2027高考物理复习题型精讲及课时精练专题51 动态圆、磁聚焦和磁发散问题（教师版）

专题51动态圆、磁聚焦和磁发散

模型一放缩圆法........................................................................................................................................1

模型二旋转圆法........................................................................................................................................9

模型三平移圆法......................................................................................................................................20

模型四磁聚焦和磁发散问题..................................................................................................................26

模型一放缩圆法

1.适用条件：粒子速度方向一定，大小不同

粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子，粒子垂直进入匀强磁场时，这些带电粒子

在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化，轨迹圆的圆心在同一条线上。

2.轨迹特点：轨迹圆圆心在同一条直线上

如图所示，假设粒子带正电，速度越大，轨迹圆的半径也越大，又出发位置相同，这些

带电粒子射入磁场后，运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上，相当于将轨迹

圆的半径以入射点P为定点，PP′为直径所在直线，进行放大或缩小得到轨迹圆，这些轨迹

圆就叫放缩圆。

3.寻找临界条件

以入射点P为定点，将半径放大或缩小从而作出不同速率的粒子做圆周运动对应的轨迹，从

而找到临界圆。

【例题精讲】

1．如图所示，ab边界以上，圆形边界以外的Ⅰ区域中存在匀强磁场，磁感应强度为B0，圆形边界以内Ⅱ

区域中匀强磁场的磁感应强度为2B0，圆形边界半径为R，ab边界上c点距圆形边界圆心O的距离为

2R；一束质量为m、电荷量为q的负电粒子，在纸面内从c点沿垂直边界ab方向以不同速率射入磁场。

不计粒子之间的相互作用。已知一定速率范围内的粒子可以经过圆形磁场边界，这其中速率为v的粒子

到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间最短。只考虑一次进出Ⅰ、Ⅱ区域，则（）

3푞퐵0푅

A．可以经过圆形边界的粒子的速率最大值为

푚

푞퐵0푅

B．可以经过圆形边界的粒子的速率最小值为

푚

2휋푅

C．速率为v的粒子在Ⅰ区域的运动时间为

3푣

휋푚

D．速率为v的粒子在Ⅱ区域的运动时间为

4푞퐵0

【答案】C

푣2푚푣

【解答】解：AB、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得푞푣퐵=푚，可得푟=

푟푞퐵

可知，粒子的速度越大，其轨迹半径越大，当粒子从Ⅱ区域右侧经过圆形磁场边界时，轨迹半径最大，

3

此时粒子的速度最大，由几何关系得最大的轨迹半径r=R

max2

3푞퐵0푅

代入数据解得最大速度为푣=

푚푎푥2푚

当从Ⅱ区域左侧经过圆形磁场边界时，粒子轨迹对应的轨迹半径最小，此情况下粒子速度最小，由几何

푅

关系得最小的轨迹半径r=

min2

푞퐵0푅

代入数据解得最小速度为푣=，故AB错误；

푚푖푛2푚

2휋푟2휋푚

C、粒子在磁场Ⅰ中运动周期为푇==

푣푞퐵

휃휃푚

设粒子经过圆形磁场边界时，在磁场Ⅰ中偏转的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的时间为푡=푇=

2휋푞퐵0

则粒子偏转的圆心角越小，到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间越短，由几何关系可得，速率为v的

