7.3 平行线的证明 课后巩固卷（含解析）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

7.3平行线的证明课后巩固卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册一、单选题1．如图，直线a，b被直线c所截，∠2=36°，下列条件中可以判定a∥b的是（A．∠1=36° B．∠1=54° C．∠1=72° D．∠1=144°2．如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，若∠1=55°，则∠2的大小为（A．35° B．55° C．110° D．125°3．将一块含有30°、60°、90°的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中一定能判断m∥n的是（

）A．∠1=∠3 B．∠1+∠2=90°C．∠2=2∠1 D．∠ACB=∠1+∠34．劳动人民具有无穷无尽的智慧．如图，这是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具既能保证灯管间的距离相等，又能保证灯管相互平行，灯管相互平行的依据是（

）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行5．在同一平面内，若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对6．如图，AB∥CD，直线l与AB、CD分别交于点E、F，EG是∠BEF的角平分线，若∠1=150°，则∠2的度数是（

）A．110° B．120° C．130° D．140°7．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘l1∥l2，三角板ABC中30°角的顶点B在l1上，直角顶点C在l2上，三角板与直尺边缘形成的A．20° B．25° C．30° D．35°8．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在C′，D′的位置，C′F的延长线交CD于点G,∠EFG=2∠AEDA．36° B．54° C．72° D．108°二、填空题9．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是______．10．如图，若a⊥c,b⊥c，则a//b．请你用语言描述这一现象：____________________．11．如图，∠DAC是△ABC的外角，射线AE在∠DAC的内部，添加一个条件_______，使得AE∥BC．（写出一种情况即可）12．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜α上，被平面镜α反射后的光线为n，则∠1=∠2．如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行．若∠NCD=66°，则∠MBA的大小为______．13．如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为O，∠BFD=∠C．若AF=4，BF=3，则点F到直线AB的距离为__________．

