人教版高考数学必修二 题型突破 第29讲 线面垂直证线线平行和垂直（解析版）

第29讲线面垂直证线线平行和垂直题型一：线面垂直的证线线平行【例1】在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（

）A． B． C．与l异面 D．与l相交【答案】B【分析】根据线面垂直的性质即可得出答案.【详解】解：因为平面，且平面，直线l与直线不重合，所以．故选：B.【例2】在空间中，下列说法正确的是（

）A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．垂直于同一直线的两条直线垂直C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【分析】根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D．【详解】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；根据线面垂直的性质可知：D正确；故选：D．【例3】圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面【答案】证明见解析【分析】连接，，，可证明四边形为平行四边形，得到，再通过线面平行的判定定理即可证明【详解】证明：连接，，，可得平面，∵平面，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面【例4】如图，已知多面体，平面平面，且，证明：平面.【答案】证明见解析.【分析】利用线面垂直的性质证得，进而得，再利用线面平行的判定推理作答.【详解】因为平面平面，则，又，即四边形为平行四边形，因此，而平面平面，所以平面.【题型专练】1．若、是空间中两条不同的直线，则的充分条件是（

）A．直线、都垂直于直线 B．直线、都垂直于平面C．直线、都与直线成角 D．直线、都与平面成角【答案】B【分析】根据线线平行、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，都与垂直，可能，A选项错误.B选项，都垂直于平面，则，B选项正确.C选项，都与成角，可能相交，C选项错误.D选项，都与平面成角，可能异面，D选项错误.故选：B2.（多选题）已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则【答案】BC【分析】利用面面垂直的性质判断选项A；利用线面垂直的性质判断选项B；利用线面平行的性质判断选项C；利用线面垂直判定定理判断选项D.【详解】选项A：若，，，则或相交或互为异面直线.判断错误；选项B：若，，则.判断正确；选项C：设平面，，又，则设平面，，又，则，则，又，，则，又，，则，则.判断正确；选项D：若，，，则的位置关系为相交，当且仅当时.判断错误.故选：BC3．在梯形ABCD中，，，，，BD与AE交于点G.如图所示沿梯形的两条高AE，BF所在直线翻折，使得.(1)求证：；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得到平面，同理平面，即可得到，从而得到四边形为平行四边形，再证为平行四边形，即可得证；（2）依题意可得，再根据计算可得；(1)证明：，且，平面，平面，同理平面，；又，∴四边形为平行四边形，则有且；又且，且∴四边形为平行四边形..(2)解：在梯形中，，且，，则有，又，.4.已知空间几何体中，，是全等的正三角形，平面平面，平面平面.(1)若，求证：；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由勾股定理逆定理得线线垂直，由面面垂直得线面垂直，再得线线垂直；（2）分别取，中点，，由面面垂直得线面垂直，再得线线平行，证得平行四边形为平行四边形后可得证结论．(1)因为、是全等的正三角形，所以，又因为，所以，故，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以；(2)分别取，中点，，连接，，，因为是等边三角形，所以，，因为平面平面，平面，所以平面，同理平面，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以．题型二：线面垂直的证线线垂直【例1】如图，在三棱柱中，，．(1)记平面与平面的交线为l，求证：平面；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）由棱柱的性质得，从而平面，推导出，由此能证明平面；（2）连接，利用菱形的对角线相互垂直和已知条件得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到平面，进而利用线面垂直的性质证明.【详解】（1）由棱柱的性质得，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面与平面的交线为，所以，因为平面，平面，∴平面.（2）连接，由棱柱的性质和，得四边形为菱形，所以，因为且，所以，又因为平面，平面，且，所以平面，又因为平面，所以.【例2】如图，四棱锥中，，平面平面．(1)求证：；(2)设，点N在棱上，，求多面体的体积．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）利用线线垂直的判定定理证明即可（2）过作的延长线交于点，连接，在过作交于点，结合（1）的结论，找出四面体的高和相应底面图形的面积，代入公式计算即可【详解】（1）因为所以为等腰三角形，为的中点所以,由平面平面，且平面平面=又平面所以平面所以.（2）因为所以由，所以平面所以,因为所以过作的延长线交于点，连接，在过作交于点，如图所示，则由平面，平面所以且所以平面，所以为四面体的高又由，所以四边形为正方形，四边形为矩形，所以,，所以在直角中，所以在中，，所以在中，由所以将，代入计算得：所以在直角中，所以即多面体的体积为.【例3】在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．(1)证明：A，B，C，D四点共面，且；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）利用反证法，假设四点不共面，进而证明假设不成立；再通过证明平面，可通过线面垂直证明得到线线垂直.【详解】（1）证明：平面，且平面，平面，，，，又，平面，假设四点不共面，平面，平面，平面平面，与平面平面矛盾，故四点共面；又因为，所以为二面角的平面角，，即，又，且，平面，又平面，【例4】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点．(1)求证：；(2)设是的中点，求证：平面．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析【分析】（1）由题意可得AE⊥BC，根据BC∥AD，推断出AE⊥AD，又PA⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面PAE，最后利用线面垂直的性质可得AD⊥PE；（2）取AD的中点G，易得FG∥PA，CG∥AE，即可证明平面CFG∥平面PAE，进而可得CF∥平面PAE．【详解】（1）因为底面为菱形，，且为的中点，所以．又，所以．又底面底面，所以．因为平面平面，所以平面，平面，所以．（2）取的中点，连接，是中点，，，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，又平面平面，平面平面，平面，平面．【例5】如图，三棱柱中，，，，点M，F分别为BC，的中点，点E为AM的中点．(1)证明：；(2)证明：平面；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质定理即可求解；（2）利用三角形的中位线定理及平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理即可求解；【详解】（1），点M为BC的中点同理，,平面,平面,平面

