增大，加速度a减小

当mg＝Bqv

푚푔

解得푣=퐵푞

滑块离开木板做匀速运动，故A错误，B正确；

CD.滑块与木板整体受力有F﹣μ（3mg﹣Bqv）＝3ma

v增大，拉力F减小，滑块滑动后分析木板受力F﹣μ（3mg﹣Bqv）﹣μ（mg﹣Bqv）＝2ma

v增大，拉力F减小，当滑块离开木板时，拉力F恒定，故C错误，D正确。

故选：BD。

（多选）9．物流分拣系统中，有一个足够长的水平绝缘传送带以大小为v0的速度顺时针匀速转动，在传

送带上方足够大空间内存在垂直于纸面向里的磁感应强度大小为B的匀强磁场，如图所示。将一质量

为m、电荷量为+q的带电小货物无初速度地放在传送带的左端，将小货物看成质点，小货物与传送带

间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列说法可能正确的是（）

1

A．小货物在传送带上运动的过程，摩擦力对小货物做的功一定等于푚푣2

20

B．小货物在传送带上运动的过程中，只有与传送带共速后才能做匀速直线运动

C．小货物可能先做加速度减小的变加速直线运动，与传送带共速后做匀速直线运动

푚푔

D．小货物在传送带上的最大加速度是μg，最大速度可能是푣푚푎푥=푞퐵

【答案】CD

【解答】解：A、当小货物的速度增大到使洛伦兹力与重力平衡时，有qvmaxB＝mg，解得速度大小为푣푚푎푥

푚푔1

=＜v。此后支持力为零，摩擦力消失，全过程摩擦力对小货物做的功为푊=푚푣2，代入解得푊=

푞퐵02푚푎푥

푚3푔2

，故A错误；

2푞2퐵2

푚푔

B、当小货物的速度增大到使洛伦兹力与重力平衡时，速度大小为푣푚푎푥=푞퐵＜v0，此后它将做匀速直

线运动，故B错误；

C、根据左手定则，洛伦兹力方向竖直向上。随着速度增大，洛伦兹力增大，支持力减小，滑动摩擦力

随之减小。由牛顿第二定律可知加速度减小，当速度与传送带共速后摩擦力为零，合力为零，速度不再

变化，故C正确；

D、速度为零时，支持力最大且等于重力，滑动摩擦力最大，加速度最大，大小为μg。当速度增大至使

푚푔

洛伦兹力与重力平衡时，有푣푚푎푥=푞퐵＜v0，此后支持力为零，摩擦力消失，其最大速度可能为푣푚푎푥=

푚푔

푞퐵，故D正确。

故选：CD。

（多选）10．如图，在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m、电荷量为+q的小球穿

在足够长的水平固定绝缘的直杆上处于静止状态，小球与杆间的动摩擦因数为μ。现对小球施加水平向

右的恒力F0，已知重力加速度为g，在小球从静止开始至速度最大的过程中，下列说法正确的是（）

A．直杆对小球的弹力方向不变

B．直杆对小球的摩擦力先减小后增大

퐹0

C．小球运动的最大加速度为

푚

퐹0+휇푚푔

．小球的最大速度为

D휇푞퐵

【答案】BCD

【解答】解：小球初始滑动时，满足F0﹣μ（mg﹣qvB）＝ma，随着速度v增大，加速度a随之增大。

푚푔퐹0

当푣=时，加速度达到最大值푎=。

푞퐵푚푎푥푚

此时摩擦力为f＝μ（mg﹣qvB），它随v增大而减小。当洛伦兹力等于重力mg时，支持力为零。此后，

随着速度继续增大，洛伦兹力超过重力，支持力反向并增大。

在此后的滑动过程中，满足F0﹣μ（qvB﹣mg）＝ma，加速度a随v增大而减小，而摩擦力f＝μ（qvB

퐹0+휇푚푔

﹣）则随之增大。当加速度减为零时，解得最大速度푣=。

mg푚푎푥휇푞퐵

综上所述，直杆对小球的弹力方向先竖直向上，后竖直向下，方向发生了改变。直杆对小球的摩擦力先

减小后增大。故BCD正确，A错误。

故选：BCD。

模型三带电粒子在有界匀强磁场中的运动

1．带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定

(1)圆心的确定方法

①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即

为圆心，如图甲。

②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交

点即为圆心，如图乙。

mv

③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦

qB

兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。

(2)半径的计算方法

mv

方法一由R＝求得

qB

方法二连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得

L

例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得

sinθ

常用到的几何关系

①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。

1

②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α。

2

(3)时间的计算方法

θ

方法一利用圆心角、周期求得t＝T

2π

l

方法二利用弧长、线速度求得t＝

v

θφ2α

例如：t＝T＝T＝T

2π2π2π

︵

AB

l

t＝＝

vv

2．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形

(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)

