1.1 探索勾股定理 课后巩固卷（含解析）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

1.1探索勾股定理课后巩固卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°,CD⊥AB,BC=3,AB=5，则CD的长为（

A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．22．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A=90°，则（

A．a2+b2=c2 B．3．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（

）A．勾股定理 B．三角形内角和定理C．三角形全等 D．中心对称图形4．如图，Rt△OA1A2中，∠A1=90°，OA1=A1A2=1．以A3A．1 B．22 C．3 D．5．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1,S2A．5 B．92 C．4 D．6．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（

）A．6 B．9 C．12 D．187．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面12cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置48cm（如图），则水的深度BC为（A．98cm B．90cm C．82cm8．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（

）A．4×12ab+C．4ab+b−a2=9．如图所示，一个圆柱体高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是（）A．12cm B．10cmC．20cm D．无法确定10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：①x2+y2=49；②x−y=2；③x+y=A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空题11．如图，分别以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S112．在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为b，较短的直角边长为a，大正方形边长为c．请你写出a,b,c之间的关系式是______．（化到最简）13．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c，若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则(a+b)214．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度PB=4.7m，当人从门外走到离该传感器4m及4m以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高1.7m的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则15．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．若AC⊥BD，AB=4，CD=5

三、解答题16．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得AC=8m，BC=17m．求A，17．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，请在图中再画出一个正方形，使它的面积等于已知的两个正方形的面积之和．18．【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)【性质探究】如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明你的结论；(2)【拓展应用】如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC和AB为直角边向外作等腰Rt△ACD和等腰Rt△ABE，连接DE，若AC=4，AB=5，求DE的长．19．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下．制作学具：两张直角三角形纸片ABC和DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a，AC=DF=b(a<b)，AB=DE=c．证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片DEF的边EF落在纸片ABC的边AC上，点E与点C重合，连接AD、DB得到四边形ACBD，利用四边形ACBD的面积的两种不同表示方法证明a2请根据小高同学的思路写出证明过程．20．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解．(1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程．(2)【反思拓展】我们可以用图2表示的a+b，a2，b2，ab之间的关系解决教材第18页第2题：两个正数的和是12，求它们积的最大值．如图2，设两个正数a，b为直角三角形的两条直角边，且∵a+b2=∴要使ab最大，则c值应最小．由图2可知，当点M在线段AC上时，c最小，此时，c=12AC=(3)【迁移应用】如图3，正方形ABCD的边长为5，借助“反思拓展”思路，利用图3求代数式x2参考答案题号12345678910答案BCACADBABD1．【答案】B【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的面积，先根据勾股定理求出AC=4，再根据三角形面积相等得出答案即可．【详解】解：在Rt△ABC中，BC=3,AB=5根据勾股定理，得AC=A∴S△ABC即4×3=5CD，解得CD=2.4．故选：B．2．【答案】C【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】解：∵∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠A=90°，∴a为斜边，∴b故选：C．【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．3．【答案】A【知识点】勾股定理的证明方法【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可．【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的，∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理．故选：A．4．【答案】C【知识点】数字类规律探索、用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查了勾股定理，根据等股定理分别求出OA1、OA【详解】∵OA∴OA∴OA∴OA……∴O∴OA故选：C．5．【答案】A【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出S2【详解】解：在Rt△ABC中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S由勾股定理得：BC2−A∵S∴S∵阴影部分的面积为12∴阴影部分的面积为5，故选：A．