人教版高考数学必修二 题型突破 第25讲 平面的交线截面问题（解析版）

第25讲平面的交线截面问题【例1】如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D【分析】根据题意，取的中点，的中点，的中点，连接，可得过的截面图形.【详解】解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接，由正方体的性质可知，由中位线性质可知，所以，，所以，由点确定的平面即为截面，其为六边形．故选：D．【例2】在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（

）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】C【分析】找到截面与长方体的平面的交线，判断为五边形.【详解】如图所示，延长、，使，连接、，∵、、，∴、，∵、分别为棱、的中点，∴，∴，∵，又、、三点共线，∴、、三点共线，∴在截面上，延长、，使，连接，使，∴在截面上，连接、，∵，且∴，∴且=，又为中点，、、三点共线，∴、、三点共线，∴截面为五边形，故选：C．【例3】在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可.【详解】延长交于点，连接交于点，如图，在正方体中，面面，面面，面面，又四边形是梯形，且为平面截正方体的截面.又，在等腰梯形中，过作，.故选：C.【例4】已知正方体棱长为2，M，N，P分别是棱、、的中点，则平面截正方体所得的多边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面基本性质作出正方体中的截面图，再由正方体的特征判断截面的性质，即可求周长.【详解】过直线与射线分别交于，作射线交于，连接交于，如下图示：所以六边形即为面截正方体所得的多边形，又M，N，P分别是棱、、的中点，易知：均为中点，所以截面为正六边形，故周长为.故选：C【例5】（多选）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方形所得的截面记为S，则下列命题正确的是（）A．异面直线与所成角为B．当Q运动到某一点时，S可能是五边形C．当时，S为等腰梯形D．当CQ=1时，S为矩形【答案】ABC【分析】根据给定条件，结合正方体的结构特征，借助异面直线夹角、平面基本事实、面面平行的性质逐项分析判断作答.【详解】对于A，在正方体中，连接，如图，因，且，则四边形是平行四边形，有，则异面直线与所成角为或其补角，而，因此，所以异面直线与所成角为，A正确；对于B，当时，过点A，P，Q的平面与直线交于点M，连AM，因平面平面，则，而，且角与角方向相反，即有，因此，，于是得点M在棱中点与点之间（不含端点），平面平面，过点A，P，Q的平面与平面相交，交线必平行于直线AP，令此交线与直线交于点N，而，且角与角方向相反，则，，即有，则有N在棱上，连NQ，如图，截面S与正方体的5个面相交，即S是五边形，B正确；对于C，当时，即Q是中点，连，如图，则，因，且，则四边形是平行四边形，有，而，因此S为等腰梯形，C正确；对于D，当CQ=1时，Q与重合，，，，如图，则与不可能垂直，因此截面S不可能为矩形，D不正确.故选：ABC【例6】（多选题）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（

）A．l过点B．l不一定过点C．的延长线与的延长线的交点不在l上D．的延长线与的延长线的交点在l上【答案】BC【分析】连接，在正方体中可得四边形是平行四边形，由点共面得点共线可判断AB；的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点，由点共面得点共线可判断CD.【详解】连接，在正方体中，取的中点，连接，则，所以四边形是平行四边形，平面，平面，所以，故A正确，B错误；如图的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面，所以，故C错误，D正确.故选：BC.【例7】（多选题）棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、上，，，，且，过A、P、Q三点的平面截正方体得到截面多边形，则（

