2022-2026五年中考数学真题分类汇编（浙江）专题12 四边形及应用（解析版）

12

专题四边形及应用

51

年真题年模拟

考点分类浙江考情（2022-2026）命题规律

近5年在本考点共选取7道真题，2024、2025年省统

2026·浙江·中考考未单独设题，2026年以一道多概念的四边形命题判

2023·浙江台州·中考断题回归。题型以填空、解答为主，分值3-8分，核心

考点01多边形与2023·浙江湖州·中考考查平行四边形的判定与性质，常由三角形中位线或角

平行四边形2023·浙江嘉兴·中考平分线构造平行四边形；地市卷命题将平行四边形证明

2022·浙江嘉兴·中考与尺规作菱形结合，以三角形剪拼为背景考查中位线、

2022·浙江丽水·中考平行四边形与矩形，结合解直角三角形求线段长等。整

2022·浙江温州·中考体难度基础偏中档，预计未来省统考仍将以中位线构造

平行四边形及平行四边形性质应用为主要形态。

2024·浙江·中考

近5年共选取12道真题，其中2024年省统考2道，2025

2024·浙江·中考

年、2026年未单独设题。题型以选择和填空为主，分值

2023·浙江杭州·中考

3-8分，核心考查矩形、菱形、正方形的性质与判定，

2023·浙江嘉兴·中考

尤以菱形与折叠、对称、内嵌小图形、角平分线的组合

2023·浙江嘉兴·中考

最为典型；2024年省统考分别以"x、y变化中xy不变"

考点02矩形、菱形、2023·浙江湖州·中考

的代数判断和菱形对称折叠的面积比呈现，体现从定性

正方形

2023·浙江金华·中考

向定量的转变；2022年绍兴卷以"存在无数个平行四边

2022·浙江台州·中考

形/矩形/菱形/正方形"形式考查图形存在性。整体难度

2022·浙江温州·中考

中档偏上，预计未来省统考将继续突出菱形、矩形中的

2022·浙江绍兴·中考

折叠、对称、面积与变量关系，需重视性质与判定的灵

2022·浙江丽水·中考

活转换。

2022·浙江嘉兴·中考

2023·浙江宁波·中考近5年共选取4道真题，均为解答题性质、分值8-12

2023·浙江温州·中考分、位于试卷后段，集中在2022-2023地市卷，

考点03四边形综合

2023·浙江衢州·中考2024-2026省统考阶段的纯四边形综合题归入专题15，

应用

2022·浙江衢州·中考本考点保留地市卷题目。命题以矩形、菱形为载体，综

合考查矩形对称中心、轴对称折叠、动点、面积关系以

1/65

1及相似、三角函数的结合，设问层层递进，含定量探究

与定值证明，整体难度高、区分度强。预计省统考此类

综合性四边形多归"几何综合与压轴"，本考点更倾向于

具有一定区分度的四边形综合题。

考点01多边形与平行四边形

1．（2026·浙江·中考真题）下列命题为假命题的是（）

䔈൓

A．四边形内角和等于

B．平行四边形对角线互相平分

C．有一组邻边相等的矩形是正方形

D．四个角相等的四边形是菱形

【答案】D

䔈൓

【详解】选项A，任意四边形的内角和均为，该命题为真命题，不符合题意；

选项B，平行四边形的对角线互相平分是平行四边形的基本性质，该命题为真命题，不符合题意；

选项C，矩形的四个角均为直角，若矩形有一组邻边相等，则满足正方形的判定条件，该命题为真命

题，不符合题意；

选项D，四边形内角和为䔈൓，若四个角相等，则每个角的度数为䔈൓th൓，四个角均为直角

的四边形是矩形，不一定是菱形，该命题为假命题，符合题意。

2．（2023·浙江台州·中考真题）如图，四边形形m中，m∥形，t，形m为对角线．

(1)证明：四边形形m是平行四边形．

(2)已知m形，请用无刻度的直尺和圆规作菱形形圆m作，顶点E，F分别在边形，m上（保留作图痕

迹，不要求写作法）．

【答案】(1)

2/65

1证明：∵m∥形，

∴m形t形m，

∵t，

∴⸳൓m形t⸳൓形m，

形mtm形

即．

∴形∥m．

∴四边形形m是平行四边形．

(2)

