2026九年级（上）数学专题01 反比例函数k的几何意义（苏科版）

专题01反比例函数“k”的几何意义

（题型突破·举一反三）

题型01反比例函数“k”的几何意义证明

题型02单反比例函数（一）-一点一垂线型

题型03单反比例函数（二）-两点+垂线型

题型04单反比例函数（三）-两点连原点型

题型05双反比例函数（一）-同侧双曲线型

题型06双反比例函数（二）-异侧双曲线型

▌题型01反比例函数“k”的几何意义证明

图1图2

如图1：

已知、是反比例函数图像上的两点，过、分别向轴和轴作垂线，得到矩形和矩形

，则距,距⺁

如图⺁2：OBAC⺁OFEG⺁

已知、是反比例函数图像上的两点，过、分别向轴和轴作垂线，得到矩形和矩形

，则距,距⺁

⺁OIHJ⺁OMPN⺁

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1

综合可得，反比例函数任意一点向两坐标轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积是一个定值，

S矩=｜k|.

【典例1】（2025秋•南通期末）如图，点P在反比例函数（x＜0）的图象上，则矩形OAPB的面积

是（）

A．1B．2C．4D．6

【变式1-1】（2026•金凤区校级二模）如图，点A是反比例函数y的图象上的一点，过点A作▱ABCD，

使点在轴上，点在轴上，若▱面积为，则的值是（）

CxDyABCD6k

A．1B．3C．6D．﹣6

【变式1-2】（2025秋•金安区月考）如图，A，B两点在反比例函数＞的图象上，分别过A，B

两点向坐标轴作垂线段．若S1+S2＝6，则S阴影＝（）

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1

A．1B．2C．4D．6

【变式1-3】（2025秋•永寿县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过原点O，且与反比例函数

的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为．

ABABACBDACBD

【变式1-4】（2026•南沙区一模）如图，面积为2的矩形ABCD在第一象限，BC与x轴平行，反比例函数

经过B、D两点，直线BD所在直线y＝﹣kx+b与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线

段的三等分点，则的值为（）

EFb

A．B．C．D．

【变式1-5】已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数

＞，＞的图象上，点P（m，n）是函数＞，＞的图象上任意一点．过点P分别

作轴、轴的垂线，垂足分别为、．若设矩形和正方形不重合部分的面积为．求当

xyEFOEPFOABCSS

＞1时，求m的取值范围．

【变式1-6】如图，双曲线y（k＞0，x＞0）的图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），且x1＜x2，

分别过P1和P2向x轴作垂线，垂足为B、D．过P1和P2向y轴作垂线，垂足为A、C．

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1

（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1和S2，周长为C1和C2，试比较S1和S2，C1

和C2的大小；

（2）若P是双曲线y（k＞0，x＞0）的图象上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足为M、N．试

问当点落在何处时，四边形的周长最小？

PPMON

▌题型02单反比例函数（一）-一点一垂线型

利用平行线之间的距离

处处相等，可以将点移

动到轴上任意一点，

⺁

⺁

kk

SS

ABO2ABC2

【典例2】（2026•衡阳县一模）如图，P是反比例函数图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，