）A．时，截面一定为等腰梯形 B．时，截面一定为矩形且面积最大值为C．存在x，y使截面为六边形 D．存在x，y使与截面平行【答案】BD【分析】对A，举反例判断即可；对B，当时，点与点重合，再根据面面平行的性质与线面垂直的性质判断即可；对C，直观想象根据截面可能的情况判定即可；对D，根据线面平行与截面的性质举例当，时成立判定即可【详解】对A，时，截面为矩形，故A错；对B，当时，点与点重合，设过A、P、Q三点的平面交于，则因为平面平面，故，且，此时截面为矩形，当点与点重合时面积最大，此时截面积，B正确；对C，截面只能为四边形、五边形，故C错；对D，当，时，延长交延长线于，画出截面如图所示.此时因为，，故，则.由面面平行的截面性质可得，，故，此时，故且，故平行四边形，故，根据线面平行的判定可知与截面平行，故D正确．故选：BD【例8】如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为_____．【答案】##1.125【分析】先作出经过三点的截面，如图所示为梯形，然后求出截面的面积即可【详解】解：如图所示，取的中点P，连接、AQ和，∵分别是，的中点，∴，且，∵，∴，所以四边形是过三点的截面，且四边形是梯形，∵AB＝1，∴，，，且等腰梯形的高为，∴截面面积为，故答案为：【例9】如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是___________.（请写出所有正确命题的编号）①当时，S为等腰梯形；②当时，S与的交点满足；③当时，S为六边形；④当时，S的面积为.【答案】①②④【分析】①作出辅助线，找到S为四边形，证明出其为等腰梯形；②作出辅助线，找到S，利用各边长度与相似，求出；③在②的分析基础上，得到S为五边形；④作出辅助线，得到S为菱形，求出对角线，进而求出面积.【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下：如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点，所以∥，所以四边形为S，其中，所以S为等腰梯形，①正确；当时，S与的交点满足，理由如下：如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R，取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN，则，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形，所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形，所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE，所以四边形AEQP即为S，其中，所以，所以，②正确；当时，S为五边形，理由如下：如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动，则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G，EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误；当时，S的面积为，理由如下：如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ，其中，所以S为菱形APQG，且，S的面积为，④正确.故答案为：①②④【例10】已知正三棱柱的底面边长为3cm，高为3cm，M、N、P分别是、、的中点.(1)用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）；(2)在（1）中作出过M、N、P三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）.【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析.【分析】（1）利用斜二测法画出棱柱底面的直观图，再根据斜二测画图的原则确定三点，即可得直观图；（2）应用平面的基本性质画出截面即可.【详解】（1）①平面直角坐标系中作边长为3cm的等边三角形，原点为中点，如下图，②在线段上找到中点，过作与x轴成45°的轴，并在轴找点使，此时直观图底面确定；③过向上作与x轴垂直的射线，并在各射线上找一点使cm，连接，即得正三棱柱的直观图.（2）①过作直线分别交射线于，连接，分别交于，②连接，则截面即为所求.【例11】如图所示的正方体中，是棱上的一点，试说明、、三点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线.【答案】答案见解析【分析】延长、交于点，连接交于点，利用平面的性质可知面与平面的交线为.【详解】解：延长、交于点，连接交于点，则平面与平面的交线为，证明如下：因为，平面，则平面，，平面，平面，又因为为平面和平面的公共点，则平面与平面的交线为.【例12】如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点．(1)画出过点，，的平面与平面的交线；(2)设平面，求的长．【答案】(1)作图见解析(2)【分析】（1）通过平面，将延长后必与相交，设交点为，连接，即为过点，，的平面与平面的交线.（2）由可知，进而可通过勾股定理求得的长.（1）如下图所示，∵平面，与不平行，∴与必相交．设交点为，连接．∵平面，平面，∴过点，，的平面与平面的交线为.（2）∵，∴，∴．∴.【题型专练】1．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，则过B，D，E三点的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出正方体的截面图形，利用面积公式即可求解.【详解】取的中点，连接，即等腰梯形为截面，设的高为，由平面几何知识可得，所以截面面积为.故选：B2．如图，在正方体ABCD—中，，点E为AB中点，点F为BC中点，则过点A与，都平行的平面α被正方体ABCD—截得的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用平行关系，作出截面，再求截面面积.【详解】取中点G，中点H，则△AGH就是平面a被正方体ABCD—截得的截面，其中，，GH边上的高为，所以△AGH的面积.故选：D3．（多选题）正方体的棱长为4，动点P，Q分别在棱BC，上，将过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设BP=x，CQ=y，其中，下列命题正确的是（