如图，

四边形形圆m作就是所求作的菱形．

【分析】（1）先证明m形t形m，再证明⸳൓m形t⸳൓形m，即形mt

m形

，从而可得结论；

（2）作对角线形m的垂直平分线交m于作，交形于圆，从而可得菱形形圆m作．

【详解】（1）略

（2）略

3．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知ᦙ形，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分

别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于m长为半径作圆弧，两条圆弧交于ᦙ形内一点P，连

接ᦙ，过点P作直线圆∥ᦙ，交OB于点E，过点P作直线作∥ᦙ形，交ᦙ于点F．若ᦙ形t䔈൓，ᦙt䔈cm，

作ᦙ圆

则四边形的面积是（）

A．cmB．䔈cmC．cmD．cm

【答案】B

3/65

1【分析】过P作ᦙ形于M，再判定四边形作ᦙ圆为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最

后求出面积．

【详解】解：过P作ᦙ形于M，

由作图得：ᦙ平分ᦙ形，

∴ᦙ形tᦙtᦙ形t൓，

∴tᦙtcm，

∴ᦙtᦙt，

∵圆∥ᦙ，作∥ᦙ形，

∴四边形作ᦙ圆为平行四边形，圆ᦙtᦙt൓，

∴ᦙ圆tᦙ圆，

∴ᦙ圆t圆，

ᦙ圆t圆t

设，

在Rt圆中，圆t圆，

即：t，

解得：t，

∴tᦙ圆tt䔈cm．

四边形

ᦙ圆作

故选：B．

4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，

并进行猜想和证明．

形m圆m圆作m圆作

(1)用三角板分别取的中点，连接，画于点；

4/65

1(2)用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；

(3)请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．

【答案】(1)

如图所示：

(2)

