2026秋沪教五四版八上数学 专题01 平方根与立方根重难点题型专训（5个知识点+17大题型+自我检测）

专题01平方根与立方根重难点题型专训（5个知识点+17大题型+自我检测）目录第一部分・练基础题型题型一、求一个数的算术平方根 1题型二、利用算术平方根的非负性解题 2题型三、估计算术平方根的取值范围 3题型四、与算术平方根有关的规律探索题 4题型五、算术平方根的实际应用 5题型六、平方根概念理解 6题型七、求一个数的平方根 7题型八、求代数式的平方根 8题型九、已知一个数的平方根，求这个数 9题型十、利用平方根解方程 10题型十一、平方根的应用 11题型十二、立方根概念理解 12题型十三、求一个数的立方根 13题型十四、已知一个数的立方根，求这个数 14题型十五、与立方根有关的规律探索 15题型十六、立方根的实际应用 16题型十七、算术平方根和立方根的综合应用 17第二部分·练提高题型题型一、平方根中的几何问题 1题型二、平方根的规律探究问题拓 2题型三、解立方根方程问题 3题型四、立方根的规律探究问题 4第三部分・自我检测知识点01平方根1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根.（1）在中，因为，所以；（2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了.2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”.3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数.4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根.【即时训练】1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）4的算术平方根是（

）A． B． C． D．2．（2026·山东烟台·模拟预测）计算的结果为__________．知识点02平方根的性质1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）；3.负数没有平方根；4.；5..【即时训练】1．（25-26七年级下·河北保定·期中）已知，则的值为（

）A．2026 B． C． D．12．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________．知识点03算术平方根1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”；3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根.4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即.5.平方根与算术平方根的区别与联系平方根算术平方根区别个数一个正数的平方根有两个，它们互为相反数一个正数的算术平方根只有一个表示方法非负数a的平方根表示为非负数a的算术平方根表示为取值范围正数的平方根是一正一负正数的算术平方根一定是正数联系包含条件平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0.存在条件平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0.PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1.【即时训练】1．（2026·山东东营·模拟预测）2的算术平方根是（

）A．2 B． C． D．2．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______．知识点04立方根1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根.2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”.3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略.【即时训练】1．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（

）A． B． C． D．2．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________；知识点05立方根的性质正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.1.平方根与立方根的区别与联系关系 名称平方根立方根区别个数不同正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数表示方法非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写被开方数的取值范围在中，a是非负数，即在中，a是任意数联系转化条件都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究.2.立方根等于本身的有0和.3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.4.，.【即时训练】1．（25-26七年级下·江西赣州·期中）下列说法中错误的是（

）A．的算术平方根是 B．的平方根是C．的立方根为 D．平方根等于本身的数是2．（25-26七年级下·福建莆田·期中）填空题．（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是_________．（2）___________________；_____．（3）的平方根是_______；的立方根是_____．【基础题型一求一个数的算术平方根】【例1】（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【例2】（24-25八年级下·重庆·阶段检测）计算：_____________．1．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（

）12…144…A． B．C． D．2．（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）已知，则_______．3．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，．观察上述式子的特征，解答下列问题：(1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：_________；_________；(2)当时，_________；当时，_________；(3)计算：．【基础题型二利用算术平方根的非负性解题】【例1】（25-26七年级下·甘肃定西·阶段检测）若为实数，且，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【例2】（25-26七年级下·甘肃金昌·期末）如果，那么___________，___________．1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若a，b满足，则的值是（

）A． B．1 C．3 D．2．（2026九年级·广西防城港·模拟预测）若+=0，则___________，___________．3．（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）解答下列问题(1)已知、满足，求的算术平方根；(2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值．【基础题型三估计算术平方根的取值范围】【例1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（

）434445461849193620252116A．46 B．45 C．44 D．43【例2】（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________．1．（2026·江苏南京·二模）估算介于（

）A．和之间 B．和之间C．和之间 D．和之间2．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表：x24.124.224.324.424.5580.81585.64590.49595.36600.25下面有四个推断：①59049的平方根是；②由表可知，介于24.2和24.3之间；③若，且，则；④若x满足，则满足条件的整数x共有5个．以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号）3．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题：x1010.110.210.310.410.510.610.710.810.9100102.01104.04106.09108.16110.25112.36114.49116.64118.81(1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____；(2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a；(3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到）【基础题型四与算术平方根有关的规律探索题】【例1】（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（