垂足为，连接．若△的面积为，则的值为．

MOPPOM2k

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1

【变式2-1】如图，反比例函数，点A位于反比例函数图象上，AB垂直于x轴，点C在y轴从上往

下运动的过程中，三角形的面积变化情况是（）

ABC

A．不变B．一直变大

C．先变大后变小D．先变小后变大

【变式2-2】（2025春•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A

在反比例函数y（x＜0）的图象上，若菱形OABC的面积为4，则k的值为．

【变式2-3】（2026•金凤区校级二模）如图，双曲线经过▱ABCO的对角线交点D，已知边OC在y

轴上，且⊥于点，若▱的面积是，则的值为．

ACOCCABCO3k

【变式2-4】（2026•高碑店市模拟）如图，点A是反比例函数＜图象上的一点，过点A作AB

⊥轴于点，点是轴上一点，满足＝，当点由高到低在图象上移动时，有下列结论：

xBCyACBCA

①△ABC的面积不变；

②点C的纵坐标逐渐减小；

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1

③AC的长度逐渐增大．

其中正确的结论有（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

【变式2-5】（2026•城中区校级二模）如图，点A、B落在第二象限内双曲线y（k≠0）上，过A、B两

点分别作x轴的垂线段，垂足为C，D，连接OA、OB，若S1+S2＝2且S阴影＝1，则k的值为（）

A．4B．﹣4C．2D．﹣2

【变式2-6】（2026•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数，＜

图象上一点，线段BC⊥OC于点C，交反比例函数，＜图象于点D，连接OD，线段BO

经过点A，且A为线段BO的中点，若△OAD的面积为，则k＝（）

A．4B．﹣3C．﹣2D．﹣1

【变式2-7】（2026•云岩区一模）如图，已知点A（m，6），点B是反比例函数（k为常数，k≠0，x

＞）图象上的两个点，过点作⊥轴于点，连接，若△的面积为．

0BBCxCOBOBC3

（1）求m的值；

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1

（2）连接OA，以OA为边作菱形OADE，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形OADE的

面积．

▌题型03单反比例函数（二）-两点+垂线型

SABCkSABCk

SABC2kSACBE2k

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1

【典例3】若图中反比例函数的表达式均为y，则阴影面积为1.5的是（）

A．B．

C．D．

【变式3-1】（2024•陈仓区一模）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y图象于

，两点，⊥轴于点，△的面积为，则的值为．

ABBCyCABC6k

【变式3-2】如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限．

（）该函数图象的另一支在第象限，的取值范围是；

1k

（2）点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点的对称点为点C，若△

ABC的面积为4，求k的值．

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1

【变式3-3】反比例函数y中两个变量x，y的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性，如图①，P

（x，y）是反比例函数y（k＜0）的图象上的一个动点，PA⊥x轴，垂足为A，PB⊥y轴，垂足为B，

则PA＝|y|，PB＝|x|，所以S矩形OAPB＝PA•PB＝|xy|＝|k|，即矩形OAPB的面积不变，当k＞0时上述结论

也成立，我们可称这一性质为“反比例函数的面积不变性”，连接OP，此时，△PAO的面积为|k|，也

是定值，试利用“反比例函数的面积不变性”解决下列问题：

如图②、③，点A在反比例函数y的图象上，AB⊥x轴，垂足为B，

（1）如图②，点C在反比例函数y的图象上，CD⊥x轴，垂足为D，AB，CO相交于点P，试比较

下列图形面积的大小：

SRt△ABOSRt△CDO，S△APOS四边形BDCP（选填”＞“”＜“或”“＝“）

（2）如图③，AO的延长线与反比例函数y的图象的另一个交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，连接

，，则四边形的面积为．

ADBCABCD

▌题型04单反比例函数（三）-两点连原点型

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1

方法一：

S四OABDSABOSOBD

SOACS梯ACDB

1

SSk

OBDOAC2

SABOS梯ACDB

方法二：割补法

SABOS矩EFDOSAEOSOBDSAFB

S矩EFDOSAFBk

【典例4】（2025春•建邺区校级期末）如图，点，和，在反比例函数＞的图象上，

થથ

其中a＞b＞0．若△AOB的面积为，则．થથ

થ

થ

【变式4-1】（2025春•江都区期末）如图，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反

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比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝4AD，且△ODE的面积是24，