方法一：四边形形䗃为所求作的四边形

m形䗃

方法二：四边形是所求的四边形．

方法三：四边形形圆是所求的四边形．

(3)答案不唯一，

方法一（图1），

5/65

1∵m形形m圆t⸳൓m圆䗃圆t⸳൓，

∴点m圆䗃在同一直线上，

∵点m圆分别是形的中点，

∴m圆为形的中位线，

m圆∥形形tm圆

∴且．

∵m圆䗃tm圆，

∴䗃tmm圆圆䗃t形且䗃∥形，

∴四边形形䗃为平行四边形．

∵作m圆，th൓，

形䗃

∴平行四边形为矩形．

方法二（图2），

∵m圆圆t⸳൓圆䗃t⸳൓，

m圆䗃

∴点在同一直线上．

∵点m圆分别是形的中点，

∴m圆为形的中位线，

∴m圆∥形且形tm圆．

∵圆䗃tm圆，

m䗃t形m䗃∥形

∴且，

∴四边形m形䗃为平行四边形．

方法三（图3），

6/65

1∵䗃形形䗃mt⸳൓䗃m形形m圆t⸳൓，

∴点䗃m圆在同一直线上．

m圆形

∵点分别是的中点，

∴m圆为形的中位线，

∴m圆∥形且形tm圆．

∵mtm圆，

∴圆t形且圆∥形，

形圆

∴四边形为平行四边形．

【分析】（1）根据题意画出图形即可；

（2）方法一：将m作绕点D逆时针旋转⸳൓到m形，将圆作绕E点顺时针旋转⸳൓到圆䗃

即可得出四边形形䗃；

方法二：将圆作绕E点顺时针旋转⸳൓到圆，将m作绕点D逆时针旋转⸳൓后再沿形向右

䗃m形䗃

平移到，即可得出四边形；

方法三：将m作绕点D逆时针旋转⸳൓到m形䗃，将圆作绕E点顺时针旋转⸳൓后沿形向左平

移到形䗃，即可得出四边形形圆；

（3）方法一：先证明点m圆䗃在同一直线上，根据m圆为形的中位线，得出m圆∥形且

形tm圆．证明䗃tmm圆圆䗃t形且䗃∥形，得出四边形形䗃为平行四边形，根据th൓，

形䗃

得出平行四边形为矩形．

方法二：证明点m圆䗃在同一直线上，根据m圆为形的中位线，得出m圆∥形且形tm圆，证

明圆䗃tm圆，得出m䗃t形且m䗃∥形，证明四边形m形䗃为平行四边形．

方法三：证明点䗃m圆在同一直线上，根据m圆为形的中位线，得出m圆∥形且形tm圆，证

明圆t形且圆∥形，得出四边形形圆为平行四边形．

【详解】（1）解：略．

（2）解：略．

7/65

1（3）解：略．

5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在形中，形tt⸳，点E，F，G分别在边形，形，上，

圆作∥，作∥形，则四边形圆作的周长是（）

A．32B．24C．16D．8

【答案】C

【分析】根据圆作∥，作∥形，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由圆作∥，

圆作

可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形的周长是2（AE+EF），

即可求解．

【详解】解∶∵圆作∥，作∥形，

∴四边形AEFG是平行四边形，

∴FG=AE，AG=EF，

圆作∥

∵，

∴∠BFE=∠C，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠B=∠BFE，

∴BE=EF，

∴四边形圆作的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．

故选：C

6．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，在形中，D，E，F分别是形，，形的中点．若形t䔈，形t⸳，

形m圆作

则四边形的周长是（）

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1A．28B．14C．10D．7

【答案】B

【分析】首先根据D，E，F分别是形，，形的中点，可判定四边形形m圆作是平行四边形，再根据

三角形中位线定理，即可求得四边形形m圆作的周长．

【详解】解：D，E，F分别是形，，形的中点，

圆作、圆m分别是形的中位线，

圆作∥形，圆m∥形且圆作t形t⸳t，圆mt形t䔈t，

四边形形m圆作是平行四边形，

形mt圆作t，形作t圆mt，

形m圆作

四边形的周长为：

形作形m圆m圆作tt，

故选：B．

7．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在形中，m形于点D，E，F分别是形的中点，O是m作

的中点，圆ᦙ的延长线交线段形m于点G，连结m圆，圆作，作．

(1)求证：四边形m圆作是平行四边形．

⸴

(2)当mt⸴，tan圆mt时，求作的长．

【答案】(1)见解析

h

(2)