粒子到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间最短的运动轨迹如下图所示

由几何知识可知，粒子在Ⅰ区域中运动的时间最短时轨迹半径r＝R

对应的圆心角为θ＝120°

120°2휋푅2휋푅

可得速率为v的粒子在Ⅰ区域的运动时间为푡=⋅=，故C正确；

1360°푣3푣

푚푣푅

D、当进入Ⅱ区域磁场后，粒子做匀速圆周运动的半径为푟==，由r2＜R与对称性可知，粒子

22퐵0푞2

푇2휋푚1휋푚

能在Ⅱ区域做半个圆周运动，则速率为v的粒子在Ⅱ区域的运动时间为푡2==×=，故D

22퐵0푞22퐵0푞

错误。

故选：C。

2．如图所示，竖直平面内一半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。

一束质量为m、电荷量为﹣q的带电粒子沿平行于直径MN的方向以不同速率v0从P点进入匀强磁场，

1

入射点P到直径MN的距离ℎ=푅，不计粒子重力。下列说法正确的是（）

2

푞퐵푅

A．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，则其入射速度v为

0푚

휋푚

B．若粒子恰好能从N点射出，则粒子在磁场中运动的时间为6푞퐵

3

C．若粒子恰好能从K点（OK⊥MN）射出，则其在磁场中运动半径大小为푅

2

푞퐵푅

D．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，则其入射速度v为

03푚

【答案】B

【解答】解：A、若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，粒子的轨迹如图所示，

푅

由几何关系得：푟=ℎ=

12

2

푣0

由洛伦兹力提供向心力，则有：푞푣0퐵=푚

푟1

푞퐵푅

联立得粒子的入射速度为：푣=，故A错误；

02푚

B、若粒子恰好能从N点射出，画出符合条件的粒子轨迹如图所示，

222

由几何关系得：FO′+FN＝NO′，퐹푁＝R+Rsinα

2

232

即：(푟2−ℎ)+(푅+푅)=푟

22

联立解得：푟2=2푅+3푅=2퐹푁

휃푚휋푚

可知∠′＝°，则粒子在磁场中运动的时间为：푡==，故正确；

PON30푞퐵6푞퐵B

C、若粒子恰好能从K点射出，画出该粒子的运行轨迹如图所示，

根据平面几何的知识，可知四边形POKO'是菱形，则粒子在磁场中运动的半径：r3＝R，故C错误；

D、若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，画出符合条件的运动轨迹如图所示，

根据几何关系可知：∠OPQ＝60°﹣45°＝15°

2(2+3)푅

因ΔPOQ为等腰三角形，则根据数学知识有：푃푄=2푅푐표푠15°=

2+6

푃푄(2+3)푅

由于ΔPO′Q为等腰直角三角形，可知：푟4==

21+3

2

푣0

由洛伦兹力提供向心力，可得：푞푣0퐵=푚

푟4

(1+3)푞퐵푅

联立以上各式解得：푣0=，故D错误。

2푚

故选：B。

3．如图所示，在理想的虚线边界内有范围足够大的匀强磁场，ab，cd段水平，bc，de段竖直，且ab＝cd=

3

bc。在纸面内大量质子从a点垂直于ab以不同速率射入磁场，不计质子间的相互作用力和重力，则从

2

边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为（）

A．3：2B．36：13C．9：4D．36：17

【答案】B

【解答】解：画出质子的运动轨迹如下图所示：

设bc长度为2L，则ab＝cd＝3L，从垂直边界de射出的质子的运动半径为R1，由几何关系可得：

R1＝ab+cd＝3L+3L＝6L

当质子在c点射出时，运动轨迹的圆心角最大，运动时间越长，设质子在c点射出时运动半径为R2，由

几何关系得：

222

（3L﹣R2）+（2L）=푅2

13

解得：R=퐿

26

푣2푞퐵푅

由洛伦兹力提供向心力得：qvB＝m，解得：v=

푅푚

可知质子在磁场中运动速率之比等于半径之比，所以从边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长

的质子的速率之比为：v1：v2＝R1：R2＝36：13，故ACD错误，B正确。

故选：B。

4．如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方

向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁场

中运动的（）

A．轨迹半径之比为1：2B．速度之比为2：1

C．时间之比为2：3D．周期之比为2：1

【答案】A

【解答】解：A．设粒子的入射点到磁场下边界的磁场距离为d，粒子的轨迹半径分别为R1、R2，如图

所示。

根据几何关系可得：R1＝d

R2＝R2cos60°+d

解得：R2＝2d

则两粒子在磁场中运动的轨道半径之比为R1：R2＝1：2，故A正确；

푣2

B、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得：qvB＝m

푅

푞퐵

可得：v=⋅푅

푚

则两粒子的速度之比为v1：v2＝R1：R2＝1：2，故B错误；

2휋푚

、粒子在磁场中运动的周期为：=，可知粒子的运动的周期与粒子的速度大小无关，所以粒子

CDT푞퐵

在磁场中的周期相同；

휃

由粒子的运动轨迹可知，两种速度的粒子轨迹的圆心角分别为90°、60°，粒子运动的时间为：t=

360°

T

则两粒子在磁场中的运动时间之比为：t1：t2＝90°：60°＝3：2，故CD错误。

故选：A。

5．一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其下边界如图中虚线所示，P、M、N、Q四

点共线，∠MON为直角，OM＝ON＝MP＝d。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从

P点以不同的速率垂直于PM射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则粒子在磁场中运动时间

最长时的速率是（）

푑푞퐵2푑푞퐵

A．B．

2푚2푚

푑푞퐵(2+2)푑푞퐵

C．D．

푚2푚

【答案】C

【解答】解：粒子在磁场中运动时间最长时轨迹对应的圆心角最大，则粒子从O点射出时运动时间最长，

如图所示：

根据几何关系可得圆心在M点，轨迹半径为：R＝PM＝MO＝d

푣2

根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m

푅

푑푞퐵

解得：v=，故C正确、ABD错误。

푚

故选：C。

6．如图所示，在矩形GHIJ区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P点是GH边的中点，四个完全相同的