）A． B． C． D．【例2】（25-26七年级下·湖北黄石·阶段检测）已知，．则_______．若，则_______．1．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：0.06250.6256.2562.56256250625000.250.79062.57.9062579.06250根据以上规律，若，，则（

）A． B． C． D．2．（25-26七年级下·广东惠州·期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下：…………根据以上规律，若，，则____________．3．（25-26七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律．①，；②，；③，；【规律发现】(1)计算：________；________；(2)用字母表示你发现的规律________；(3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________．【基础题型五算术平方根的实际应用】【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（

）A． B． C． D．【例2】（25-26七年级下·北京·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________．1．（24-25七年级下·北京·期中）如图，用四个长和宽分别为，的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是，下面结论中正确的是（

）A．若，则，B．若，则，C．若，，则D．若，，则2．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则______，______．3．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形．(1)图2中大正方形的面积为________；(2)求图2中白色正方形的边长a的值．【基础题型六平方根概念理解】【例1】（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题中，真命题是（

）A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、【例2】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若a，b是2026的两个平方根（），则______．1．（25-26七年级下·四川凉山·期末）若的两个平方根分别是和，则的值是（

）A． B． C． D．2．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为___________．3．（26-27八年级上·全国·课后作业）观察如图所示的各方格图中阴影部分的图形（每一小方格的边长为1），如果它们都可以剪开，并拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长各为多少？这些正方形一样大吗？（如果你有兴趣，可以试试如何剪拼成一个正方形）【基础题型七求一个数的平方根】【例1】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【例2】（25-26七年级下·福建厦门·阶段检测）________；________；______；_______．1．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答错误的是（

）A．菲菲 B．红红 C．平平 D．英英2．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如果两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数，即如果，那么．反过来，“如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”也成立．（1）若，则__________；（2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为__________．3．（25-26七年级下·吉林·期末）已知的立方根是，的算术平方根是．(1)求，的值；(2)求的平方根．【基础题型八求代数式的平方根】【例1】（25-26八年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（

）A．13 B．9 C．1 D．9或1【例2】（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）若，求的平方根是___________．1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，．则的值为（

）A． B．4 C． D．22．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，正方形是由四个长都为a，宽都为b（）的小长方形拼接围成的．已知每个小长方形的周长为18，面积为，我们可以通过计算正方形面积的方法求出代数式的值，则这个值为_____．3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的两个平方根分别是，的算术平方根为2．(1)求的平方根；(2)若的算术平方根是3，求的立方根．【基础题型九已知一个数的平方根，求这个数】【例1】（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（

）A．25 B．16 C．8 D．2【例2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是__________．1．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）已知一个数的两个平方根分别是和，则这个数是（

）．A． B． C． D．2．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）一个正数的平方根为和，则的值为______．3．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为．(1)求长方形的长与宽；(2)王芳想从这个长方形画纸中裁出半径为的圆形画纸，能实现吗？请你通过计算帮助王芳分析一下．【基础题型十利用平方根解方程】【例1】（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知，，，则的值是（

）A．8 B．或2 C．或8 D．或8【例2】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______．1．（25-26八年级上·河北保定·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（

）A． B． C．或 D．或2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）按下图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是______．3．（25-26七年级下·浙江湖州·期末）如图，现有一个边长为5的正方形，将这个正方形边长加2，形成一个新的正方形①，面积记为；再将正方形①的边长加2，形成正方形②，面积记为，以此类推，得到正方形，面积记为．(1)________；(2)请用两种形式表达（用含的代数式表达）；(3)当满足时，请求出．【基础题型十一平方根的应用】【例1】（2026八年级上·吉林长春·期中）已知正方形的面积是5，那么它的边长是（

）A． B． C． D．【例2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如果两个整数，的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有___________对．1．（24-25七年级下·河南周口·期中）按照国际标准，A系列纸为长方形．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……，将一张纸按如图所示的方式折叠，据此可以发现，A系列纸的长与宽的关系为（）A．长是宽的2倍 B．长是宽的倍C．宽是长的倍 D．宽是长的倍2．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________．3．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）靖边剪纸是陕西非物质文化遗产，是陕北黄土文化的鲜活载体．现有一块长、宽比为的长方形红纸，红纸的面积是．(1)求红纸的长和宽；(2)王阿姨想要在这块红纸上剪出一幅面积为的圆形马年窗花（如图），试通过计算说明，她能够完整剪出来吗？（取3）【基础题型十二立方根概念理解】【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（

）A．的平方根是 B．是的负的平方根C．的立方根是2 D．是有理数

【例2】（25-26七年级下·上海虹口·期中）如果

，那么_________．1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：①由，，能确定是两位数；②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2；③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：）已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（