形圆作∥形作圆ᦙtmᦙ

【分析】（1）根据E，F分别是，的中点，得出，根据平行线的性质，得出，

9/65

1圆作ᦙtmᦙ，结合O是m作的中点，利用“AAS”得出圆作ᦙmᦙ，得出圆作tm，即可证明m圆作

是平行四边形；

⸴m⸴

（2）根据m形，E是中点，得出m圆tt圆，即可得出tanttan圆mt，即t，

m

根据mt⸴，得出CD=2，根据勾股定理得出AC的长，即可得出DE，根据平行四边形的性，得出作tm圆t

h

．

形

【详解】（1）解：（1）∵E，F分别是，的中点，

∴圆作∥形，

∴作圆ᦙtmᦙ，圆作ᦙtmᦙ，

∵O是m作的中点，

∴作ᦙtmᦙ，

AAS

∴圆作ᦙmᦙ，

∴圆作tm，

∴四边形m圆作是平行四边形．

（2）∵m形，E是中点，

∴m圆tt圆，

∴圆mt，

⸴

∴tanttan圆mt，

m⸴

∴t，

m

∵mt⸴，

mt

∴，

h

∴m圆ttmmt⸴t．

∵四边形DEFG为平行四边形，

h

∴作tm圆t．

考点02矩形、菱形、正方形

1．（2024·浙江·中考真题）如图，在形m中，，形m相交于点O，t形mt．过点A作圆形

的垂线交形于点E，记形圆长为x，形长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

10/65

1

ㄸㄸㄸㄸ

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作m作形

交形的延长线于点F，证明形圆m作AAS，得到圆tm作形圆t作t，由勾股定理可得，圆t

ㄸ，m作tㄸ，则ㄸtㄸ，整理后即可得到答案．

m作形形

【详解】解：过点D作交的延长线于点F，

圆形形

∵的垂线交于点E，

∴圆形tm作th൓，

∵四边形形m是平行四边形，

∴形tm形∥m，

∴形圆tm作，

形圆m作AAS

∴

∴圆tm作形圆t作t，

由勾股定理可得，圆t圆t形形圆tㄸ，

m作t形m形作t形m形作t形m形形圆tㄸ，

∴ㄸtㄸ，

ㄸㄸt⸳

∴

∴ㄸㄸㄸㄸt⸳

即ㄸt⸳，解得ㄸt，

∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是ㄸ，

故选：C

11/65

1⸴

2．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形形m中，对角线，形m相交于点O，t．线段形与形

形m

关于过点O的直线l对称，点B的对应点形在线段ᦙ上，形交m于点E，则形圆与四边形ᦙ形圆m的

面积比为__________

答 

【答案】/

【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握

以上知识点．

t൓形mt䔈

设，，首先根据菱形的性质得到ᦙtᦙtt⸴，ᦙ形tᦙmt形mt，连

接m，ᦙ圆，直线l交形于点F，交m于点G，得到点，D，O三点共线，mtᦙᦙmt，形tᦙ

形

圆形

ᦙ形t，ttt，然后证明出圆m圆形AAS，得到圆t圆，然后证明出ᦙm圆

ᦙ形

ᦙ圆形

ᦙ形圆SSS，得到t，进而求解即可．

ᦙm圆

ᦙ形圆

⸴

【详解】∵四边形形m是菱形，t

形m

∴设t൓，形mt䔈

∴ᦙtᦙtt⸴，ᦙ形tᦙmt形mt

如图所示，连接m，ᦙ圆，直线l交形于点F，交m于点G，

∵线段形与形关于过点O的直线l对称，点B的对应点形在线段ᦙ上，

∴形ᦙ作tᦙ作t形ᦙ形t⸴，ᦙtᦙt⸴，ᦙ形tᦙ形t

ᦙtmᦙt⸴

∴

12/65

1

∴点，D，O三点共线

∴mtᦙᦙmt，形tᦙᦙ形t

形

圆形

∴ttt

ᦙ形

ᦙ圆形

∴mt形

∵m∥形

∴mᦙt形ᦙ

由对称可得，形ᦙt形ᦙ

∴形ᦙtmᦙ

∴m圆t形圆

又∵圆mt圆形

∴圆m圆形AAS

∴圆t圆

∵形t形tm

∴m圆t形圆

又∵ᦙmtᦙ形，ᦙ圆tᦙ形

∴ᦙm圆ᦙ形圆SSS

∴t

ᦙm圆

ᦙ形圆

圆形圆形

∴tttt．

䔈

ᦙm圆

四边形ᦙ形圆mᦙ圆形

故答案为：．

形

3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，矩形形m的对角线形m相交于点ᦙ．若ᦙ形t䔈൓，则t

形

（）

A．B．C．D．

【答案】D

形mᦙtᦙ形

【分析】根据矩形性质得出ᦙtᦙt，ᦙ形tᦙmt，t形m，推出则有等边三

13/65

1角形ᦙ形，即形ᦙt䔈൓，然后解直角三角形解答．

【详解】解：∵四边形形m是矩形，

形m

∴ᦙtᦙt，ᦙ形tᦙmt，t形m，

∴ᦙtᦙ形，

∵ᦙ形t䔈൓，

∴ᦙ形是等边三角形，

∴形ᦙt䔈൓，

形th൓䔈൓t൓

∴，

形

∵tan形tttan൓t，故D正确．

形

故选：D．

4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形形m中，形t，m形t䔈൓，则的长为（）

A．B．1C．D．

【答案】D

【分析】连接形m与交于O．先证明形m是等边三角形，由形m，得到ᦙ形t形mt൓，

ᦙ形th൓，即可得到ᦙ形t形t，利用勾股定理求出ᦙ的长度，即可求得的长度．

【详解】解：连接形m与交于O．

∵四边形形m是菱形，

形∥m形tm形m

∴，，，ᦙtᦙt，

14/65

1∵m形t䔈൓，且形tm，

∴形m是等边三角形，

∵形m，

∴ᦙ形t形mt൓，ᦙ形th൓，

∴ᦙ形t形t，

∴ᦙt形ᦙ形tt，

∴tᦙt，

故选：D．

5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，已知矩形纸片形m，其中形t，形t，现将纸片进行如下

操作：

第一步，如图①将纸片对折，使形与m重合，折痕为圆作，展开后如图②；

第二步，再将图②中的纸片沿对角线形m折叠，展开后如图③；

第三步，将图③中的纸片沿过点圆的直线折叠，使点落在对角线形m上的点处，如图④．则m的长

为（）

⸳⸴h

A．B．C．D．

⸴⸴

【答案】D

形

【分析】根据折叠的性质得出圆形t圆t圆，形m，等面积法求得，根据tan形mtt，

mm

即可求解．

【详解】解：如图所示，连接，

15/65

1∵折叠，

∴圆形t圆t圆

∴形在以圆为圆心，形为直径的圆上，