带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P点射入匀强磁场，它们的轨迹在同一平面（纸

面）内，下列说法正确的是（）

A．④粒子的速率最大

B．③粒子的向心加速度最大

C．②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长

D．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期不相同

【答案】A

2휋푚

【解答】解：、四个粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动，根据周期公式=可知，四个完全相

CDT푞퐵

同的粒子，其比荷相同，在同一匀强磁场中运动的周期相同，由图知③粒子在磁场中转过的圆心角最大，

휃

由t=T（θ是轨迹的圆心角）可知，③粒子在矩形GHIJ磁场区域经历的时间最长，故CD错误；

2휋

푣2

A、根据洛伦兹力提供向心力得푞푣퐵=푚

푟

푚푣

可得푟=푞퐵

因④粒子的轨迹半径最大，则④粒子的速率最大，故A正确；

푣2푞퐵푣

B、粒子的向心加速度为푎==，可知④粒子的向心加速度最大，故B错误。

푟푚

故选：A。

7．如图所示，等腰梯形ABCD区域内，存在垂直该平面向里的匀强磁场，已知磁感应强度B＝4T，AB＝

0.4m，AD＝BC＝0.8m，θ＝30°。O为DC边上一点，AO⊥DC，O点处有一粒子源，能沿垂直AD边

的方向发射速度大小不等的同种带电粒子，带电粒子的质量为m＝5×10﹣8kg，电荷量为q＝﹣1.0×10﹣9C，

粒子重力不计。下列说法正确的是（）

A．从A点飞出的粒子速度大小为32cm/s

B．AB边与CD边可飞出粒子的区域长度之比为1：2

5

C．粒子在磁场中运动的最长时间为휋×10−2푠

3

D．BC边会有部分区域有粒子飞出

【答案】B

【解答】解：A、从A点飞出的粒子，运动情况如图所示：

由几何关系可知，从A点飞出的粒子的运动轨迹半径为rA＝0.4m

푣2

由洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m

푟퐴

可得从A点飞出的粒子速度大小为v＝0.032m/s＝3.2cm/s，故A错误；

BD、由几何关系可知，若粒子速度较大，则粒子可能从AD边靠近E点处射出磁场，随着粒子速度减小，

射出点逐渐向A点靠近，当粒子速度再减小，运动轨迹刚好与AB边相切，若速度再减小，粒子将在磁

场中偏转从CD边射出磁场，即BC边不会有粒子飞出；当粒子运动轨迹恰好与AB边相切时，轨迹如图

所示：

轨迹半径满足关系：2×（0.4m﹣r）＝r

4

解得：r=m

15

23

AB边有粒子射出的区域长度为：L1＝rcos30°，解得：L1=m

15

轨迹与AB边相切从DC边射出的粒子距O点最远，粒子速度再变小则从最远距离至O点均有粒子射出，

即CD边有粒子射出的区域长度为：L2＝2L1

则AB边与CD边可飞出粒子的区域长度之比为1：2，故B正确，D错误；

240°2휋푚

C、粒子从CD边射入磁场再从CD边射出磁场所用时间最长，则运动的最长时间为：t=×

max360°푞퐵

50휋

解得：t=푠，故C错误。

max3

故选：B。

模型二旋转圆法

1.适用条件：粒子出发地点相同，速度大小一定，但方向不同。

粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子，粒子垂直进入匀强磁场时，这些带电粒子

在磁场中做匀速圆周运动且半径相等。

2.轨迹特点：轨迹圆的圆心在同一个圆上

如图所示，假设粒子带正电，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心均在以入射点O

mv

为圆心、半径R0的圆上，这个圆称为“轨迹圆心圆”，相当于将最外侧的轨迹圆以入

=qB

射点O为定点进行顺时针旋转，可得到粒子沿不同方向发射时的轨迹圆，所以这种模型就

是旋转圆模型。

3.寻找临界圆

以入射点O为定点，把各粒子运动的轨迹圆绕该点进行旋转，从而得到沿不同方向发射的粒

子的轨迹，结合边界条件，从而找到临界圆。

【例题精讲】

1．如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为

B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下

表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已

푞퐵푑

知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，

푚

则（）

1

A．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为푑

2

B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为(3−1)푑

휋푚

C．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为푞퐵

휋푚

D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为2푞퐵

【答案】B

푣2

【解答】解：粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力푞푣퐵=푚，代入数据可得r＝d，粒子运动轨