）A．15 B．16 C．17 D．192．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号）3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为．请认真阅读上面的材料，回答下列问题：(1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________；②32的五次方根为____________；(2)若，则____________；(3)求的值：．【基础题型十三求一个数的立方根】【例1】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列各式中，计算正确的是（

）A． B． C． D．【例2】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）小明生日当天，妈妈给他准备了一份礼物放在了一个带密码锁的盒子里，密码是个三位数，其中，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．已知的算术平方根为3，b是8的立方根，c是平方根等于本身的数，那么这个三位数密码是______．1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（

）A． B． C． D．2．（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考：第1步确定的位数因为，，，所以是2位数；第2步确定个位数字因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9；第3步确定十位数字划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3；综合以上可得．已知185193是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是______．3．（26-27八年级上·全国·课后作业）根据表格中所给的信息，完成下列表格：被开方数1平方根0算术平方根2立方根3【基础题型十四已知一个数的立方根，求这个数】【例1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（

）A．11 B．16 C．28 D．44【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_________．1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）若，则b等于（

）A．1000000 B．1000 C．10 D．100002．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为___________3．（25-26七年级下·重庆潼南·期中）已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根．(3)若实数m、n、p满足条件，那么的平方根是多少？【基础题型十五与立方根有关的规律探索】【例1】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（

）A． B． C． D．【例2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________．0.0088800080000000.22202001．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）如果，，那么约等于（）A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.13332．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）根据下面表格中的数据规律，填空：x…0.20262.02620.26202.62026……0.45011.4234.50114.2345.01……0.58731.2652.7265.87312.65…若，，则_______．3．（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试：(1)由，，请问是几位数？答：_______位数；(2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______；(3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______．【基础题型十六立方根的实际应用】【例1】（26-27八年级·上海·暑假作业）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（

）A． B． C． D．【例2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数）1．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（

）A． B． C． D．2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为______·3．（25-26七年级下·广东江门·期中）综合与实践数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试．第一步：∵，，且，∴，即59319的立方根是一个两位数；第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9；第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而，∴，∴，∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39．根据上面的材料解答下面的问题：(1)填空：64的平方根是________，立方根是________；1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________；(2)仿照明杰的方法求238328的立方根．【基础题型十七算术平方根和立方根的综合应用】【例1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（

）A． B． C． D．2【例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______．1．（25-26八年级上·全国·单元测试）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（）A．1 B．-1 C．0 D．无法确定2．（25-26七年级下·山西朔州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，则___________．3．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是27的立方根，的算术平方根是4．(1)求与的值；(2)求的平方根．【提高题型一平方根中的几何问题】【例1】（2025·广东肇庆·二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（

）A．1 B． C． D．3【例2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，把一张面积为的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为______．1．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状．(1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长．(2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长．2．（24-25七年级下·河南洛阳·阶段检测）如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形．(1)大正方形的边长为；(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为．(1)求的长；(2)求出苗圃所用篱笆总长．【提高题型二平方根的规律探究问题拓】【例1】（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（

） B． C． D．【例2】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图是一组有规律的图案，第1个图中有4个小黑点，第2个图中有7个小黑点，第3个图中有12个小黑点，第4个图中有19个小黑点……，以此规律，第n个图中有2028个小黑点，则n的值为______．1．（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）一组实数按下列规律排列：1；；；2；；；

第1行；3；；；；；

第2行；4；；；；

；

第3行……根据这个规律解答以下问题：（1）直接写出第4行第1列所表示的实数是______；（2）实数排在第几行第几列？并说明理由．2．（25-26七年级下·云南大理·期中）探究题：根据计算结果回答(1)计算：；；；；．(2)一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请用数学语言描述出来；(3)利用（2）题总结的规律计算：利用你总结的规律计算，当时，的值．3．（2026·河北秦皇岛·一模）设表示一个两位数，其中是十位上的数字（），例如，当时，表示的两位数是45．观察以下等式：①当时，；②当时，；③当时，；……根据以上规律，解决下列问题(1)写出第六个等式：______(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明：(3)运用：若与的差为2525．求的值．【提高题型三解立方根方程问题】【例1】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+16＝0 B．x3+9＝0 C． D．+3＝0【例2】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）方程的解是______．1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知某正数的两个平方根分别是和，64的立方根为，关于x的方程满足(1)求a，b，x的值；(2)求的算术平方根．2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知与互为相反数．（1）求的平方根和立方根；