∴形th൓，

形m

∴

∵矩形形m，其中形t，形t，

∴形tmt

∴形mt形mt⸴，

形m

∴tt，

形m⸴

形

∵tan形mtt

mm

h

∴mt，

⸴

故选：D．

6．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好

形mRt形圆Rt

拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰

形作，③和④分别是Rtm和Rtm，⑤是正方形圆作，直角顶点E，F，G，H分别在边

形作，，m，圆上．

（1）若圆作tcm，圆作tcm，则形圆的长是______cm．

m⸴

（2）若t，则tanm的值是______．

【答案】43

【分析】（1）将圆和作用形圆表示出来，再代入圆作tcm，即可求出形圆的长；

mtmtanmttanmtmt⸴t

（2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，

，用x和k的式子表示出，再利用tanmttanm列方程，解出x，从而求出tanm的值．

16/65

1【详解】解：（1）∵Rt形圆和Rt形作都是等腰直角三角形，

∴圆t形圆，形作t作，

∵圆作tcm，

∴形圆形作tcm，

形圆形圆圆作tcm

即，

即形圆圆作tcm，

∵圆作tcm，

∴形圆tcm，

故答案为：4；

t

（2）设，

m⸴

∵t，

∴可设mt⸴，t，

圆作

∵四边形是正方形，

∴圆t圆作t作tt，

∵Rt形圆和Rt形作都是等腰直角三角形，

圆t形圆，形作t作，形圆t形作t⸴

∴，

∴t作作t形作t形圆⸳tt，

形t形圆形作t⸴⸴th൓

，

∵四边形形m对角互补，

∴mth൓，

∴mmth൓，

∵四边形圆作是正方形，

mtmth൓

∴，

∴mmth൓，

∴mtm，

∴tanmttanm，

m⸴

∴t，即t，

m⸴

整理得：⸴t൓，

解得t，t⸴（舍去），

17/65

1mh

∴tanmttt．

故答案为：3．

7．（2023·浙江金华·中考真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？

图1是搭成的“倍力桥”，纵

梁㌹夹住横梁，使得横

梁不能移动，结构稳固．

图是长为cm，宽为

cm的横梁侧面示意图，三

cm

个凹槽都是半径为的

半圆．圆心分别为

ᦙᦙᦙᦙt

ᦙ䗃ᦙtᦙtcm，纵

梁是底面半径为cm的圆

柱体．用相同规格的横梁、

纵梁搭“桥”，间隙忽略不

计．

探究：图是“桥”侧面示意图，形为横梁与地面的交点，圆为圆心，m是横梁侧面两边的交点．测

形tcm形cmm圆

得，点到的距离为．试判断四边形的形状，并求的值．

探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值；

②若有根横梁绕成的环（为偶数，且䔈），试用关于的代数式表示内部形成的多边形

的周长．

18/65

1䔈

【答案】探究1：四边形m圆是菱形，tcm；探究2：①t䔈䔈cm；②cm

䔈൓

tan

【分析】探究1：根据图形即可判断出m圆形状；根据等腰三角形性质可求出长度，利用勾股

定理即可求出长度，从而求出值．

探究2：①根据十二边形的特性可知䗃t൓，利用特殊角正切值求出长度，最后利用菱形的

性质求出圆的长度，从而求得值．②根据正多边形的特性可知䗃的度数，利用特殊角正切值求出

和䗃长度，最后利用菱形的性质求出圆的长度，从而求得值．

【详解】解：探究1：四边形m圆是菱形，理由如下：

m∥圆圆m∥

由图1可知，，，

m圆为平行四边形．

桥梁的规格是相同的，

∴桥梁的宽度相同，即四边形m圆每条边上的高相等，

∵m圆的面积等于边长乘这条边上的高，

m圆

每条边相等，

m圆为菱形．

②如图1，过点作形于点．

由题意，得t形t，形tcm．

∴t形t䔈．

在Rt中，t，

∴t䔈t൓൓t൓．

∴ttcm．

故答案为：tcm．

䗃䗃

探究2：①如图2，过点作于点．

19/65

1t൓t䗃t

由题意，得，

䗃t൓．

䗃

t䗃t䔈䗃ttt．

tan൓

m圆

又四边形是菱形，

∴圆tt䔈．

l

∴t䔈t䔈䔈cm．

故答案为：t䔈䔈cm．

②如图3，过点作䗃于点䗃．

由题意，形成的多边形为正边形，

䔈൓

外角t．

䗃

在Rt䗃中，䗃tt．

䔈൓

tan

tan

又t䗃，

䔈

∴t䗃t．

䔈൓

tan

䔈

形成的多边形的周长为cm．

䔈൓

tan

䔈

故答案为：cm．

䔈൓

tan

8．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC

上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为________；当点M

的位置变化时，DF长的最大值为________．

20/65

1【答案】䔈

【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质

可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.

【详解】解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，

∴AE=EB=AB=3，

在RtAEF中，∠A=60°，AE=3，

圆作

tan60°=，

形

∴EF=3；

当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，

由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，

∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，

过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形，

∴FM=DG，

在RtDGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，