(2)平行边界(往往存在临界条件，如图所示)

(3)圆形边界

①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一

定等于速度的偏向角。

②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒

子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。

③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内

运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有

最小磁感应强度。

【例题精讲】

1．如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里。a、o、c是三个质量

和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在

磁场中的运动轨迹。粒子重力不计，下列说法正确的是（）

A．粒子a带负电

B．粒子b的动能最大

C．粒子c在磁场中运动的时间最短

D．粒子c在磁场中运动时受到的向心力最大

【答案】B

【解答】解：A.根据左手定则，磁场方向垂直纸面向里，粒子初速度向上，粒子a向左偏转，说明其受

到的洛伦兹力向左，可知粒子a带正电，故A错误；

푣2푚푣

B.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由푞푣퐵=푚可得轨道半径푅=，

푅푞퐵

由于三个粒子的质量m和电荷量q大小相等，所在磁场B相同，由图可知，粒子b的轨迹半径最大，

1

则粒子b的速度最大，根据动能公式퐸=푚푣2可知，粒子b的动能最大，故B正确；

푘2

2휋푚휃

C.根据粒子在磁场中运动的周期푇=，可知三个粒子运动周期相同。粒子在磁场中运动时间푡=푇，

푞퐵2휋

其中θ为轨迹对应的圆心角。由图可知，粒子c完成了半个圆周运动，其余两粒子a、b均未完成半个

圆周就射出边界，因此粒子c在磁场中运动的时间最长，故C错误；

D.粒子在磁场中运动时受到的向心力即为洛伦兹力F＝qvB，由对B选项的分析可知，粒子c的轨迹半

径最小，说明其速度v最小，因此粒子c在磁场中运动时受到的向心力最小，故D错误。

故选：B。

2．如图所示，半圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，A、B为半圆直径的两个端点，O点为半圆的圆

心，ON为圆的半径。现有带电粒子a、b分别以不同的速度从A点和B点沿半径方向同时进入磁场，

并同时从N点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间相互作用。已知∠AON＝60°，则粒子a、b（）

A．做圆周运动的半径之比为1：3

B．运动的速率之比为3：2

C．比荷之比为2：1

D．运动的角速度之比为1：2

【答案】C

【解答】解：A.令O点为原点，直线AB为x轴，设半径为R，又∠AON＝60°，

−푅3푅

则A点坐标（﹣R，0），B点坐标（R，0），N点坐标(，)，

22

粒子a、b均沿径向射入，因此也将沿径向射出，

则过N做圆的切线，与过A的垂线交点即为圆心Oa，与过B的垂线交点即为圆心Ob，

设半径ra。rb，轨迹圆心角θa。θb，则푂푎푁=푟푎，푂푏푁=푟푏，

2휋푟푎푅

根据几何关系有휃푎=휋，휃푏=，=푡푎푛30°，=푡푎푛30°，

33푅푟푏

3

解得푟푎=푅，푟푏=3푅，

3

因此ra：rb＝1:3，故A错误；

푚푣2푞퐵푟

BCD.由=푞푣퐵，可得푣=，

푟푚

푞퐵

又v＝ωr可得휔=，

푚

휃푎휃푏

又θ＝ωt，粒子a、b同时到达N点，则=，

휔푎휔푏

푞푞푏

不计粒子的重力，联立可得：=휃：θb，＝2:1，

푚푎푚푏푎

푞푎푞푏

휔：휔==2:1，

푎푏푚푎:푚푏

푞푎푟푎푞푏푟푏

푣：푣=：=2:3，故BD错误，C正确。

푎푏푚푎푚푏

故选：C。

3．托卡马克环形容器是核聚变工程中重要装置，如图是某一托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，

两个同心圆围成环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内

圆上A点发射a、b两个粒子，都恰好经过磁场外边界。已知a粒子沿同心圆的径向发射，其速度大小

푞퐵푅0푞

푣=，b粒子沿内圆的切线方向发射，a、b都带正电且比荷均为。不考虑带电粒子所受重力和

푎푚푚

相互作用。则（）

A．外圆半径等于2R0

2휋푚

．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为

Ba3푞퐵

2

C．b粒子速度大小为(+1)푣푎

2

5휋푚

．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为

Db6푞퐵

【答案】C

2

푞퐵푅0푚푣푎

【解答】解：A．已知푣푎=，根据洛伦兹力提供向心力푞푣푎퐵=，可得a粒子的运动半径ra＝R0

푚푟푎

a沿径向发射，速度方向沿OA，因此轨道圆心Oa在与OA垂直的直线上，运动轨迹如图

由几何关系可得푂푂푎=2푅0

解得外圆半径푅=푂푂푎+푟푎=푅0(2+1)，故A错误；

B．a从A到外边界切点，转过的圆心角θa＝π﹣β，由图可知角度tanβ＝1，解得β＝45°

3휋

可得圆心角휃=

푎4

휃푎3휋푚

运动时间푡=⋅푇=，故B错误；

푎2휋4푞퐵

C．b沿切线方向发射，速度方向垂直于OA，因此轨道圆心Ob在OA直线上，粒子轨迹与外圆相切，

运动轨迹如图所示。

设b轨道半径为rb，外圆半径满足R＝OOb+rb＝2rb﹣R0

又根据푅=푅0(2+1)