（2）解关于x的方程．3．（24-25七年级下·四川广元·期末）在数学主题乐园，正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和，解出b才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125的立方根a组成．进入密室后，需解出关于x的方程，才能兑换奖励．(1)求a，b，x的值；(2)将奖励存入边长为的正方体盒子，若盒子体积比大k，求的算术平方根．【提高题型四立方根的规律探究问题】【例1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段检测）观察下列规律并回答问题：，…(1)，；(2)已知，若，用含x的代数式表示y，则；(3)当时，根据上述规律比较与的大小情况．【例2】（25-26七年级下·安徽蚌埠·阶段检测）观察下列规律回答问题：，，，，，(1)则；；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？(2)已知，若，用含的代数式表示，则；(3)根据规律写出与a的大小情况．1．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）【发现】①；②；③；④；……根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：___________．【归纳】等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若_____，则；反之也成立．【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：若与的值互为相反数，求的值．

2．（25-26七年级下·山东滨州·阶段检测）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：…………(1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大；(2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：，；(3)已知则，．(4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表：a0.0000080.00888000（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；（3）根据你发现的规律解答：①已知，，，则介于哪两个整数之间？②已知，则______；③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）1．（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列说法中，正确的是（

）A．64的平方根是8 B．2或的平方根是4C．没有平方根 D．16的平方根是4和2．（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（

）A．0和 B．3和 C．3和 D．3和3．（2026八年级上·甘肃天水·模拟预测）已知实数a、b满足，则等于（

）A．﹣1 B．2 C．3 D．54．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（

）A． B．C． D．5．（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（

）A． B． C． D．6．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________．7．（25-26七年级下·全国·期中）已知一个正数的平方根分别是和，则的值为_________．8．（25-26八年级上·海南海口·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根为，则的算术平方根是______．9．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）观察下面表格：1616.116.216.316.416.516.616.716.8256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________．10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是_____cm（球的体积公式，其中是球的半径）．11．（25-26七年级下·广东湛江·期末）已知．求的平方根．

12．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知的平方根是，的立方根是．(1)求，的值；(2)求的算术平方根．13．（2026·浙江台州·二模）在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题．小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小．(1)已知，．若m是的整数部分，则________．【方法探究】小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则．她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则．【学以致用】(2)请利用小红的方法，估算的值．14．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律．已知，则，；已知，则，；已知，则，；已知，则，；(1)根据小明的发现，请填空：若，那么；若，那么．(2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足．①求该长方形的周长．②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值．15．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表：a0.0000080.00888000（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；（3）根据你发现的规律解答：①已知，，，则介于哪两个整数之间？②已知，则______；③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）答案解析知识点01平方根【即时训练】1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）4的算术平方根是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：的算术平方根是.2．（2026·山东烟台·模拟预测）计算的结果为__________．【答案】【详解】解：原式=1−8+4=−3．知识点02平方根的性质【即时训练】1．（25-26七年级下·河北保定·期中）已知，则的值为（

）A．2026 B． C． D．1【答案】D【详解】解：∵，且，∴，即，∴，∴．2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________．【答案】0【分析】和都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再代入代数式计算即可．【详解】解：∵，且，，∴，，解得，，故．知识点03算术平方根【即时训练】1．（2026·山东东营·模拟预测）2的算术平方根是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，且，∴2的算术平方根是.2．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______．【答案】8【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可．【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且，解得，将代入原等式，得，即，将代入，得．知识点04立方根【即时训练】1．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据立方根的定义求解即可．【详解】解：，，即．2．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________；【答案】【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐步求解，第三个空需先计算的值，再求它的算术平方根．【详解】解：∵，∴4的平方根是；∵，∴的立方根是；∵，且，算术平方根为非负的平方根，∴的算术平方根是．知识点05立方根的性质【即时训练】1．（25-26七年级下·江西赣州·期中）下列说法中错误的是（

