第26章二次函数单元提升卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册（有详解）

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选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）.1.在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（A.y=x−22+1 B.y=x+22+12.下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（）.A.y=(x+1)(x−1)−x2 B.y=ax2+bx+c

3.关于二次函数y=2x2+1，下列说法错误的是（A.图像的对称轴是y轴 B.图像与y轴的交点坐标为(0,1)

C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D.y的最大值为14.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=−1，且经过点(−3,0)，则下列结论正确的是（A.b>0 B.c<0 C.a+b+c>0 D.3a+c=05.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(−2,0)和(4,0)两点，当函数值y>0时，自变量x的取值范围是（）A.x<−2 B.x>4 C.−2<x<4 D.x>06.若抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过第四象限的点(1,−1)，则关于x的方程ax2A.有两个大于1的不相等实数根 B.有两个小于1的不相等实数根

C.有一个大于1另一个小于1的实数根 D.没有实数根7.将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（）.A.y=(x−35)(400−5x) B.y=(x−35)(600−10x)

C.y=(x+5)(200−5x) D.y=(x+5)(200−10x)8.已知二次函数y=x2−2ax+a2−2a−4(a为常数)的图象与x轴有交点，且当x>3时，y随x的增大而增大，则A.a≥−2 B.a<3 C.−2≤a<3 D.−2≤a≤39.某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠墙(墙的长度为16米)，另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料(不包括门)总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（）平方米．

A.54 B.1603 C.108 D.10.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，下列结论：

①abc>0；②b2−4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0A.4个B.3个

C.2个D.1个二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）.11.若函数y=−(m+2)x|m|+x−1是二次函数，则m的值为

12.已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(−1,0)和(2,0)，与y轴的交点坐标为(0,−2)，则该二次函数的解析式为

．13.将抛物线y=x2−6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是

14.用长为12m的铝合金制成如图所示的矩形窗框，则窗户的透光面积最大为

．

15.对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当−1≤x≤1时，−1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”.例如：y=x，y=−x均是“闭函数”.已知y=ax2+bx+c(a≠0)是“闭函数”，且抛物线经过点A(1,−1)和点B(−1,1)，则a的取值范围是

三、解答题：本题共8小题，共75分.16.(本小题9分)已知函数y=m(m+2)x2+mx+m+1．

(1)当m为何值时，此函数是一次函数？(2)当17.(本小题9分)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,1)，且这条抛物线与x轴的一个交点坐标是(3,0).求：

(1)抛物线的表达式；(2)求这条抛物线与x18.(本小题9分)已知二次函数y=−x2−2x+3．

(1)将二次函数化成y=a(x−h)2+k的形式；(2)在平面直角坐标系中画出y=−x2−2x+3的图象；

19.(本小题9分)已知抛物线y=a(x−1)2+h经过点(0,−3)和(3,0)．

(1)求a、h的值；(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移20.(本小题9分)投壶投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系(单位长度为1m).某同学将箭从A0,1.5处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线L:y=ax2+bx+c的一部分，且当箭的最大高度为2m时，距离投出点的水平距离为1m.把壶近似看作矩形DEFG，已知壶口的宽度(1)求抛物线L的表达式．(2)若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求人离壶的距离OE．(3)在(2)的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出OA的取值范围．21.(本小题9分)已知二次函数y=x2(1)若点(3,0)在二次函数的图象上，求a的值。(2)求证：不论a为何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点。22.(本小题10分)小爱同学学习二次函数后，对函数y=−(|x|−1)2(1)观察探究：①写出该函数的一条性质：

；②方程−(|x|−1)2=−1③若方程−(|x|−1)2=m有四个实数根，则m(2)延伸思考：将函数y=−(|x|−1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1=−(|x−1|−1)23.(本小题11分)如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点A(3,0)，B(0,3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M.设点P的横坐标为(1)求抛物线的解析式;(2)若点P在第一象限，连接AM，BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积;(3)是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点P的横坐标;若不存在，请说明理由．