∴DG=DCsin60°=3，

∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，

故答案为：3；6-3．

9．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在菱形形m中，形t形mt䔈൓．在其内部作形状、大小都

相同的菱形圆䗃和菱形作，使点E，F，G，H分别在边形形mm上，点M，N在对角线上．若

圆t形圆䗃

，则的长为___________．

21/65

1

【答案】/

【分析】根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得AC、AM和MN的长，然后即可计算出MN的长．

【详解】解：连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线于点J，如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=1，

∴AB=BC=CD=DA=1，∠BAC=30°，AC⊥BD，

∵△ABD是等边三角形，

∴OD=，

ᦙtmmᦙtt

∴AC=2AO=，

∵AE=3BE，

∴AE=，BE=，

∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，

∴BE=BF=，∠FBJ=60°，

∴FJ=BF•sin60°=t，

⸳

∴MI=FJ=，

⸳

22/65

1

⸳

∴ttt，

sin൓

同理可得，䗃t

∴MN=AC-AM-CN=t

故答案为：．

10．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在平行四边形形m中，mt形t，形t䔈൓，圆，作是

对角线形m上的动点，且形圆tm作，，䗃分别是边m，边形上的动点．下列四种说法：①存在无数个

圆䗃作圆䗃作圆䗃作圆䗃作

平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．其

中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．

【详解】

如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA=OC，OB=OD

∵BE=DF

∴OE=OF

∵点E、F时BD上的点，

∴只要M，N过点O，

那么四边形MENF就是平行四边形

∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；

只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，

23/65

1∵点E、F是BD上的动点，

∴存在无数个矩形MENF，故②正确；

只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；

∵点E、F是BD上的动点，

∴存在无数个菱形MENF，故③正确；

只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，

则四边形MENF是正方形，

而符合要求的正方形只有一个，故④错误；

故选：C

形m形作圆mm

11．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交

于点F，作∥m交圆于点G，若cos形t，则作的长是（）

⸳⸴⸴

A．3B．C．D．

【答案】B

【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，

利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=，即可得到FG的长；

【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，

由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，

∴BE=2，

又∵cos形t，

24/65

1∴BH=1，即H是BE的中点，

∴AB=AE=4，

又∵AF是∠DAE的角平分线，作∥m，

∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，

作∥m∥m作

又∵，，

∴PF=AD=4，

设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，

∵作∥形，

∴∠AGP=∠AEB=∠B，

∴cos∠AGP===，

⸳

解得x=；

故选B．

12．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，

AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

小惠：

证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，小洁：

∴AC垂直平分BD．这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才

∴AB＝AD，CB＝CD，能证明．

∴四边形ABCD是菱形．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

【答案】

赞成小洁的说法，补充ᦙtᦙ晦

ᦙtᦙ

证明：∵OB＝OD，

四边形形m是平行四边形，

25/65

1AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形．

【分析】先由OB＝OD，ᦙtᦙ证明四边形形m是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可

得结论．

【详解】略

考点03四边形综合应用

形形形m圆圆m

1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，

设圆m，形圆，m的面积分别为，若要求出的值，只需知道()