푟

迹如图所示：

22

AB、由几何关系可知薄板上表面接收到粒子的长度s1=(2푟)−푟−r，代入数据可得s1＝（3−1）d，

下表面接收到粒子的长度s2＝d，故A错误，B正确；

2휋푟2휋푚

CD、粒子圆周运动的周期T=，代入数据可得T=，刚好打在薄板下表面N点的粒子转过的圆

푣푞퐵

휋112휋푚휋푚3휋

心角为，运动时间最短푡=푇=×=，初速度沿x轴正方向的粒子转过的圆心角为，

3푚푖푛66푞퐵3푞퐵2

332휋푚3휋푚

运动时间最长푡=푇=×=，故CD错误。

푚푎푥44푞퐵2푞퐵

故选：B。

2．如图所示，x轴上方存在垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。坐标原点O处存在一离

子源，能在xOy平面内沿各方向发射速率为2푣0的质量为m、电荷量为q的正离子，速度方向与y轴夹

2푚푣0

角最大值为°。一部分离子经磁场偏转后可以击中位于轴上的点，距离为。若击中点

60xPOP푞퐵P

的离子在磁场中的运动的最长时间与最短时间之差为Δt，忽略离子间的相互作用，不计离子重力。则Δ

t为（）

휋푚2휋푚휋푚4휋푚

．．．．

A2푞퐵B3푞퐵C푞퐵D3푞퐵

【答案】C

2푚푣2

【解答】解：带电粒子在磁场中做圆周运动，半径为R，洛伦兹力提供向心力2푞푣퐵=0，代入数

0푅

2푚푣0

据可得R=，有OP=2R，

푞퐵

击中P点的带电粒子运动轨迹如图所示：

훼푅

由几何关系可知2Rcosθ1＝OP，转过的圆心角α＝2π﹣2θ1，运动的时间t1=，代入数据可得：θ1＝

2푣0

3휋3휋푚

45°，α=，t=，

212푞퐵

휋훽푅

由几何关系可知2Rcosθ2＝OP，转过的圆心角β＝2（−θ2），运动的时间t2=，代入数据可得：θ2＝

22푣0

휋휋푚

°，=，=，

45β2t22푞퐵

휋푚

最长时间与最短时间之差Δt＝t1﹣t2，代入数据可得：Δt=푞퐵，故ABD错误，C正确。

故选：C。

3．如图所示，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为足够

长的离子接收板，到MN垂直距离为h的O点有一离子源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量为

ℎ푞퐵

m、带电量为+q的粒子，粒子速率均为푣=，则（）

푚

A．接收板接收到离子的区域长度为2h

1

B．能被接收的离子占总离子的

2

휋푚

C．被接收的粒子运动最短时间为2푞퐵

휋푚

D．被接收的粒子运动最长时间为푞퐵

【答案】B

푣2

【解答】解：A、离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有푞푣퐵=푚，解得离子

푟

的轨迹半径r＝h

画出离子的临界轨迹，如图所示：

则接收板接收到离子的区域长度为푃푄=퐴푃+퐴푄=(2푟)2−ℎ2+푟=(3+1)ℎ，故A错误；

B、当粒子的运动轨迹与接收板两侧相切时，粒子恰好能被接收板接收，此时粒子在O点的速度方向间

1

的夹角等于180°，所以能被接收的离子占总离子的，故B正确；

2

C、当粒子打到A点时轨迹的弦最短，运动时间最短，其轨迹如图所示：

112휋푚휋푚

轨迹对应的圆心角为60°，则被接收的粒子运动最短时间为푡=푇=⋅=，故C错误；

푚푖푛66푞퐵3푞퐵

332휋푚

D、粒子在右侧轨迹与MN相切时运动时间最长，则被接收的粒子运动最长时间为푡=푇=⋅=