）A．的算术平方根是 B．的平方根是C．的立方根为 D．平方根等于本身的数是【答案】B【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐一判断各选项即可找出错误说法．【详解】解：∵若一个非负数的平方等于，即，则是的算术平方根，又，∴的算术平方根是，说法正确．∵若一个数的平方等于，即，则是的平方根，又，∴的平方根是，不是，说法错误．∵，∴的立方根为，说法正确．∵正数有两个互为相反数的平方根，的平方根为，不全等于，负数没有平方根，只有的平方根是，∴平方根等于本身的数是，说法正确．综上，错误的是．2．（25-26七年级下·福建莆田·期中）填空题．（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是_________．（2）___________________；_____．（3）的平方根是_______；的立方根是_____．【答案】0或82【分析】（1）结合立方根的性质，得出0或都满足自身的立方根等于它本身，即可作答．（2）结合立方根的性质，进行计算，即可作答．（3）先开立方根再算平方根得出的平方根是；先求出64的算术平方根，再求出其立方根，即可作答．【详解】解：（1）的立方根等于0，的立方根等于，的立方根等于即如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0或；（2），（3）先化简得，的平方根为；化简，的立方根为．【基础题型一求一个数的算术平方根】【例1】（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平方根及算术平方根的定义，逐一判断即可得出答案．【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意，B．，故该选项错误，不符合题意，C．，故该选项错误，不符合题意，D．，故该选项正确，符合题意．【例2】（24-25八年级下·重庆·阶段检测）计算：_____________．【答案】【详解】∵，且为非负数，∴．1．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（

）12…144…A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项．【详解】解：由表格可知：，，，，，，，A、C、D选项错误；，，故B选项正确．2．（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）已知，则_______．【答案】【分析】根据一个正数的小数点每向右（向左）移动两位，则其算术平方根的小数点向右（向左）移动一位进行求解即可得到答案．【详解】解：∵，∴．3．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，．观察上述式子的特征，解答下列问题：(1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：_________；_________；(2)当时，_________；当时，_________；(3)计算：．【答案】(1)，(2)；(3)【分析】（1）仿照题干作答即可；（2）根据算术平方根的意义仿照题干作答即可；（3）仿照题干去掉算术平方根符号，进而计算即可．【详解】（1）解：根据题意可得，．（2）解：当时，；当时，．（3）解：原式．【基础题型二利用算术平方根的非负性解题】【例1】（25-26七年级下·甘肃定西·阶段检测）若为实数，且，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由绝对值和算术平方根的非负性质得出，，然后代入计算即可．【详解】解：∵为实数，且，∴，，∴，，∴．【例2】（25-26七年级下·甘肃金昌·期末）如果，那么___________，___________．【答案】【详解】解：∵，∴，即，解得：．1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若a，b满足，则的值是（

）A． B．1 C．3 D．【答案】C【分析】本题考查了代数式求值，非负数的应用，算术平方根，根据偶次幂，算术平方根均为非负数，它们的和为0时，由此解出a和b的值，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，故选：C．2．（2026九年级·广西防城港·模拟预测）若+=0，则___________，___________．【答案】【分析】本题考查绝对值的非负性与二元一次方程组的解法，根据绝对值的非负性可知，两个非负数的和为时，每个非负数均为，据此列出二元一次方程组，求解方程组即可得到结果．【详解】解：由绝对值的非负性可知，，因为，所以，解得．3．（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）解答下列问题(1)已知、满足，求的算术平方根；(2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出、的值，从而求出的算术平方根；（2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出的值，再根据平方根的定义计算的值．【详解】（1）解：，，解得：，，的算术平方根为；（2）解：一个正数的两个平方根分别是和，，整理得：，解得：，．【基础题型三估计算术平方根的取值范围】【例1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（

）434445461849193620252116A．46 B．45 C．44 D．43【答案】B【详解】解：∵，∴，∵整数满足，∴．【例2】（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________．【答案】4【分析】先确定的取值范围，找到介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式确定整数的值．【详解】解：，，即，，且为整数，．1．（2026·江苏南京·二模）估算介于（