则的值为（）

k

A．6B．8C．10D．12

【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C在x轴上，顶点B在第二象限，边BC的中点

D横坐标为﹣6，反比例函数＜的图象经过点A、D．若S△AOD＝9，则k的值为（）

A．﹣12B．9C．﹣9D．﹣6

【变式4-3】（2026•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴的正半轴上，且△

ABO的面积为24，反比例函数＞的图象经过AB的中点F．

（）求的值．

1k

（2）若点P，Q在反比例函数＞的图象上，且点P，Q的横坐标分别为2，6，请直接写出直

线的表达式和△的面积．

PQPOQ

▌题型05双反比例函数（一）-同侧双曲线型

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1

k1k2k1k2

SSS矩kk

ABO2ABO2ABCD12

【典例5】（2026春•万州区校级期中）如图，点A是反比例函数y（x＞0）的图象上一点，过点A作

AB⊥x轴于点B，交反比例函数y（x＞0）的图象于点C，点P为y轴上一点，若△ACP的面积为2，

则的值为（）

k

A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5

【变式5-1】如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数＞及＞的图象分别交于A，

B两点，连结OA，OB，已知△OAB的面积为6，则k1﹣k2＝．

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1

【变式5-2】如图，点A在函数y的图象上，过A作AB∥x轴，AB与y的图象交于点B，点C、D在

轴上，若＝，则四边形的面积为．

xABDCABCD

【变式5-3】（2025春•丹徒区期末）如图，点A在反比例函数＜的图象上，作AB⊥x轴，垂足

为B，线段AB交反比例函数＜的图象于点C，点D是y轴正半轴上一点，连接AD、BD、CD，

如果﹣＝，则△的面积为．

nm10ACD

【变式5-4】（2026•公主岭市模拟）如图，点A在反比例函数＞的图象上，点B在反比例函数

＞的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形AOCB的面积为（）

A．4B．6C．8D．10

【变式5-5】（2026•富川县校级一模）如图，矩形OBAC的顶点A在双曲线＞的图象上，顶点B

在y轴上，顶点C在x轴上，AB，AC分别与反比例函数＞的图象相交于点D，E，若四

边形ODAE的面积S四边形ODAE＝5，则m的值为（）

A．B．2C．1D．3

【变式5-6】（2026•济南模拟）如图，点B在函数＞的图象上，过点B（m，n）分别作x轴和y

轴的平行线交函数＞的图象于点A，C．

（）若点的坐标为（，），求点坐标和直线解析式；

1B23AOC

（2）当点B为函数图象上的动点，问四边形OABC的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请

用m的代数式表示四边形面积；

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1

（3）当OC平分OA与x轴正半轴的夹角，求证此时AC是∠OAB的角平分线．

【变式5-7】（2026•合肥模拟）如图，四边形ABCD的对角线交于点M，且M是AC的中点；AC⊥x轴于

点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，反比例函数C2：y（k≠0）的图象经

过点．

A

（1）求k的值；

（2）若点D也在反比例函数C2的图象上，求证：四边形ABCD是菱形．

▌题型06双反比例函数（二）-异侧双曲线型

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1

kkkk

S12S12

ABO2ABC2

【典例6】（2026•思明区校级模拟）如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在反比例函数

＜的图象上，AB平行x轴，连接OA，OB，若4＜k＜6，则△AOB的面积可以是（）

A．B．4C．D．5

【变式6-1】（2025春•邗江区期末）如图是反比例函数，在x轴上方的图象，平行四边形OABC

的面积是7，若点A在x轴上，点B在的图象上，点C在的图象上，则k2﹣k1的值为．

【变式6-2】（2025秋•邵阳期末）如图，点A，C在反比例函数的图象上，过点A作x轴的平行线

થ

AB，交y轴于点M，交反比例函数的图象于点B．过点C作x轴的平行线CD，交y轴于点N，交

થ

的图象于点D．若AB＝6，CD＝3，MN＝3，则b﹣a的值为（）

થ

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1

A．15B．12C．9D．6

【变式6-3】（2026•月湖区校级二模）如图，已知AD∥x轴，点A在反比例函数的图象上，

