2025-2026年江苏省专升本考试高等数学极限计算技巧备考习题

2025-2026年江苏省专升本考试高等数学极限计算技巧备考习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在高等数学中，极限的定义通常采用ε-δ语言描述，下列关于ε-δ定义的表述中，正确的是（）A.对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x趋近于a时，f(x)的值小于εB.对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-L|<εC.对于任意给定的正数δ，总存在正数ε，使得当x趋近于a时，f(x)的值小于δD.对于任意给定的正数δ，总存在正数ε，使得当|x-a|<ε时，|f(x)-L|<δ2.计算极限lim_{x→2}(x^2-4)/(x-2)时，下列方法中正确的是（）A.直接代入x=2得到极限值为0B.使用洛必达法则得到极限值为4C.消去零因子后得到极限值为4D.因为分母趋近于0，所以极限不存在3.对于数列{a_n}，若存在正数M，使得对于任意n，都有|a_n|≤M，则称{a_n}有界。下列数列中，有界的是（）A.a_n=n^2B.a_n=(-1)^n/nC.a_n=2^nD.a_n=sin(nπ/2)4.极限lim_{x→0}(sin3x)/(5x)的计算结果为（）A.0B.3/5C.5/3D.15.当x→∞时，下列函数中极限存在的是（）A.f(x)=(-1)^xB.f(x)=x^2/(x+1)^2C.f(x)=e^(-x)sin(x)D.f(x)=log(x^2+1)/x6.计算极限lim_{x→1}(x^3-1)/(x^2-1)时，下列方法中错误的是（）A.消去零因子后得到极限值为3B.使用洛必达法则得到极限值为3C.直接代入x=1得到极限值为0D.因子分解后得到极限值为37.对于函数f(x)=|x|在x=0处的极限，下列说法中正确的是（）A.极限存在且等于0B.极限存在且等于1C.左极限存在而右极限不存在D.左极限和右极限都存在但不相等8.计算极限lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2时，下列方法中正确的是（）A.直接代入x=0得到极限值为0B.使用洛必达法则两次得到极限值为1/2C.使用等价无穷小替换后得到极限值为1D.因为分母趋近于0，所以极限不存在9.对于函数f(x)=xsin(1/x)（x≠0），下列关于其极限的表述中，正确的是（）A.当x→0时，f(x)的极限存在且等于1B.当x→0时，f(x)的极限存在且等于0C.当x→0时，f(x)的极限不存在D.当x→0时，f(x)没有定义，所以极限不存在10.计算极限lim_{x→π/2}(1-tanx)/(x-π/2)时，下列方法中正确的是（）A.直接代入x=π/2得到极限值为0B.使用洛必达法则得到极限值为-1C.使用三角函数性质化简后得到极限值为-1D.因为分母趋近于0，所以极限不存在二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若lim_{x→a}f(x)=A，lim_{x→a}g(x)=B，且B≠0，则lim_{x→a}[f(x)/g(x)]=________。2.极限lim_{n→∞}(1+1/n)^n的值为________。3.当x→0时，(sinx)^2与x是等价无穷小，则当x→0时，(sinx)^2/x^2的极限为________。4.若函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=2，则lim_{x→0}f(x)=________。5.计算极限lim_{x→∞}(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)的值为________。6.当x→0时，e^x-1与x是等价无穷小，则当x→0时，(e^x-1-x)/x^2的极限为________。7.若函数f(x)在x=1处的左极限为3，右极限为5，则lim_{x→1}f(x)=________。8.计算极限lim_{x→0}(1-cosx)/x^2的值为________。9.当x→∞时，(x^2+1)/(x+1)^2的极限为________。10.若函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=3，则lim_{h→0}[f(0+h)-f(0)]/h=________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}有界，则其极限一定存在。（）2.极限lim_{x→0}(1/x)不存在，因为1/x在x→0时无限增大。（）3.若lim_{x→a}f(x)=A，且A=0，则对于任意函数g(x)，都有lim_{x→a}[f(x)g(x)]=0。（）4.当x→0时，sinx与x是等价无穷小。（）5.若函数f(x)在x=0处连续，则lim_{x→0}f(x)一定存在。（）6.极限lim_{x→∞}(1/x)=0，因此lim_{x→∞}(x^2+1)/(x+1)^2=0。（）7.若函数f(x)在x=1处可导，则lim_{h→0}[f(1+h)-f(1)]/h=f'(1)。（）8.当x→0时，(1-cosx)/x^2的极限为0。（）9.若数列{a_n}单调递增且有上界，则其极限一定存在。（）10.极限lim_{x→a}f(x)=A的几何意义是：当x无限接近a时，函数f(x)无限接近A。（）四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.简述高等数学中极限的ε-δ定义及其意义。2.列举三种常见的等价无穷小，并说明其在极限计算中的应用。3.解释函数极限与数列极限的区别与联系。4.说明洛必达法则在极限计算中的适用条件及其局限性。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.计算极限lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2，并说明解题思路。2.计算极限lim_{x→1}(x^3-1)/(x^2-1)，并说明解题思路。