）A．当x=y=2时，S的面积为9B．当x+y=4，时，S为等腰梯形C．当x=0时，S为矩形，其面积最大值为D．当y=4时，以为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值【答案】BCD【分析】由题意可知当，变化时，为不同的图形，故可根据题意逐一判断即可．【详解】对于A，当，时，为的中位线，，，，为等腰梯形，过作于，如图，,,,,,，故A不正确；对于B,当，时，，即，，，为等腰梯形，故B正确；对于C，当时，点与点重合，，如图，此时为矩形，当点与点重合时，的面积最大，，故C正确；对于D,当y=4时，以为顶点,为底面的棱锥为当时，以为定点，为底面的棱锥为，如图，，故D正确．故选：BCD4．如图，正方体的棱长为6，，点是的中点，则过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为_________．【答案】【分析】过作，连接，作出截面图形，根据面面平行的性质可得为平行四边形，然后利用平行四边形面积公式即可求解.【详解】如图，过点作，连接，由面面平行的性质可得：四边形为平行四边形，又因为正方体的棱长为6，，点是的中点，所以点，所以，因为平行四边形的高为，所以，故答案为：.5．正方体中，棱长为分别是、的中点，是底面的中心，过作截面，则所得截面的面积为___________.【答案】##【分析】连接，可证明，然后可得截面为梯形，然后求出其面积即可.【详解】连接，因为分别是、的中点，所以，因为，所以，因为是的中点，所以过作截面，所得截面为梯形，因为正方体的棱长为，所以，，，所以梯形的高为，其面积为，故答案为：6．如图，长方体中，AB=BC=4，，M是线段的中点，点N在线段上，MNBD，则长方体被平面AMN所截得的截面面积为___________.【答案】【分析】先判断出截面是五边形AEMNF，再求出相关边长，通过计算面积即可.【详解】如图，M是线段的中点，点N在线段上，MNBD，所以N为的中点.延长交直线MN于点P，连接AP交于点E；延长交直线MN于点Q，连接AQ交于点F.则PM=MN，NQ=MN.于是易得E､F分别为､的三等分点，因此截面为五边形AEMNF，，，，，过作于，交于，由，可得，故.故答案为：.7．如图，在正方体中，是棱上一点，且．(1)试画出过三点的平面截正方体所得截面；(2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线．【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析；为面与面的交线【分析】（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，即可得到截面；（2）根据两平面有公共点，可知两面相交；延长，设它们交于点，可证得在两面交线上，由此可知交线为.（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，则平面就是过三点的平面截正方体所得截面．（2）平面，平面，平面平面，即平面与平面相交．延长，设它们交于点，直线，直线平面，平面．直线，直线平面，平面．为面与面的交线．8．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四边形是正方形．(1)指出棱与平面的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面截该四棱柱所得的截面补充完整；【答案】(1)E为的中点，答案见解析【分析】（1）E为的中点，取的中点E，连接DE，可得答案；（2）连接BD，作，垂足为F，由线面垂直的判断定理可得平面．利用可得答案．（1）E为的中点．作图如下：如图，取的中点E，连接DE，，平面即为该四棱柱所得的截面.9．（1）如图，在正方体中，试画出平面与平面的交线．（2）如图，直角梯形ABCD中，，，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．【答案】详见解析.【分析】（1）先记与的交点为，连接，即可得出交线；（2）延长和交于点，再连接，即得到交线.【详解】（1）记与的交点为，连接，则即为平面与平面的交线，如图：（2）延长和交于点，连接，即为平面和平面的交线，如图：10．P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法．【答案】答案见解析【分析】作截面图，就是要找到面与直四棱柱相关面的交线，画交线的关键就是找两个公共点，没有明显的公共点，首选延长那些同时在直四棱柱面上的线.【详解】作法：（1）连接QP，QR并延长，分别交CB，CD的延长线于E，F;（2）连接EF交AB于T，交AD于S;（3）连接RS，TP,则五边形PQRST即为所求截面．11．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，当时，S与的交点为R，则_______；当S为四边形时，的取值范围为_______________．【答案】

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【分析】设与的交点为，根据截面的性质可得，从而得到，再根据可得，从而求得；再根据截面的性质可得与平面的交线经过上求S为四边形时，的取值范围即可【详解】如图所示，设与的交点为，根据截面的性质可得，故，即，从而得到，故.再根据可得