6．【答案】D【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）【分析】根据∠C=90°，利用勾股定理可得AB【详解】解：如图示，∠C=90°∴在Rt△ABC中，A∴AB故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长a，b，c满足a27．【答案】B【知识点】用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，“水深hcm与水平距离48cm组成一个以h+12cm为斜边的直角三角形”是解决此题的关键，设荷花入水部分BC长hcm，则荷花的高h+12cm，因荷花偏离原位置48 cm，那么水深【详解】解：设荷花入水部分BC长hcm，则荷花的高h+12根据题意得h+122=48故选：B．8．【答案】A【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键；根据两个图形面积相等，列式，即可求解；【详解】解：根据题意，列式可得：4×1故选：A9．【答案】B【知识点】几何体展开图的认识、两点之间线段最短、用勾股定理构造图形解决问题、圆柱的展开图【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC=4π在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB=A故答案为：B．【点睛】本题考查的是平面展开，最短路径问题，立方体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理的应用的有关知识．解题的关键是综合运用以上知识解决问题．10．【答案】D【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题【分析】利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理可判断①，利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断④，利用①④可判断③．【详解】解：∵大正方形面积为49，∴大正方形边长为7，在直角三角形中，x2故说法①正确；∵小正方形面积为4，∴小正方形边长为2，∴x−y=2，故说法②正确；∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，∴4×1∴2xy+4=49，故说法④正确；∵2xy+4=49，∴2xy=45，∵x2∴x2∴x+y2∴x+y=94故选D．【点睛】本题考查勾股定理和勾股弦图，解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长．11．【答案】15【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积【分析】本题考查勾股定理与勾股树，掌握好相关知识是关键．根据直角三角形的三边关系推出S1、S2、【详解】解：∵在直角△ABC中，AB又∵S1=BC2，∴S3故答案为：15．12．【答案】a【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积的计算，掌握整式的混合运算是关键．根据题意，分别算出大正方形的面积为c2，4个直角三角形的面积为4×12【详解】解：根据题意及图示可得，大正方形的边长为c，即直角三角形斜边长，∴大正方形的面积为c2三角形的直角边长分别为a,bb>a∴4个直角三角形的面积为4×1小正方形的边长为b−a，∴小正方形的面积为b−a2∵4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积，∴b2−2ab+a故答案为：a213．【答案】25【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题【分析】由题意得a2+b2=c2【详解】解：∵大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，∴a2+b∴a13−2ab=12ab=12，∴(a+b)214．【答案】7【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过C作CQ⊥AB于点Q，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．【详解】解：如图，过点C作CQ⊥AB于点Q∴BQ=CD=1.7∴PQ=PB−QE=4.7−1.7=3由勾股定理可得：BD=CQ=即离门铃7米远的地方，门铃恰好自动响起故答案为：7．15．【答案】21【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）【分析】根据勾股定理即可解答．【详解】解：∵AC⊥BD，AB=4，CD=5∴在Rt△AOB中，O∴在Rt△COD中，O又∵在Rt△AOD中，O在Rt△BOC中，O∴B===A=16+5=21．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．16．【答案】15【知识点】用勾股定理解三角形【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出AB的长．【详解】解：由题意可知，∠A=90°∴AB=BC答：A，B两点间的距离是15m17．【答案】如图所示，连接BG，以BG为边长作正方形BGKH，则四边形BGKH即为所求作的正方形．【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，先连接BG，根据勾股定理可得BG2=BC2+CG2，以【详解】略18．【答案】(1)AD证明：设AC与BD相交于点E．∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，ADAB∴AD(2)73【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）【分析】（1）根据题中给出的垂美四边形的定义，得知对角线互相垂直，在直角三角形里利用勾股定理解答即可；（2）根据垂美四边形的性质、勾股定理结合（1）的结论计算即可．【详解】（1）略（2）连接CE，BD相交于点N，CE交AB于点M．∵∠CAD=∠BAE=90°，∴∠CAD+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠DAB=∠CEA，又∵AB=AE，AD=AC，∴△DAB≌△CEA，∴∠ADB=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABD+∠AME=90°，即CE⊥BD，∴四边形CDEB是垂美四边形，由（1）得，CD∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CD=42，BE=5∴DE∴DE=73【点睛】本题考查了新定义、勾股定理以及全等三角形的判定的知识点，利用给出的垂美四边形定义求解是解题的关键．19．【答案】证明：如图，作DG⊥CB，垂足为点G，设AB与CD的交点为H，∵BC=EF，∴△ABC≌△DEFSSS∴∠CAB=∠FDE，∵∠FDE+∠ACH=90°，∴∠CAB+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，∴AB⊥CD，∴∵∠CFD=∠FCB=∠G=90°，∴四边形FCGD为长方形，∴DG=FC=a，∴S∴a【知识点】勾股定理的证明方法【分析】作DG⊥CB，垂足为点G，设AB与CD的交点为H，证明△ABC≌△DEFSSS，推出AB⊥CD，分割