将段段AD平移，得到线段BC，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形ABCD

的中心，S四边形ABCD＝14．

（1）求k的值．

（2）若点D到x轴的距离为1，求直线AB的解析式．

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专题01反比例函数“k”的几何意义

（题型突破·举一反三）

题型01反比例函数“k”的几何意义证明

题型02单反比例函数（一）-一点一垂线型

题型03单反比例函数（二）-两点+垂线型

题型04单反比例函数（三）-两点连原点型

题型05双反比例函数（一）-同侧双曲线型

题型06双反比例函数（二）-异侧双曲线型

▌题型01反比例函数“k”的几何意义证明

图1图2

如图1：

已知、是反比例函数图像上的两点，过、分别向轴和轴作垂线，得到矩形和矩形

，则距,距紸⺁

如紸图⺁2：OBAC紸⺁OFEG紸⺁

已知、是反比例函数图像上的两点，过、分别向轴和轴作垂线，得到矩形和矩形

，则距,距紸⺁

紸⺁OIHJ⺁紸OMPN紸⺁

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1

综合可得，反比例函数任意一点向两坐标轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积是一个定值，

S矩=｜k|.

【典例1】（2025秋•南通期末）如图，点P在反比例函数（x＜0）的图象上，则矩形OAPB的面积

是（）

A．1B．2C．4D．6

【分析】由点P在反比例函数（x＜0）的图象上，得到S矩形OAPB＝|k|即可求解．

【解答】解：由点P在反比例函数（x＜0）的图象上可得：

S矩形OAPB＝|k|＝2，

故选：B．

【变式1-1】（2026•金凤区校级二模）如图，点A是反比例函数y的图象上的一点，过点A作▱ABCD，

使点在轴上，点在轴上，若▱面积为，则的值是（）

CxDyABCD6k

A．1B．3C．6D．﹣6

【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，

所以S平行四边形ABCD＝S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE＝|﹣k|，则|﹣k|＝6，利用反

比例函数图象得到﹣k＜0，即k＞0，于是有k＝6．

【解答】解：作AE⊥BC于E，如图，

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1

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥x轴，

∴四边形ADOE为矩形，

∴S平行四边形ABCD＝S矩形ADOE，

而S矩形ADOE＝|﹣k|，

∴|﹣k|＝6，

而﹣k＜0，即k＞0，

∴k＝6．

故选：C．

【变式1-2】（2025秋•金安区月考）如图，A，B两点在反比例函数＞的图象上，分别过A，B

两点向坐标轴作垂线段．若S1+S2＝6，则S阴影＝（）

A．1B．2C．4D．6

【分析】设阴影部分的面积为S3，根据＞，得S3+S1＝4，S3+S2＝4，继而得到S3+S1+S3+S2＝8，

结合S1+S2＝6解答即可．

【解答】解：设阴影部分的面积为S3，则S3+S1＝4，S3+S2＝4，

故S3+S1+S3+S2＝8，

由条件可得2S3＝2；

解得S3＝1，

故选：A．

【变式1-3】（2025秋•永寿县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过原点O，且与反比例函数

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的图象交于点A，B，以AB为对角线作矩形ACBD，则矩形ACBD的面积为．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．

【解答】解：由题知，

因为四边形ACBD是矩形，A，B两点在反比例函数的图象上，

所以四边形是矩形，

ANOM

则S矩形ANOM＝2，

所以S矩形ACBD＝4S矩形ANOM＝8．

【变式1-4】（2026•南沙区一模）如图，面积为2的矩形ABCD在第一象限，BC与x轴平行，反比例函数

经过B、D两点，直线BD所在直线y＝﹣kx+b与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线

段的三等分点，则的值为（）

EFb

A．B．C．D．

【分析】根据B、D为线段EF的三等分点，ABCD的面积为2，可求出反比例函数的关系式，确定k的

值，再利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标，及△EOF的面积即可求出b的值．

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【解答】解：延长AB、DC交x轴于点Q、P，延长AD、BC交y轴于点M、N，