A．形圆的面积B．m的面积

形形m圆

C．的面积D．矩形的面积

【答案】C

【分析】过点作作∥形，交圆形的延长线于点作，m的延长线于点，易得：作t形作形圆

m，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得t，再根据t

形

矩形形m圆矩形形m圆

tt

，得到，即可得出结论．

形形

矩形形m圆

【详解】解：过点作作∥形，交圆形的延长线于点作，m的延长线于点，

∵矩形形m圆，

∴形形圆形m形圆tm，

26/65

1∴作形圆作m，

∴四边形形作为矩形，

∴作t形作形圆m，

∴t形圆作tm，

∴t形圆作t形圆形t，

矩形形m圆

又tt，

形形

矩形形m圆矩形形m圆

∴tt，

形形

矩形形m圆矩形形m圆

∴只需要知道形的面积即可求出的值；

故选C．

2．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形形m，点E在形延长线上，点F在形延长线上，

过点F作作圆作交圆m的延长线于点H，连结作交圆于点G，圆t．

(1)求证：形圆t作．

形⸴

tmt圆作

(2)当，时，求的长．

作䔈

【答案】(1)

证明：∵作圆作，圆t，

圆t作t

∴，

∴作圆t圆．

∵四边形形m是矩形，

∴形tm，形tm形th൓，

∴形作m圆AAS，

形作t圆

∴，

∴形作形t圆形，即形圆t作．

(2)圆作t䔈

【分析】（1）根据等边对等角得出作圆t圆，根据矩形的性质得出形tm，形tm形th൓，

27/65

1即可证明形作m圆AAS，根据全等三角形的性质得出形作t圆，进而即可求解；

（2）根据m∥作，得出m圆作圆，设形圆t作t，则形tmt，圆t，圆作t，

根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解．

【详解】（1）略

m∥作

（2）∵，

∴m圆作圆，

圆m

∴t．

圆作作

mt形

∵，

m形⸴

∴tt．

作作䔈

设形圆t作t，∵形tmt，

圆t圆作t

∴，，

⸴

∴t，

䔈

解得t，

圆作t䔈

∴．

ᦙ形m形tmt⸳圆m

3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边

上一点൓쳌圆쳌，连接圆ᦙ并延长，交形于点作，四边形形作圆与形作圆关于圆作所在直线成轴对称，

线段形作交m边于点．

圆t作

(1)求证：；

(2)当圆tm时，求圆的长；

28/65

1(3)令圆t，mt．

①求证：t；

②如图2，连接ᦙ形，ᦙm，分别交m，形作于点，.记四边形ᦙ的面积为，m的面积为.