）A．和之间 B．和之间C．和之间 D．和之间【答案】B【分析】求出和的值，根据算术平方根的意义即可得到结果．【详解】解：∵，，，∴，∴，即介于和之间．2．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表：x24.124.224.324.424.5580.81585.64590.49595.36600.25下面有四个推断：①59049的平方根是；②由表可知，介于24.2和24.3之间；③若，且，则；④若x满足，则满足条件的整数x共有5个．以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号）【答案】①②④【分析】根据表格给出的数据，结合平方根的性质逐一判断各推断即可.【详解】解：①由表格可知，；∴，即；因此的平方根是，故①正确；②由表格可知，，，∵，∴，故②正确；③由表格可知，，∴，即；∴，∵且，∴，.∴，故③错误；④∵，∴，即；满足条件的整数为，共个，故④正确.综上，合理的推断为①②④.3．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题：x1010.110.210.310.410.510.610.710.810.9100102.01104.04106.09108.16110.25112.36114.49116.64118.81(1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____；(2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a；(3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到）【答案】(1)；(2)或或或(3)【分析】（1）根据表格即可解答；（2）根据表格得到对应的的取值范围，即可解答；（3）将代入题中的式子，对比表格即可解答．【详解】（1）解：根据表格可得112.36的算术平方根是，118.81的平方根是；（2）解：，，正整数a的值为或或或；（3）解：将代入可得，根据表格可得，答：该物体到达地面大概需要．【基础题型四与算术平方根有关的规律探索题】【例1】（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可．【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有，对比，可得，，∵，∴，∴，∴．【例2】（25-26七年级下·湖北黄石·阶段检测）已知，．则_______．若，则_______．【答案】【分析】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．根据，然后代入求得答案即可，由，可知，那么，即可得到答案．【详解】解：，，，，，．故答案为：，．1．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：0.06250.6256.2562.56256250625000.250.79062.57.9062579.06250根据以上规律，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可．【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．∵，∴，故选：A．2．（25-26七年级下·广东惠州·期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下：…………根据以上规律，若，，则____________．【答案】【分析】通过观察表格数据，得到被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的对应规律，再运用规律计算即可得到结果．【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位，，且是的小数点向左移动两位得到的，．3．（25-26七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律．①，；②，；③，；【规律发现】(1)计算：________；________；(2)用字母表示你发现的规律________；(3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________．【答案】(1)；(2)当，时，(3)；【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可；（2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可；（3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可．【详解】（1）解：根据规律可知；；（2）解：根据下列各式的计算结果：①，；②，；③，；发现，当，时，；（3）解：；．【基础题型五算术平方根的实际应用】【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可．【详解】解：设长方形的长为，宽为，，由题意得，，整理得，，解得，∴，，即该长方形的宽为．【例2】（25-26七年级下·北京·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________．【答案】【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解．【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，，两个正方形的边长分别为，，长方形的长为，宽为，两块阴影部分的面积和为．1．（24-25七年级下·北京·期中）如图，用四个长和宽分别为，的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是，下面结论中正确的是（

）A．若，则，B．若，则，C．若，，则D．若，，则【答案】C【分析】本题考查算术平方根的应用，二元一次方程组的应用，由图得出大正方形的边长是，中间围成的小正方形的边长是，根据正方形的面积可得，，据此根据面积求出a、b，即可判断A、B；根据a、b值求出S，可判断C、D．【详解】解：∵大正方形的面积是64，∴小正方形的面积若，则，则解得：，，故A选项错误，若，则，则解得：，，故B选项错误，若，，则，故C选项正确；若，，则，故D选项错误；故选：C．2．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则______，______．【答案】2【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据图形间的关联分析问题是解题的关键．先根据图形间的关联得到，，从而得到第一空答案；求出大正方形的面积，即可求得第二空答案．【详解】解：如图，由题意可知，，，；正方形的面积，．故答案为：2；．3．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形．(1)图2中大正方形的面积为________；(2)求图2中白色正方形的边长a的值．【答案】(1)16(2)【分析】（1）根据题意大正方形边长为，则面积可求；（2）大正方形的面积也等于空白面积加4个直角三角形的面积，利用大正方形面积列方程即可求解题目【详解】（1）解：由题意大正方形面积为；（2）解：大正方形面积为，空白部分面积为，根据题意得：，即，（负值舍去），【基础题型六平方根概念理解】【例1】（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题中，真命题是（

）A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、【答案】D【详解】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题；B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题；C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题；D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题．【例2】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若a，b是2026的两个平方根（），则______．【答案】【分析】本题考查平方根的性质，代数式求值，熟练掌握平方根的性质是解题关键.先根据平方根的性质可得，，从而可得，再代入计算即可.【详解】解：，是的两个平方根，，，，，．1．（25-26七年级下·四川凉山·期末）若的两个平方根分别是和，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平方根的定义得到，，则可求出，据此利用整体代入法求解即可．【详解】解：∵2026的两个平方根是和，∴，，∴，∴，∴．2．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为___________．【答案】2【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出m的值．【详解】解：根据题意得，，解得，故答案为：2．3．（26-27八年级上·全国·课后作业）观察如图所示的各方格图中阴影部分的图形（每一小方格的边长为1），如果它们都可以剪开，并拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长各为多少？这些正方形一样大吗？（如果你有兴趣，可以试试如何剪拼成一个正方形）【答案】拼成正方形的边长都是，一样大拼割线如图所示：①②③④⑤⑥【分析】阴影部分面积都是5，可得剪开重新拼成正方形的边长都是，一样大．【详解】略【基础题型七求一个数的平方根】【例1】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】A、，故A错误；B、，故B错误；C、，故C正确；D：，故D错误；故选：C．【例2】（25-26七年级下·福建厦门·阶段检测）________；________；______；_______．【答案】4【详解】解：；；；．1．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答错误的是（