答案和解析1.【答案】B

解：将二次函数y=x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y=x+22，

再向上平移1个单位长度得到：y=x+22.【答案】C

解：A.y=(x+1)(x−1)−x2化简得：y=−1不是二次函数，不合题意；

B.y=ax2+bx+c只有当a≠0时才是二次函数，不合题意；

C.s=2t23.【答案】D

4.【答案】D

【解析】解：选项A：∵抛物线开口向下，

∴a<0．

∵对称轴为直线x=−1，

∴−b2a=−1．

∴b=2a．

∴b<0.故选项A错误；

选项B：设抛物线与x轴的另一个交点为(x,0)，

则抛物线的对称轴可表示为x=12(x−3)，

∴−1=12(x−3)，解得x=1，

∴抛物线与x轴的两个交点为(1,0)和(−3,0)．

又∵抛物线开口向下，

∴抛物线与y轴交于正半轴．

∴c>0.故选项B错误．

选项C：∵抛物线过点(1,0)．

∴a+b+c=0.故选项C错误；

选项D：∵b=2a，且5.【答案】C

【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(−2,0)和(4,0)两点，函数开口向下，

∴函数值y>0时，自变量x的取值范围是−2<x<4，

故选C．

解：由抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过第四象限的点(1,−1)，

画出函数的图象如图：

由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是有一个大于1另一个小于17.【答案】A

解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，

则每件商品的利润为(x−35)元，商品能卖出200−5(x−40)=(400−5x)件，

根据题意可得：y=(x−35)(400−5x)，

故选A8.【答案】D

解：∵二次函数y=x2−2ax+a2−2a−4(a为常数)的图象与x轴有交点，

∴Δ=(−2a)2−4×1×(a2−2a−4)≥0

解得a≥−2；

∵抛物线的对称轴为直线x=−−2a2=a，抛物线开口向上，且当x>3时，y随x9.【答案】D

【解析】设中间隔开的墙长为x m，能建成的饲养室总面积为Sm∵33+3−3x≤16，解得x≥20根据题意，得S=x(33+3−3x)=−3x∵−3<0，且6<20∴当x=203时，S取得最大值，最大值为则能建成的饲养室面积最大为3203平方米.10.【答案】B

解：由抛物线的开口向下可得：a<0，

根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，

∴abc<0，故①错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2−4ac>0，故②正确；

∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b2a=1，可得b=−2a，

由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，

∴4a−2×(−2a)+c<0，

即8a+c<0，故③正确；

由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=−1时，y=a−b+c>0，

两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；

∴11.【答案】2

解：∵y=−(m+2)x|m|+x−1是二次函数，

∴|m|=2，

∴m=±2，

∵−(m+2)≠0，

∴m≠−2，

∴m=2．

故12.【答案】y=x2−x−2

解：根据题意，设该二次函数的解析式为y=a(x+1)(x−2)，

把(0,−2)代入，得a·1·(−2)=−2，

解得a=1．

所以该二次函数的解析式为y=(x+1)(x−2)，即y=x213.【答案】k≥3

【解析】解：将抛物线y=x2−6x+12向下平移k个单位长度得y=x2−6x+12−k，

∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点，

∴Δ=b2−4ac≥0，

∴(−6)2−4×1×(12−k)≥0，

解：设窗的高度AB为xm，宽BC为12−3x2m由矩形面积公式，得S=12−3x∵−3∴当x=2时，S的最大值为6．故窗户的透光面积最大为6m15.【答案】−12≤a<0或0<a≤12

解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,−1)和点B(−1,1)，

∴a+b+c=−1

①，a−b+c=1

②，

①+②得：a+c=0

即a与c互为相反数，

①−②得：b=−1；

所以抛物线表达式为y=ax2−x−a(a≠0)，

∴对称轴为x=12a，

当a<0时，抛物线开口向下，且x=12a<0，

∵抛物线y=ax2−x−a(a≠0)经过点A(1,−1)和点B(−1,1)，

画图可知，当12a≤−1时符合题意，此时−12≤a<0，

当−1<12a<0时，图象不符合−1≤y≤1的要求，舍去

同理，当a>0时，抛物线开口向上，且x=12a>0，16.解：(1)∵函数y=m(m+2)x2+mx+m+1是一次函数，

∴m(m+2)=0且m≠0，

解得m=−2；

当m=−2时，此函数是一次函数；

(2)∵函数y=m(m+2)x2+mx+m+1是二次函数，

∴m(m+2)≠0，

解得m≠−2且m≠0，18.解：(1)y=−x2−2x+3

=−(x2+2x+1−1)+3

=−(x+1)2+4；

(2)抛物线的顶点坐标为(−1,4)，

当x=0时，y=−x2−2x+3=3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)；

当y=0时，−x2−2x+3=0，解得x119.解：(1)将点(0,−3)和(3,0)分别代入y=a(x−1)2+h，得

−3=a(0−1)2+h0=a(3−1)2+h．

解得a=1h=−4．

所以a=1，h=−4．

(2)由(1)20.【答案】解：(1)根据题意可知，抛物线的顶点坐标为(−1,2)，c=1.5，

∴−b2a=−1，a−b+32=2，

∴a=−12，b=−1，

∴抛物线L的解析式为y=−12x2−x+32;

(2)令−12x2−x+32=0.72，

解得x1=−2.6，x2=0.6(舍去)，

2.6−0.2=2.4(m)，

答：人离壶的距离OE为21.解：(1)因为点(3,0)在二次函数y=x所以0=9−3a+2(a−3)，解得a=3，所以a的值为3。(2)证明：y=x当y=0时，x2Δ=(−a)因为(a−4)所以(a−4)所以一元二次方程x2所以不论a为何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点。22.(1)函数图象关于y轴对称(答案不唯一);x=−2或x=0或x=2;−1<m<0.(2)如图，将函数y=−(|x|−1)2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数当1<y1≤2时，自变量x的取值范围是−1<x<323.解：(1)把点A(3,0)，B(0,3)代入y=−x2+bx+c，得

−9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3

∴y=−x2+2x+3．

(2)设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0)，

把点A(3,0)，B(0,3)代入y=kx+b(k≠0)，得

3k+b=0b=3，解得k=−1b=3．