2

可得b粒子的运动半径푟푏=푅0(1+)，

2

푞퐵푟푏2

因此b粒子的速度푣푏==푣푎(1+)，故C正确；

푚2

D．b从A到外边界切点，A和切点分别在圆心Ob的两侧，转过圆心角θb＝π

휃푏휋푚

则b粒子的运动时间푡=⋅푇=，故D错误。

푏2휋푞퐵

故选：C。

4．边界MN上方区域内存在垂直于纸面的匀强磁场，带电粒子a、b垂直于磁场方向（同时垂直于磁场边

界）从O点射入，它们的部分运动轨迹如图所示。不计粒子所受重力及粒子间的相互作用。下列说法

正确的是（）

A．粒子a带负电

B．若粒子a与粒子b所带电荷量相同，则粒子a的动量小

C．若两粒子射入时的初动能相同，则粒子a受到的洛伦兹力小

D．若粒子a先回到磁场边界，则粒子a的比荷小于粒子b的比荷

【答案】B

【解答】解：A．粒子a向左偏转，洛伦兹力方向向左，根据左手定则可知，粒子a带正电，故A错误；

B．粒子a轨迹弯曲程度比粒子b大，表明粒子a圆周运动的半径小于粒子b圆周运动的半径，即有Ra

＜Rb

22

푣푎푣푏

根据푞푎푣푎퐵=푚푎，푞푏푣푏퐵=푚푏

푅푎푅푏

푚푎푣푎푝푎푚푏푣푏푝푏

解得푅==，푅==

푎푞푎퐵푞푎퐵푏푞푏퐵푞푏퐵

若粒子a与粒子b所带电荷量相同，则粒子a的动量小，故B正确；

11

C．若两粒子射入时的初动能相同，则有푚푣2=푚푣2

2푎푎2푏푏

212212

푚푎푣푎2푣푏2

两个粒子所受洛伦兹力分别为퐹푎=푞푎푣푎퐵==푚푎푣푎⋅，퐹푏=푞푏푣푏퐵=푚푏=푚푏푣푏⋅

푅푎2푅푎푅푏2푅푏

由于半径关系Ra＜Rb

则有Fa＞Fb，则粒子a受到的洛伦兹力大，故C错误；

D．粒子在磁场中的轨迹为半个圆，经历时间为半个周期，若粒子a先回到磁场边界，则有Ta＜Tb

2휋푚푎2휋푚푏

两粒子磁场中圆周运动的周期푇푎=，푇푏=

푞푎퐵푞푏퐵

푞푎푞푏

则有比荷关系＞

푚푎푚푏

即若粒子a先回到磁场边界，则粒子a的比荷大于粒子b的比荷，故D错误。

故选：B。

5．如图所示，在边长为L的等边三角形内分布着垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场，在

三角形的中心有一个点状的粒子源O，它可沿平行纸面的各个方向发射质量为m，电荷量为+q，速率为

푞퐵퐿

3的同种粒子。不考虑粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（）

6푚

A．有部分粒子能够击中三角形的顶点

휋푚

B．粒子在磁场中运动的最短时间为3푞퐵

2휋푚

．粒子在磁场中运动的最长时间为

C3푞퐵

5퐵

D．若磁感应强度大小为，仍有粒子能射出三角形区域

2

【答案】B

【解答】解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得：

푣2

푞푣퐵=푚

푟

푞퐵퐿

已知：푣=3

6푚

可得圆周运动的半径：

푚푣

3

푟==퐿

푞퐵6

3

由等边三角形的几何知识可知O点到各个顶点的距离为퐿此距离等于2r，假设粒子能够击中顶点，粒

3

子的轨迹为半个圆周，显然粒子将从边界先射出，故无法击中顶点，故A错误；

B、当粒子在边界上的出射点与O的连线垂直于出射点所在边界时，轨迹圆弧的弦最短，轨迹圆心角最

小，运动时间最短，轨迹如图1所示

由等边三角形的几何中心为高的三等分点，可得最短弦长为

13

퐿푠푖푛60°=퐿=푟

36

可得此轨迹圆心角：

휋

휃=

3

粒子在磁场中运动周期为

2휋푟2휋푚

푇==

푣푞퐵