푚푎푥44푞퐵

3휋푚

，故错误。

2푞퐵D

故选：B。

4．如图所示，半径为R的圆形区域内存在一垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，S为磁场

边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率v经过S点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，粒子

的出射点分布在四分之一圆周SP上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（）

A．粒子带负电

2푣

B．粒子的比荷为

퐵푅

2휋푅

C．从P点射出的粒子在磁场中运动的时间为

2푣

D．若粒子的入射速率为2v，粒子的出射点分布在二分之一圆周上

【答案】C

【解答】解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动，出射点分布在四分之一圆周SP上，根据左手定则可知，

粒子带正电，故A错误；

B、根据题意可知，从P点射出的粒子在磁场中的运动轨迹为半圆，其直径是最长的弦，轨迹半径为

2

푟=푅

2

根据洛伦兹力提供向心力有

푣2

푞푣퐵=푚

푟

푞2푣

解得=，故B错误；

푚퐵푅

휋푟2휋푅

C、从P点射出的粒子在磁场中运动的时间为푡==，故C正确；

푣2푣

D、若入射粒子的速率为2v，分析可知粒子在磁场中运动的轨迹半径为2푅，大于磁场圆半径，故出射

点将分布在整个圆周上，故D错误。

故选：C。

5．如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在圆周上的P点有一个粒子源，可以

在0≤θ≤60°的范围内垂直磁场方向发射速度大小相等的同种粒子。已知粒子质量为m、带电量为+q，

速度大小为v0，以θ＝30°角射入磁场的粒子恰好垂直于直径PQ方向射出磁场区域。不计粒子的重力

及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（）

A．粒子轨迹不可能通过O点

5휋푅

B．粒子在磁场中运动的最长时间为

6푣0

C．粒子射出磁场边界时的速度方向不可能相同

D．粒子在磁场边界的出射点分布在四分之一圆周上

【答案】B

【解答】解：AC、粒子在磁场中做匀速圆周运动，如下图所示，画出以θ＝30°角射入磁场的粒子恰好

垂直于直径PQ方向射出磁场区域的轨迹。

由几何关系可得四边形POP′O′为菱形，△POO′为等边三角形，可知粒子的运动半径等于圆形磁场

区域的半径R，且运动轨迹恰好刚好经过O点。

当θ在0≤θ≤60°的范围内变化时，而粒子的运动半径总是等于圆形磁场区域的半径R，对应的四边形

POP′O′均为菱形，P'O'总是与OP平行，故粒子射出磁场边界时速度方向均垂直于OP，可知粒子射出

磁场边界时的速度方向是相同的，故AC错误；

D、如下图所示，当θ＝0时，即沿PO方向入射的粒子，其速度方向偏转了90°，出射点在M处；当θ

＝60°时，射入磁场的粒子速度方向偏转了150°，且速度偏转角是最大的，出射点在N处，可知粒子

在磁场边界的出射点分布在劣弧MN之间，且小于四分之一圆周，故D错误；

B、由D选项的分析可知，当θ＝60°时，粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为150°，且最大，其在磁场