）A．菲菲 B．红红 C．平平 D．英英【答案】C【分析】本题主要考查平行线的性质、对顶角的性质、平方根等知识点，掌握相关性质是解题的关键．根据平行线的性质、对等角的相等、平方根的性质逐项判断即可．【详解】解：A．两直线平行、同旁内角互补，即菲菲回答正确，不符合题意；B．对顶角相等，即红红回答正确，不符合题意；C．若，则，即平平回答错误，符合题意；D．负数没有平方根，即英英回答正确，不符合题意．故选：C．2．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如果两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数，即如果，那么．反过来，“如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”也成立．（1）若，则__________；（2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为__________．【答案】【分析】（1）根据性质求解即可；（2）根据性质，平方根的定义，立方根的定义，求解即可．【详解】（1）解：因为，所以，解得；（2）解：根据题意，得，所以，解得．因为的平方根是它本身，所以，解得，则，所以的立方根为．3．（25-26七年级下·吉林·期末）已知的立方根是，的算术平方根是．(1)求，的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可；（2）把a与b的值代入计算，再根据平方根的定义即可解答．【详解】（1）解：∵的立方根是，∴，解得：，∵的算术平方根是4，∴，解得：，∴，；（2）解：，∴的平方根是．【基础题型八求代数式的平方根】【例1】（25-26八年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（

）A．13 B．9 C．1 D．9或1【答案】D【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算．先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值．【详解】解：因为，所以，对进行变形可得：，当时，代入上式可得：，当时，代入上式可得：，所以，代数式的值是9或1，故选：D．【例2】（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）若，求的平方根是___________．【答案】【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．【详解】解：根据题意得：，，解得：，，，的平方根是．故答案为：【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）．1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，．则的值为（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】两式相加，构造，求16的平方根即可【详解】∵，，∴，∴，∴=±4，故选A．【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键．2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，正方形是由四个长都为a，宽都为b（）的小长方形拼接围成的．已知每个小长方形的周长为18，面积为，我们可以通过计算正方形面积的方法求出代数式的值，则这个值为_____．【答案】6【分析】先求出小正方形面积＝大正方形的面积减去4个长方形的面积，然后进行计算即可．【详解】解：由题意得：，，∴，∴＝＝＝36，又∵，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查乘法公式的变形计算，平方根计算，掌握公式变形的方法用面积法，利用数形结合思想将问题简单化是解题关键．3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的两个平方根分别是，的算术平方根为2．(1)求的平方根；(2)若的算术平方根是3，求的立方根．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根．（1）根据平方根和立方根的意义求出字母m，n的值，再求的平方根即可；（2）求出p的值，再求的立方根即可．【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的算术平方根为2，∴，，解得：，，∴，∴的平方根是；（2）解：∵的算术平方根是3，∴，解得：，∴，∴的立方根是．【基础题型九已知一个数的平方根，求这个数】【例1】（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（

）A．25 B．16 C．8 D．2【答案】D【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数，∴，，，解得：．【例2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是__________．【答案】4【分析】本题主要考查了平方根定义，根据正数的平方根互为相反数，列出方程求解m，再求平方即可．【详解】解：∵一个正数的平方根分别为和，∴，解得：，∴这个正数为．故答案为：4．1．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）已知一个数的两个平方根分别是和，则这个数是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平方根，根据一个数的平方根互为相反数，列式求解可得的值，进而可得平方根，再根据平方根，可得这个数，掌握一个数的平方根互为相反数是解题的关键．【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是和，∴，∴，∴，∴这个数为，故选：．2．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）一个正数的平方根为和，则的值为______．【答案】【分析】本题考查了平方根，根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键．【详解】解：∵一个正数的平方根为和，∴，解得，故答案为：．3．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为．(1)求长方形的长与宽；(2)王芳想从这个长方形画纸中裁出半径为的圆形画纸，能实现吗？请你通过计算帮助王芳分析一下．【答案】(1)长方形的长为，宽为(2)解：不能实现，∴，又∵半径为的圆形画纸其直径为，∴长方形的宽小于圆的直径，∴不能裁出半径为的圆形画纸，王芳的想法不可行．【分析】（1）根据题意，设长方形画纸的长为厘米，则宽为厘米，列方程求出长方形的长和宽，（2）计算所需圆形的直径，比较长方形的宽与圆形直径的大小以判断是否可行．【详解】（1）解：∵长方形画纸的面积为，长与宽的比为，∴设长方形画纸的长为厘米，则宽为厘米，∴，解得：或（舍去），∴长方形的长为，宽为．（2）略【基础题型十利用平方根解方程】【例1】（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知，，，则的值是（