3.计算极限lim_{x→∞}(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)，并说明解题思路。4.计算极限lim_{x→0}(1-cosx)/x^2，并说明解题思路。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：ε-δ定义的核心是：对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。这是极限的严格数学定义，其他选项的表述均不符合该定义。2.C解析：直接代入x=2时，分子分母同时为0，属于未定式，需要消去零因子。因式分解后得到lim_{x→2}(x+2)(x-2)/(x-2)=lim_{x→2}(x+2)=4。其他方法均不正确。3.B解析：a_n=(-1)^n/n的绝对值|a_n|=1/n，当n→∞时，1/n→0，因此{a_n}有界。其他数列均无界。4.B解析：利用等价无穷小sin3x≈3x（当x→0时），则lim_{x→0}(sin3x)/(5x)=lim_{x→0}(3x)/(5x)=3/5。5.B解析：f(x)=x^2/(x+1)^2=1/(1+1/x)^2，当x→∞时，1/x→0，因此极限为1。其他函数均不存在极限。6.C解析：直接代入x=1时，分子分母同时为0，属于未定式，不能直接代入。其他方法均正确。7.D解析：左极限lim_{x→0^-}|x|=0，右极限lim_{x→0^+}|x|=0，但左极限不等于右极限，因此极限不存在。8.B解析：使用洛必达法则两次：lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2=lim_{x→0}(e^x-1)/2x=lim_{x→0}e^x/2=1/2。其他方法均不正确。9.B解析：当x→0时，sin(1/x)在[-1,1]之间振荡，但1/x→∞，因此f(x)=xsin(1/x)→0。10.B解析：使用洛必达法则：lim_{x→π/2}(1-tanx)/(x-π/2)=lim_{x→π/2}(-sec^2x)/1=-1。其他方法均不正确。二、填空题1.A/B解析：根据极限的四则运算法则，lim_{x→a}[f(x)/g(x)]=lim_{x→a}f(x)/lim_{x→a}g(x)=A/B（B≠0）。2.e解析：这是著名的数列极限定义，lim_{n→∞}(1+1/n)^n=e。3.1解析：当x→0时，(sinx)^2≈x^2，因此(sinx)^2/x^2→1。4.2解析：根据函数连续的定义，f(x)在x=0处连续意味着lim_{x→0}f(x)=f(0)=2。5.3/5解析：分子分母同除以x^2，lim_{x→∞}(3+2/x+1/x^2)/(5-3/x+2/x^2)=3/5。6.1/2解析：使用洛必达法则两次：lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2=lim_{x→0}(e^x-1)/2x=lim_{x→0}e^x/2=1/2。7.不存在解析：左极限与右极限不相等，根据极限存在定理，极限不存在。8.1/2解析：使用等价无穷小1-cosx≈x^2/2（当x→0时），则lim_{x→0}(1-cosx)/x^2=lim_{x→0}(x^2/2)/x^2=1/2。9.1解析：分子分母同除以x^2，lim_{x→∞}(3+2/x+1/x^2)/(5-3/x+2/x^2)=3/5。10.3解析：根据导数定义，f'(0)=lim_{h→0}[f(0+h)-f(0)]/h=3。三、判断题1.×解析：数列有界但极限不一定存在，例如{(-1)^n}有界但极限不存在。2.√解析：1/x在x→0时无限增大，根据极限定义，极限为∞，因此不存在。3.×解析：只有当g(x)的极限不为0时才成立，例如g(x)=1/x，则[f(x)g(x)]的极限可能不为0。4.√解析：当x→0时，sinx/sin(x)=1，因此sinx与x是等价无穷小。5.√解析：根据函数连续的定义，f(x)在x=0处连续意味着lim_{x→0}f(x)=f(0)，因此极限存在。6.×解析：lim_{x→∞}(1/x)=0，但(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)的极限为3/5。7.√解析：根据导数定义，f'(1)=lim_{h→0}[f(1+h)-f(1)]/h。8.×解析：lim_{x→0}(1-cosx)/x^2=1/2≠0。9.√解析：根据数列极限存在定理，单调递增且有上界的数列必有极限。10.√解析：这是极限的几何意义，函数f(x)的图像无限接近A。四、简答题1.极限的ε-δ定义：对于函数f(x)在x→a时的极限为L，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称L是f(x)当x→a时的极限。意义：ε-δ定义是极限的严格数学表述，是微积分的理论基础，用于精确描述函数值无限接近某个常数的动态过程。2.常见的等价无穷小：（1）sinx≈x（当x→0时）（2）e^x-1≈x（当x→0时）（3）1-cosx≈x^2/2（当x→0时）应用：在极限计算中，可以用等价无穷小替换分子或分母中的无穷小因子，简化计算过程。3.区别：函数极限描述的是函数f(x)在x→a时无限接近L的过程，而数列极限描述的是数列{a_n}在n→∞时无限接近L的过程。联系：数列极限是函数极限在自变量取离散值时的特殊形式，即令x=n（n为自然数）。4.洛必达法则的适用条件：（1）极限形式为0/0或∞/∞（2）分子分母在极限点附近可导（3）导数的极限存在或为∞局限性：不适用于其他未定式（如0•∞，∞-∞等），且可能需要多次使用。五、应用题1.解：lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2=lim_{x→0}(e^x-1)/2x=lim_{x→0}e^x/2=1/2解题思路：使用洛必达法则两次，因为直接代入为0/0未定式。2.解：lim_{x→1}(x^3-1)/(x^2-1)=lim_{x→1}[(x-1)(x^2+x+1)/(x-1)(x+1)]=lim_{x→1}(x^2+x+1)/(x+1)=3/2解题思路：消去零因