中运动的时间最长，且为：

150°2휋푅5휋푅

푡푚푎푥=×=，故B正确；

360°푣06푣0

故选：B。

6．如图所示，边长为a的正六边形abcdef区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。正

六边形中心O处有一粒子源，可在纸面内向各个方向发射不同速率带负电的粒子，已知粒子质量均为

m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（）

푞퐵푎

A．沿Oa方向发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为

2푚

(23−3)푞퐵푎

B．垂直ab向上发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为

푚

23푞퐵푎

C．要想从d点离开正六边形区域的粒子，速率至少为

푚

3푞퐵푎

D．所有要想离开正六边形区域的粒子，其速率至少为

2푚

【答案】B

【解答】解：A、沿Oa方向发射的粒子，其运动轨迹恰好与bc边相切时，该粒子恰好能离开磁场，如

下图所示

푚푣2

则根据洛伦兹力提供向心力有푞푣퐵=

푟

此时根据几何知识求得，轨迹半径为푟=3푎

4

3푞퐵푎

解得此时粒子的速度为v=

4푚

3푞퐵푎

所以沿Oa方向发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为，故A错误；

4푚

B、垂直ab向上发射的粒子，当其轨迹与bc边和cd边恰好相切时，该粒子从bc边离开磁场，如下图所

示

푟

设轨迹半径为，则根据几何知识有+=，解得=(23−3)푎

rr푐표푠30°ar

푚푣2

根据洛伦兹力提供向心力有푞푣퐵=

푟

(23−3)푞퐵푎

解得粒子的速度为v=

푚

(23−3)푞퐵푎

所以垂直ab向上发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为，故B正确；

푚

C、当粒子的运动轨迹与cd边相切于d点时，该粒子恰好从点离开磁场，如下图所示

13

设轨迹半径为r，则根据几何知识有푟푠푖푛60°=푎，解得r=푎

23

푚푣2

根据洛伦兹力提供向心力有푞푣퐵=

푟

3푞퐵푎

解得粒子的速度为v=

3푚

3푞퐵푎

所以要想从d点离开正六边形区域的粒子，速率只能为，故C错误；

3푚

3

D、由上述分析可知，要想离开正六边形区域的粒子，其轨迹半径最小为푎，则所有要想离开正六边形

4

3푞퐵푎

区域的粒子，其速率至少为，故D错误。

4푚

故选：B。

（多选）7．如图所示，在xOy坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在P

点有一粒子源，P点坐标为（d，d）。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发

푞퐵푑

射带正电的粒子，粒子质量为m，电荷量为q，速率푣=。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，M

푚

点坐标为（0，d），则下列说法正确的是（）

1

A．从x轴射出磁场的粒子数占总粒子数的

2

1

B．从OM之间射出磁场的粒子数占总粒子数的

12

휋푚

C．到达x轴的粒子在磁场中运动的最短时间为3푞퐵

D．打在x轴的长度为2d

【答案】AC

푣22휋푟

【解答】解：粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力푞푣퐵=푚，圆周运动的周期T=，代入数据

푟푣

2휋푚

可得＝，=，

rdT푞퐵

A．轨迹如图所示：

180°1

从x轴射出磁场的粒子速度间的夹角为180°，因此从x轴射出磁场的粒子数占总粒子数的=，

360°2

故A正确；

B．轨迹如图所示：

60°

从OM之间射出磁场的粒子速度间的夹角为60°，因此从OM之间射出磁场的粒子数占总粒子数的

360°

1

=，故B错误；

6

C．轨迹如图所示：

60°

当射出点为N（PN与x轴垂直）时，在磁场中运动的时间最短，圆心角为60°，运动时间t=푇，

360°

휋푚

代入数据可得t=3푞퐵，故C正确；

D．轨迹如图所示：

PN为直径，ON为打在x轴的长度，由几何关系可知ON=푑+3푑，故D错误。

故选：AC。

（多选）8．如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内（包含x，y坐标轴）存在垂直纸面向外的匀强磁