三、解答题14．用无刻度直尺和圆规作图，过直线l外一点P作直线l的平行线．（不写作法，保留作图底迹）15．完成下面证明．如图，三角形ABC，CD∥AB，G为AC上一点，∠BCD=70°，∠CBG=20°，点E、F分别在AG、BG上，且∠EFG=50°．求证：AB∥EF．证明：∵AB∥CD，∠BCD=70°，∴∠BCD=∠_________=70°．（依据：___________）∵∠CBG=20°，∴∠ABG=_________°．∵∠EFG=50°，∴∠EFG=∠_________．∴AB∥EF．（依据：_______________）16．有一座锥形小山，如图．(1)要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长度，就能得出锥形小山两端A、B的距离，请说明其中的道理．(2)为加快开山修路的进度，施工队要在A、B两点同时施工，师傅在（1）的基础上，过A作AF∥DE，过B作BG∥DE，沿FA、GB方向开工就能使F、A、B、G在同一条直线上．请运用相关知识说明其中的道理．17．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．”(1)写出命题的题设和结论；(2)画出符合命题的几何图形；(3)用几何语言叙述这个命题；(4)说明这个命题是真命题的理由．18．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．(1)【问题初探】如图1，已知AE∥DC，∠C=∠DAE，试说明AD与BC的位置关系．小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整．解：AD∥BC，理由如下：因为AE∥DC，所以∠C=∠AEB，依据是______；又因为∠C=∠DAE，所以∠AEB=∠DAE；由∠AEB=∠DAE得AD∥BC，依据是_______．(2)【拓展探究】在（1）的条件下，∠DFE、∠ADF、∠AEB三个角的关系为：∠DFE=∠ADF+∠AEB，请说明理由．(3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知∠1=31°，请直接写出∠2+∠3的度数之和．参考答案题号12345678答案ABDCDBAB1．【答案】A【知识点】同位角相等两直线平行【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键；先标注∠3，根据同位角相等，两直线平行判断即可．【详解】如图所示，根据题意可知，∠3=∠2=36°，∠1和∠3是一对同位角，根据同位角相等两直线平行可得，当∠1=∠3=36°时，a∥故选：A．2．【答案】B【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据“两直线平行，同位角相等”即可解得∠2的大小．【详解】解：∵AB∥∴∠1=∠2，∵∠1=55°，∴∠2=55°，故选：B．3．【答案】D【知识点】内错角相等两直线平行、三角板中角度计算问题【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是关键．如图所示，过点C作CD∥m，得到∠BCD=∠1，CD∥n，可判定D选项；当∠ACD=∠BCD时，∠1=∠3，此时m∥n，但∠ACD与∠BCD不一定相等，可判定A选项；同理可判定B选项，由平行线的判定方法得到当∠2=∠ABC+∠1=30°+∠1时，m∥n，可判定C选项，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过点C作CD∥m，∴∠3=∠ACD，∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ACB=∠1+∠3，∴∠3+∠BCD=∠1+∠3，∴∠BCD=∠1，则CD∥n，∴m∥n，∴∠ACB=∠1+∠3一定能判断m∥n，故D选项符合题意；当∠ACD=∠BCD时，∠1=∠3，此时m∥n，但∠ACD与∠BCD不一定相等，故∠1=∠3不一定能判断m∥n，∴A选项不符合题意；∵∠BAC=90°，∴∠2+∠3=90°，若∠1+∠2=90°，则∠1=∠3，由A选项可得，B选项不符合题意；∵∠ABC=30°，∴当∠2=∠ABC+∠1=30°+∠1时，m∥n，∵∠1，∠2的度数不确定，故C选项不符合题意；故选：D．4．【答案】C【知识点】同旁内角互补两直线平行【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结果．【详解】解：∵工具的两个同旁内角均为90°，∴两个角的和为180度，∴两直线平行；故选C．5．【答案】D【知识点】平面内两直线的位置关系、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、垂线的定义理解【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，熟练掌握垂直和平行线的判定是解题关键．根据垂直的定义、平行线的判定即可得．【详解】解：在同一平面内，若b∥d，则a∥c；在同一平面内，若b与d相交但不垂直，则a与c相交但不垂直；在同一平面内，若b⊥d，则a⊥c；综上，在同一平面内，a与c的关系可能平行，也可能相交，还可能垂直，故选：D．6．【答案】B【知识点】两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算【分析】本题主要考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线定义解答即可．【详解】解：∵AB∥CD，∠1=150°，∴∠BEG+∠1=180°∴∠BEG=180°−∠1=180°−150°=30°，∵EG是∠BEF的角平分线，∴∠BEF=60°，∵AB∥CD，∴∠FEB+∠2=180°，∴∠2=180°−∠FEB=180°−60°=120°，故选：B．7．【答案】A【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数【分析】此题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过点A作AD∥l1，且点D在点A的右侧，则AD∥l1∥l2，进而得∠BAD=∠1，∠CAD=∠2【详解】解：过点A作AD∥l1，且点D∵l1∴AD∥∴∠BAD=∠1，∠CAD=∠2，∴∠BAD+∠CAD=∠1+∠2，即∠BAC=∠1+∠2，∵∠BAC=60°，∠2=40°，∴60°=∠1+40°，∴∠1=20°，故选：A．8．【答案】B【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质求角度【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键．由折叠可得D′E∥C′F，∠D′EF=∠DEF，∠ED′H=∠D=90°，可得∠DEF=∠D′EF=∠EFG=2∠AED【详解】解：如图，过点D′作D∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∠D=90°，∴D′由折叠可得，D′E∥C′F∴∠D∵∠EFG=2∠AED∴∠DEF=∠D∵∠AED∴∠AED∴∠AED∴∠ED∴∠BHD故选：B．9．【答案】平行于同一条直线的两条直线平行【知识点】平行公理的应用【解析】略10．【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行【分析】根据平行线的判定可直接进行求解．【详解】解：若a⊥c,b⊥c，则a//b，用语言描述这一现象是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．11．【答案】∠DAE=∠B或∠EAB+∠B=180°或∠EAC=∠C（答案不唯一，填一个即可）【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可．【详解】解：∵∠DAE=∠B，∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）；∵∠EAB+∠B=180°，∴AE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；∵∠EAC=∠C，∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：∠DAE=∠B或∠EAB+∠B=180°或∠EAC=∠C（答案不唯一，填一个即可）．12．【答案】24°【知识点】两直线平行同旁内角互补、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质求角的度数【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．由题意得∠OCB=∠NCD=66°，∠MBA=∠OBC，根据平角的定义可求出∠BCD的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠ABC的度数，从而求出∠MBA的度数．【详解】解：由题意得，∠OCB=∠NCD=66°，∠MBA=∠OBC，∴∠BCD=180°−∠OCB−∠NCD=180°−66°−66°=48°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°−∠BCD=180°−48°=132°，∴∠MBA=1故答案为：24°．13．【答案】12【知识点】用勾股定理解三角形、点到直线的距离、根据平行线判定与性质证明【分析】首先证明BF∥CE，再证明∠AFB=90°，利用勾股定理求出AB，最后运用面积法可求出点F到直线【详解】解：∵∠BFD=∠C，∴BF∥∵AF⊥CE，即∠COF=90°，∴∠AFB=∠COF=90°，∴AB=A设点F到直线AB的距离为h，且AF=4，BF=3，AB=5，∴S△AFB∴12∴h=12故答案为：125【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，勾股定理，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．14．【答案】直线m即为所求；【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角【分析】本题考查尺规作图--角平分线，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．利用同位角相等两直线平行作出图形即可．【详解】解：如图，过点P作直线AB交直线l于一点B，再作∠1=∠2．15．【答案】证明：∵AB∥CD，∠BCD=70°，∴∠BCD=∠ABC=70°．（两直线平行，内错角相等）∵∠CBG=20°，∴∠ABG=50°．∵∠EFG=50°，∴∠EFG=∠ABG．∴AB∥EF．（同位角相等，两直线平行）【知识点】根据平行线判定与性质证明【分析】根据平行线的性质得出∠BCD=∠ABC，利用角的和差关系求出∠ABG=50°，即可得出∠EFG=∠ABG，根据平行线的判定定理即可得出答案．【详解】略16．【答案】(1)解：∵在△ABC和△DEC中CD=CA∠DCE=∠ACB∴△ABC≌△DECSAS∴DE=AB；(2)解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC=∠DEC，∴AB∥∵AF∥DE，BG∥DE，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴F、A、B、G在同一条直线上．【知识点】对顶角相等、平行公理的应用、内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）【分析】（1）根据SAS证明△ABC≌△DEC即可；（2）根据全等三角形性质得出∠ABC=∠DEC，根据平行线的性质得出AB∥DE，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出【详解】（1）略（2）略【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，平行公理的应用，解题的关键是证明△ABC≌△DEC．17．【答案】(1)题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行；(2)如下图所示：(3)如上图，已知AB∥CD，GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，求证：GH∥MN；(4)真命题，理由：∵AB∥CD，∴∠BGM=∠CMG，又∵GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，∴∠HGM=12∠BGM，∠NMG=12∠∴∠HGM=∠NMG，∴GH∥MN．【知识点】用直尺、三角板画平行线、内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、写出命题的题设与结论【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，即可得答案；（2）先画AB∥CD，再画GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC即可；（3）根据图形用字母表示叙述即可；（4）根据平行线的性质得∠BGM=∠