2026年人教版高二数学选修四第五章数列综合测试卷

2026年人教版高二数学选修四第五章数列综合测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n为（）A.a_n=2n-6B.a_n=2n-8C.a_n=-2n+10D.a_n=-2n+122.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.(n-1)•2^n3.若数列{c_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则该数列一定是（）A.等差数列B.等比数列C.既非等差也非等比数列D.无法确定是否为等差或等比数列4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_8=64，且公比q≠1，则该数列的通项公式d_n等于（）A.d_n=2^(n-1)B.d_n=2^(n+1)C.d_n=4^nD.d_n=4^(n-1)5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则e_5的值为（）A.10B.15C.20D.256.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=3f_n-2（n∈N），则该数列的通项公式f_n等于（）A.3^n-1B.2•3^(n-1)C.3^n-2D.2•3^n-17.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_9=20，且公差d>0，则该数列的前10项和S_10的最小值为（）A.100B.150C.200D.2508.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则该数列的第5项h_5等于（）A.16B.32C.48D.649.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=2i_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.n•2^nB.n•2^n-1C.2^n-nD.2^n+n10.在等比数列{j_n}中，若j_3•j_7=128，且公比q>1，则该数列的前6项和S_6等于（）A.127B.255C.383D.511二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_6=14，则该数列的公差d=________。2.已知数列{b_n}满足b_1=3，b_n+1=3b_n（n∈N），则该数列的通项公式b_n=________。3.若数列{c_n}的前n项和为S_n=2n^2+3n，则该数列的第3项c_3=________。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q=________。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则e_4=________。6.若数列{f_n}满足f_1=5，f_n+1=2f_n-1（n∈N），则该数列的通项公式f_n=________。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=-2，a_7=10，则该数列的通项公式g_n=________。8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则该数列的第4项h_4=________。9.若数列{i_n}满足i_1=2，i_n+1=4i_n+3（n∈N），则该数列的通项公式i_n=________。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_5=32，则该数列的公比q=________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2+n，则该数列一定是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_3•b_7=64，则该数列的公比q=2。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+2（n∈N），则该数列一定是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则该数列的前5项和S_5=25。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则该数列一定是等差数列。6.若数列{f_n}满足f_n+1=3f_n-2（n∈N），则该数列一定是等比数列。7.在等比数列{g_n}中，若g_2•g_8=256，则该数列的公比q=4。8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则该数列一定是等比数列。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=2i_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n=2^n-n。10.在等差数列{j_n}中，若a_1=-3，a_5=9，则该数列的前10项和S_10=0。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n+1（n∈N），求该数列的通项公式a_n。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_3=12，求该数列的前6项和S_6。3.若数列{c_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的第5项c_5。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=-5，a_6=11，求该数列的通项公式d_n及前10项和S_10。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的10%，若该工厂今年的生产能力为100万吨，求该工厂5年后的生产能力（精确到0.1万吨）。2.某城市人口增长率为每年5%，若该城市目前人口为100万，求该城市10年后的人口数量（精确到0.1万）。3.某人投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比上一年多投资10万元，若该项目的年利率为5%，求该人5年内总投资的现值（精确到0.1万元）。4.某公司计划每年比上一年增加销售额的20%，若该公司今年的销售额为1000万元，求该公司5年内总销售额的累计值（精确到0.1万元）。【标准答案及解析】一、单选题1.A解析：由a_3+a_7=12，得2a_5=12，故a_5=6。又a_5=a_1+4d=6，解得a_1=2，d=1。通项公式a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)×1=2n-6。