当t时，求的值．

【答案】(1)证明：四边形形m为矩形，

m∥形，

圆作t圆作形，

四边形形作圆与形作圆关于圆作所在直线成轴对称，

形作圆t圆作，

圆作t圆作，

圆t作；

(2)䔈

ᦙᦙmᦙᦙmᦙ

(3)①证明：过点作于，连接，

点ᦙ为矩形形m的对称中心，

ᦙ圆tᦙ作ᦙtᦙm，ᦙt形t，

圆t作

，

ᦙ圆作，

ᦙth൓圆ᦙt圆ᦙ，

ᦙ圆tᦙth൓，

ᦙᦙ圆，

ᦙ

t，即圆tᦙt，

ᦙ圆

圆t圆t，tmmt，

t；

②t

⸳

29/65

1【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明圆作t作圆，即可解答；

（2）过点作形于，设mt，则圆t，求得圆t作t⸳，再利用勾股定理，

列方程即可解答；

ᦙ

（3）①过点ᦙ作ᦙm于，连接ᦙᦙmᦙ，证明ᦙᦙ圆，可得t，得到圆t，

ᦙ圆

即可解答；

②连接形mᦙᦙ形，证明mᦙ形ᦙ，进而证明m形，进而证明ᦙᦙ，可得

ᦙᦙ作ᦙᦙ作圆作

ᦙ

t，再证明ᦙ作m形圆作m形，得到t，再得到ttt，最后根据

mm

形m形m形m

①中结论，即可解答．

【详解】（1）略

（2）解：如图，过点作形于，

mt圆t

设设，则，

圆t⸳t作，

ttmth൓，

四边形m为矩形，

tmt，

ᦙ形m

点为矩形的对称中心，

圆t作t，

作t作t，

在Rt作中，作t作，

可得方程⸳t，

解得tt（此时圆m，故舍去0），

圆tt䔈；

（3）解：①略

②如图，连接形mᦙᦙ形，

30/65

1

由题意可得形作t形作,

点ᦙ为矩形形m的对称中心，

形作t形作t圆m，

同理可得ᦙmtᦙ形tᦙ形，

作t圆

由（1）知，

形作作tm圆圆，

即形tm，

ᦙtᦙ，

mᦙ形ᦙSSS，

ᦙmtᦙ形，

mt形mt形，

m形ASA，

mt形t，

ᦙmmtᦙ形形，

ᦙtᦙ

即，

ᦙtᦙ，

ᦙᦙSSS，

t，

ᦙᦙ

t，

ᦙ

ᦙ

t，

圆作tm形圆t作mt形，

圆作t作圆tm形t形m，

ᦙᦙ作

t，

m形m

ᦙ

ᦙ

t，

形m

ᦙᦙ作圆作

ttt，

m形m形m

圆作m形，

圆作圆

t，

形mm

当t时，由①可得t，

31/65

1⸳

解得t，

⸳

圆tmt，

圆tm圆mt，

圆作

圆

ttt．

形mm⸳

4．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任

意一点，连结m圆交形于点作，形平分形圆交m圆于点G．

(1)求证：m形th൓.

(2)若形mt䔈，mt圆．

形m

①求菱形的面积.

②求tan形m圆的值.

(3)若形圆t形，当m形的大小发生变化时（൓＜m形＜⸳൓），在圆上找一点，使为定值，说

明理由并求出圆的值．

【答案】(1)

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝DC，AB∥CD，

∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，

∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，

∵形平分形圆交m圆于点G，

∴∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，

32/65

1

∴∠CBD＋∠CBG＝（∠ABC＋∠CBE）＝×180°＝90°，

∴∠DBG＝90°；

(2)①24，②

h

൓

圆

(3)＝，

൓

如图3，过点G作GT∥BC交AE于点T，此时ET＝．

理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BG∥AC，

∴△BGE∽△AHE，

圆形圆

∴t，

形

∵AB＝BE＝5，

∴EG＝GH，

同理可得，△DOH∽△DBG，

mmᦙ

∴t，

形ᦙ

∵BO＝DO，

∴DH＝GH＝EG，

∵GT∥BC，

∴GT∥AD，

∴△EGT∽△EDA，

圆圆

∴ttt，

m圆m圆

∵AD＝AB＝5，

⸴

∴GT＝，为定值，

൓

此时ET＝AE＝（AB＋BE）＝．

【分析】（1）由菱形的性质可证得∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，由形平分形圆交m圆于点G，得到

33/65

1

∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，进一步即可得到答案；

（2）①连接AC交BD于点O,Rt△DOC中，OC＝mᦙmt⸴t，求得AC＝8，由菱形的

mmᦙ

面积公式可得答案；②由BG∥AC，得到tt，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝

m形m

m⸳⸳

DH＝HG，则t，再证明△CDH∽△AEH，CH＝AC＝，OH＝OC－CH＝4－＝，利用正切的定义得

圆

到答案；

（3）过点G作GT∥BC，交AE于点T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，则EG＝GH，再证△DOH∽△DBG，

圆⸴

得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得tt，GT＝，为定值，即可得到ET的值．

m圆

【详解】（1）略

（2）解：①如图1，连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，

∴OD＝BD＝3，AC⊥BD，

∴∠DOC＝90°，

在Rt△DOC中，OC＝mᦙmt⸴t，

∴AC＝2OC＝8，

∴t形mt⸳䔈t，

菱形形m

即菱形形m的面积是24．

②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵∠DBG＝90°

34/65

1∴BG⊥BD，

∴BG∥AC，

mmᦙ

∴tt，

m形m

∴DH＝HG，DG＝2DH，

∵DG＝2GE，

∴EG＝DH＝HG，

m

∴t，

圆

∵AB∥CD，

∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，

∴△CDH∽△AEH，

m

∴tt，

圆

⸳

∴CH＝AC＝，

⸳

∴OH＝OC－CH＝4－＝，

ᦙ

∴tan∠BDE＝t；

ᦙmh

（3）略

1．（2026·浙江丽水·一模）如图，正方形形m的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形圆作，其

中，分别为m，形的中点，则菱形的边长为（）

A．5B．6C．⸴D．⸴

【答案】C

【分析】作出如图的辅助线，得到m作，利用勾股定理求得t作t⸴，据此求解即可．

【详解】解：如图，

35/65

1m作

根据题意知，

mt