场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q（q＞0）的相同粒子从y轴上的푃(0，3퐿)点，以相

同的速率在纸面内均匀射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（0≤α≤180°），当α＝150°

时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子间相互作用及粒子的重力。则（）

A．粒子做圆周运动的半径为2L

B．粒子做圆周运动的半径为23퐿

4휋푚

．粒子在磁场中运动的最长时间为

C3푞퐵

7휋푚

．粒子在磁场中运动的最长时间为

D6푞퐵

【答案】BD

【解答】解：AB、当a＝150°时，粒子运动轨迹如图所示：

由几何关系可知θ＝30°，轨迹半径r＝23퐿，故A错误，B正确；

CD、粒子沿y轴正方向射入时在磁场中运动时间最长，轨迹如图所示：

7휋푣22휋푟

由几何关系可知γ＝30°，β＝210°=，洛伦兹力提供向心力푞푣퐵=푚，运动周期T=，代入

6푟푣

2휋푚7휋2휋푚7휋푚

数据可得T=，运动时间t=6×=，故C错误，D正确。

푞퐵2휋푞퐵6푞퐵

故选：BD。

（多选）9．如图所示，在半径为R的半圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，CD为圆的直径，O为

圆心。某时刻从最低点S向磁场内各个方向均匀发射速度大小为v，质量为m，电荷量为+q的粒子。已

8푚푣

知磁感应强度大小为，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，°＝，下列说法正确的是（）

5푞푅sin530.8

A．粒子在该匀强磁场中运动轨迹的半径为R

B．在直径CD上有粒子射出的区域长度为R

53

C．从S射入磁场的粒子中可以从直径CD上射出的粒子占比为

180

143

D．从直径CD上射出的粒子，在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为

106

【答案】BC

푣25

【解答】解：A、粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力qvB=푚，代入数据可得푟=푅，故A错

푟8

误；

B、水平向右射入的粒子射出CD时离D点最近，恰好与CD边相切的粒子射出时离D点最远，轨迹如

图所示：

11

由几何关系可知푂퐴=푟2−(푅−푟)2，代入数据可得푂퐴=푅，同理可得푂퐵=푅，在直径CD上有粒子射

22

出的区域长度为AB＝R，故B正确；

C、由几何关系得∠O1SO2＝53°，则θ＝53°，所以从S射入磁场的粒子，可以从直径CD上射出的粒

53°53

子占比为푁==，故C正确；

180°180

D、粒子在磁场中运动时间越长，则运动对应的轨迹越长，弦长越长，由上图可知，

从A或B点射出时弦长最长，由几何关系可知对应圆心角θ1＝127°，从O点射出时弦长最短，由几何

关系可知对应圆心角θ2＝106°，

127

则从直径CD上射出的粒子，在磁场区域内运动的最长时间与最短时间之比为，故D错误。

106

故选：BC。

模型三平移圆法

1.适用条件：速度大小一定，方向一定，入射点不同，且为直线边界。

粒子入射点在同一直线边界上，粒子垂直该直线出发，初速度大小相等，方向相同。但入射

点不同，粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等，就像把

一个圆沿该直线边界平移一样，所以该模型叫平移圆模型。

2.轨迹特点：轨迹圆圆心在同一条直线上。

如图所示，假设粒子带负电，不同带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，

该直线与入射点的连线重合。

3.寻找临界条件

将轨迹圆沿圆心所在的直线进行平移，从而找到粒子运动的临界圆。

【例题精讲】

1．如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量

为m、电荷量为+q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域

内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。

下列说法正确的是（）

퐵푞퐿

A．粒子的入射速度为

4푚

3퐵푞퐿

B．粒子的入射速度为

6푚

휋퐿