2.B解析：由b_n+1=2b_n+1，得b_n+1+1=2(b_n+1)，即b_n+1=2(b_n+1)。故{b_n+1}是首项为b_1+1=2的等比数列，公比为2。b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+2+4+…+2^(n-1)=2^n-1。3.A解析：由S_n=3^n-1，得a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)。故a_n=2×3^(n-1)，是首项为2，公比为3的等比数列。4.D解析：由d_2•d_8=64，得d_5^2=64，故d_5=±8。又q≠1，故d_5=a_1q^4=±8，解得a_1=±2^(n-1)。通项公式d_n=±4^(n-1)。5.B解析：由S_n=n(n+1)/2，得a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=n(n+1)/2-[(n-1)n)/2]=2n。故e_n=2n，e_5=10。6.A解析：由f_n+1=3f_n-2，得f_n+1+1=3(f_n+1)，即f_n+1=3f_n+1。故{f_n+1}是首项为f_1+1=6的等比数列，公比为3。f_n+1=6×3^(n-1)，故f_n=3^n-1。7.A解析：由a_1+a_9=20，得2a_5=20，故a_5=10。又a_5=a_1+4d=10，解得a_1=10-4d。S_10=10(a_1+a_10)/2=5(a_1+a_1+9d)=10a_1+45d=100-35d。当d>0时，S_10最小值在d取最小正整数值时取得，即d=1时，S_10=65。8.B解析：由S_n=2^n-1，得a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-1-2^(n-1)+1=2^(n-1)。故h_n=2^(n-1)，h_5=32。9.B解析：由i_n+1=2i_n+1，得i_n+1+1=2(i_n+1)，即i_n+1=2(i_n+1)。故{i_n+1}是首项为i_1+1=3的等比数列，公比为2。i_n+1=3×2^(n-1)，故i_n=3×2^(n-1)-1。前n项和S_n=3(2^n-1)-n=3×2^n-3-n。10.A解析：由j_3•j_7=128，得j_5^2=128，故j_5=8。又q>1，故j_5=a_1q^4=8，解得a_1=2^(n-4)。前6项和S_6=a_1(1-q^6)/(1-q)=2^(n-4)(1-2^6)/(1-2)=127。二、填空题1.2解析：由a_4+a_6=14，得2a_5=14，故a_5=7。又a_5=a_1+4d=7，解得d=2。2.3^n解析：由b_n+1=3b_n，故{b_n}是首项为3，公比为3的等比数列。b_n=3^n。3.11解析：由S_n=2n^2+3n，得a_1=S_1=5。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。故c_n=4n+1，c_3=11。4.3解析：由d_2=6，d_4=54，得q^2=9，故q=3。5.18解析：由S_n=n^2+n，得a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[n^2-n+1]=2n-1。故e_n=2n-1，e_4=7。6.4×2^(n-1)+1解析：由f_n+1=2f_n-1，得f_n+1+1=2(f_n+1)，即f_n+1=2(f_n+1)。故{f_n+1}是首项为f_1+1=6的等比数列，公比为2。f_n+1=6×2^(n-1)，故f_n=4×2^(n-1)+1。7.n-7解析：由a_1=-2，a_7=10，得6d=12，故d=2。a_n=a_1+(n-1)d=-2+(n-1)×2=2n-4。8.24解析：由S_n=3^n-1，得a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)。故h_n=2×3^(n-1)，h_4=24。9.3×4^(n-1)-1解析：由i_n+1=4i_n+3，得i_n+1+1=4(i_n+1)，即i_n+1=4(i_n+1)。故{i_n+1}是首项为i_1+1=3的等比数列，公比为4。i_n+1=3×4^(n-1)，故i_n=3×4^(n-1)-1。10.2解析：由j_1=2，j_5=32，得q^4=16，故q=2。三、判断题1.错误解析：S_n=2n^2+n，故a_n=S_n-S_(n-1)=4n-1。a_n-a_(n-1)=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4，故是等差数列。2.错误解析：由b_3•b_7=64，得b_5^2=64，故b_5=±8。若b_5=8，则q=2；若b_5=-8，则q=-2。3.正确解析：由c_n+1=c_n+2，得c_n+1-c_n=2，故是等差数列。4.错误解析：由a_1+a_9=20，得2a_5=20，故a_5=10。S_5=5(a_1+a_5)/2=5(a_1+10)/2=25。5.正确解析：由S_n=n(n+1)/2，得a_n=S_n-S_(n-1)=n。a_n-a_(n-1)=n-(n-1)=1，故是等差数列。6.错误解析：由f_n+1=3f_n-2，得f_n+1+2=3(f_n+2)，即f_n+2=3(f_n+2)。故{f_n+2}是首项为f_1+2的等比数列，公比为3。f_n=3f_(n-1)+2，故不是等比数列。7.错误解析：由g_2•g_8=256，得g_5^2=256，故g_5=±16。若g_5=16，则q=4；若g_5=-16，则q=-4。8.错误解析：由S_n=2^n-1，得a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)。故h_n=2^(n-1)，是首项为1，公比为2的等比数列。9.正确解析：由i_n+1=2i_n+1，得i_n+1+1=2(i_n+1)，即i_n+1=2(i_n+1)。故{i_n+1}是首项为i_1+1=3的等比数列，公比为2。i_n+1=3×2^(n-1)，故i_n=3×2^(n-1)-1。前n项和S_n=3(2^n-1)-n=2^n-n。10.错误解析：由a_1=-3，a_5=9，得6d=12，故d=2。S_10=10(a_1+a_10)/2=5(a_1+a_1+9d)=5(-3+15)=60。四、简答题1.解：由a_1=2，a_n+1=3a_n+1，得a_n+1+1=3(a_n+1)，即a_n+1=3(a_n+1)。故{a_n+1}是首项为a_1+1=3的等比数列，公比为3。a_n+1=3×3^(n-1)=3^n，故a_n=3^n-1。2.解：由b_1=3，b_3=12，得q^2=4，故q=2。前6项和S_6=a_1(1-q^6)/(1-q)=3(1-2^6)/(1-2)=3×63=189。3.解：由S_n=n^2+n，得a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[n^2-n+1]=2n-1。故c_n=2n-1，c_5=9。4.解：由a_1=-5，a_6=11，得5d=16，故d=3。通