）A．8 B．或2 C．或8 D．或8【答案】B【分析】本题考查平方根、绝对值的概念以及有理数的加法，关键利用异号条件确定组合．根据和求出和的可能值，再结合确定异号组合，最后计算的值．【详解】解：，或，，或，又，和异号，当时，，则；当时，，则，的值为或，故选：B．【例2】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______．【答案】8【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可．【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为，∴，，两个长方形的宽为，∵，∴，，∴长方形A与长方形B的宽为，∴长方形B的面积为．1．（25-26八年级上·河北保定·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查的知识点是平方根，解题关键是掌握平方根的性质．一个正数有两个平方根且互为相反数，的平方根是，所以同一个数的平方根可能相等，也可能互为相反数．则或，求解即可得到答案．【详解】解：和是同一个数的平方根，有或，解得或．故选：．2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）按下图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是______．【答案】2或【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，平方根，设输入的数为x，则，利用平方根解方程即可．【详解】解：设输入的数为x，由题意得：，或，解得或，故答案为：2或．3．（25-26七年级下·浙江湖州·期末）如图，现有一个边长为5的正方形，将这个正方形边长加2，形成一个新的正方形①，面积记为；再将正方形①的边长加2，形成正方形②，面积记为，以此类推，得到正方形，面积记为．(1)________；(2)请用两种形式表达（用含的代数式表达）；(3)当满足时，请求出．【答案】(1)(2)、，(3)【分析】（1）根据图形变换规律可得：当时，新正方形的边长为，由此即可计算面积；（2）根据正方形的边长为可直接表示面积，也可利用边长增加后面积等于增加各部分面积和表示；（3）根据（2）的结论可得，由此利用开平方解方程即可.【详解】（1）解：，（2）解：、，（3）由（2）得：，∴，又∵，∴，∴，∵为正整数，∴，∴．【基础题型十一平方根的应用】【例1】（2026八年级上·吉林长春·期中）已知正方形的面积是5，那么它的边长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．设正方形的边长为，根据题意可得，根据平方根的定义解出即可．【详解】解：设正方形的边长为，根据题意得：，解得：或（不合题意，舍去）．故选：B．【例2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如果两个整数，的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有___________对．【答案】7【分析】首先根据题意列得方程：，由两个整数,可得是的倍数，设，代入方程，分析求解即可．【详解】解：∵两个整数的和、差、积、商的和等于100，∴即∴是的倍数，设，则：，，∴或4或25或100，∴或4或1或-11或-6或-3或-2（0舍去）∴这样的整数有或或或；故共有7对．故答案为：7．【点睛】此题考查了数的整除性问题．由，得到是的倍数是解此题的关键．此题难度较大，要注意合理应用分类讨论思想．1．（24-25七年级下·河南周口·期中）按照国际标准，A系列纸为长方形．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……，将一张纸按如图所示的方式折叠，据此可以发现，A系列纸的长与宽的关系为（）A．长是宽的2倍 B．长是宽的倍C．宽是长的倍 D．宽是长的倍【答案】B【详解】解：用两张纸，都按照左侧方式，将纸张线沿虚线剪开,将四块等腰直角三角形形状的纸张，以三角形的斜边为边，以直角边为对角线，按照右侧图形进行拼装，比较两个图形正方形部分的面积，可以得到边长的平方比．由题意，已知，，，即，A系列纸的长是宽的倍．故选：B．2．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________．【答案】【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解．【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x，由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有，即解得，，，则阴影部分正方形的边长为．故答案为：．3．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）靖边剪纸是陕西非物质文化遗产，是陕北黄土文化的鲜活载体．现有一块长、宽比为的长方形红纸，红纸的面积是．(1)求红纸的长和宽；(2)王阿姨想要在这块红纸上剪出一幅面积为的圆形马年窗花（如图），试通过计算说明，她能够完整剪出来吗？（取3）【答案】(1)红纸的长为，宽为(2)能够剪出来，计算过程见解析【分析】（1）设红纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可；（2）设完整的圆形剪纸的半径为，由题意易得，进而求解即可．【详解】（1）解：设红纸的长为，宽为，根据题意，得：，，．，，，答：红纸的长为，宽为．（2）解：能够剪出来．设完整的圆形剪纸的半径为，则．取3，