∵B、D为线段EF的三等分点，

∴BE＝BD＝DF，

∵AM∥BC∥EO，

∴OP＝PQ＝QE，ON＝MN＝MF，

∵ABCD的面积为2，

∴S矩形QBNO＝2S矩形ABCD＝4，

∴|k|＝4，

∴反比例函数的关系式为y，

∴＝，

k4

一次函数的关系式为y＝﹣4x+b，即：F（0，b），E（，0），

由题意得△的面积为，

EOF9

∴b9，

解得，b＝6，b＝﹣6（舍去），

故选：C．

【变式1-5】已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数

＞，＞的图象上，点P（m，n）是函数＞，＞的图象上任意一点．过点P分别

作轴、轴的垂线，垂足分别为、．若设矩形和正方形不重合部分的面积为．求当

xyEFOEPFOABCSS

＞1时，求m的取值范围．

【分析】利用正方形的性质得OA＝AB＝2，则B点坐标为（2，2）；把B（2，2）代入y中，即可求

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1

出k；P（m，n）在y上，得到mn＝4，S＝AE•PE+CB•CF＝（m﹣2）•n+2（2﹣n）＝mn﹣2n+4﹣2n

＝mn﹣4n+4＝8，根据S＞1，可得出m的取值范围．

【解答】解：∵正方形的面积为，

OABC4

∴OA＝AB＝2，

∴B点坐标为（2，2）；

∵点B在函数＞，＞的图象上，

∴把B（2，2）代入y中，

得＝；

k4

∴反比例函数的解析式为y；

∵P（m，n）在y上，∴mn＝4，∴n，

∵＝••，

SAEPE+CBCF

∴S＝（m﹣2）•n+2（2﹣n）＝mn﹣2n+4﹣2n＝mn﹣4n+4＝8，

∵＞，

S1

∴＜7，

∵＞，

x0

或S＝m（n﹣2）+2（2﹣m）＝mn﹣4m+4＝8﹣4m，

∵S＞1，

∴8﹣4m＞1，

∴0＜m＜，

∴m的取值范围m＞或0＜m＜

【变式1-6】如图，双曲线y（k＞0，x＞0）的图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），且x1＜x2，

分别过P1和P2向x轴作垂线，垂足为B、D．过P1和P2向y轴作垂线，垂足为A、C．

（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1和S2，周长为C1和C2，试比较S1和S2，C1

和C2的大小；

（2）若P是双曲线y（k＞0，x＞0）的图象上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足为M、N．试

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问当P点落在何处时，四边形PMON的周长最小？

【分析】（1）根据反比例函数中系数k的几何意义可直接得到S1＝S2；由于AC、BD的值不能确定，所

以应分AC＝BD、AC＜BD、AC＞BD三种情况讨论．

（2）根据题意画出图形，设出P点坐标，根据k为定值，则当x＝y时四边形的周长最小．

【解答】解：（1）根据反比例函数系数k的几何意义可知S1＝S2＝k；

当y1﹣y2＝x2﹣x1，即AC＝BD时，C1＝C2；

当y1﹣y2＜x2﹣x1，即AC＜BD时，C1＜C2；

当y1﹣y2＞x2﹣x1，即AC＞BD时，C1＞C2．

（2）设P（x，y），即（x，），

四边形PMON的周长＝2（x+y）＝2（x），

因为面积相等的四边形中正方形的周长最小，

所以x，即x2＝k，

解得x，

故P点坐标为（，）．

▌题型02单反比例函数（一）-一点一垂线型

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利用平行线之间的距离

处处相等，可以将点移

动到轴上任意一点，

⺁

紸紸⺁

kk

SS

ABO2ABC2

【典例2】（2026•衡阳县一模）如图，P是反比例函数图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，

垂足为，连接．若△的面积为，则的值为．

MOPPOM2k

【分析】由反比例函数比例系数的几何意义得S△POM，再由△POM的面积为2得，据此

可得k＝﹣4．

【解答】解：∵点P反比例函数图象上任意一点，PM⊥x轴，垂足为M，

∴由反比例函数比例系数的几何意义得：S△POM，

又∵△POM的面积为2，

∴，

∴＝，

|k|4

∵反比例函数图象上在第二象限，

∴＝﹣．

k4

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1

故答案为：﹣4．

【变式2-1】如图，反比例函数，点A位于反比例函数图象上，AB垂直于x轴，点C在y轴从上往

下运