（2）取BM中点为G，连接EG、,则，所以又，所以四边形为平行四边形，所以而在平面内，EF在平面外，故平面，【例6】如图，在长方形中，，，M为DC的中点.将沿AM折起得到四棱锥，且.(1)证明：；(2)若E是线段DB上的动点，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1：2，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)3：4【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面BDM后可得线线垂直；（2）先证明平面，得平面平面，取AM中点N，连接DN，证明平面，可计算出四棱锥的体积，设，则E到平面ADM的距离为，计算出三棱锥的体积，再由已知比值求得．【详解】（1）∵，，，满足，∴，∵，，平面BDM，∴平面BDM，∵平面BDM，∴.（2），，，由（1）得，∵，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，取AM中点N，连接DN，∵，∴，平面平面，∴平面，∴，设，则E到平面ADM的距离为，∴，∵，∴，解得，∴当时，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1：2.【例7】如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为．(1)求四棱锥的体积；(2)证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）过点作底面的垂线，根据二面角求得，再结合棱锥的体积公式即可求得结果；（2）利用三角形相似证明垂直于在底面的投影，再利用线面垂直，即可证明线线垂直.【详解】（1）取的中点为，连接，过点作底面的垂直，垂足为，连接，如下所示：因为三角形为边长的等边三角形，故可得，且；又面面，故，又面，，故面，又面，故；又面面面，则即为与底面所成二面角的平面角，即，故，则四棱锥.（2）连接，延长交于点，如下所示：因为，，，，则，故△，，故，，即，又面面，故；面，故面，又面，故.【题型专练】1．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明平面后可得证线线垂直；（2）由棱锥体积公式计算．【详解】（1）∵底面，平面，∴，又∵底面为正方形，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴；（2）∵平面，∴是三棱锥的高，．2．如图，在四棱锥中，为正三角形，，且，M为PC的中点，(1)平面平面，求证：.(2)求证：平面PAD．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直的判定定理与性质定理证明；（2）由线面平行的判定定理证明，【详解】（1）证明：延长AB，CD交于E，连PE.已知面，面，又，面且面∴面面，∴直线PE即为直线∴要证，即证取AD中点O，由已知与均为正三角形，，，，面PEO，面PEO，面PEO，面PEO，，.（2）证明：延长交于，连，设，由已知，，，由余弦定理知，，，且，，，，且面，面，面.3．如图，四面体中，，，，E为AC的中点，且平面平面，若，．(1)证明：；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合线面垂直的判定定理，得到平面，最后即可证明；【详解】（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以，.4．如图，是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且，点D是的中点，与交于点E，点F为的中点，且.(1)求证：；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面，即可得到；（2）利用几何关系判断出，再求出即可.（1）因为点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，所以平面.又因为平面，所以.因为是圆O的直径，所以.又平面，平面，所以平面.又平面，所以.（2）在中，点D是的中点，点O是的中点，与交于点E，所以E为的重心，则.因为点F为的中点，所以，所以，所以，即.在中，，由勾股定理可得：,解得：，所以，则，所以.所以.5．如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体和.(1)求证：；(2)若，求四面体的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接与相交于点，证得为的中点，连接，，利用线面垂直的判定定理证得平面，即可得到；（2）过点分别作，得到分别为和的中心，分别求得的长度，结合平面，及，即可求解.【详解】（1）证明：因为与共面，所以连接与相交于点，因为和是相同的正四面体，所以四边形为菱形，则为的中点，连接，，因为，，所以，又因为，面，所以平面，所以；（2）在四边形中，过点分别作，垂足分别为，如图所示，可得分别为等边和等边的中心，因为，在等边中，可得，则，，在直角中，可得，同理可得，所以，由（1）知，平面，可得平面，所以.6．如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点D是的中点．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知得，，从而平面，而又平面，故；（2）由（1）知，平面，然后利用等体积法求三棱锥的体积．（1）∵平面，平面，∴又，，，∴，∴又，平面，平面∴平面又平面，∴．（2）由（1）知平面，∴点A到平面的距离为又D是的中点，∴点D到平面的距离为∵∴．7．如图，在四棱锥中，平面底面，，，，．(1)证明：；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理，证明，根据平面平面，平面平面，即可证明平面，进而可证明（1）证明：在四边形中，因为，，，，由余弦定理得，，解得，所以，即，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以．8．在三棱锥中，，，、分别是棱、的中点.(1)证明：；(2)线段上是否存在点，使得平面?若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，当上的点满足.【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的判定、性质推理作答.（2）上的点满足，连CE，借助三角形重心定理，利用线面平行的判定推理作答.【详解】（1）取的中点，连接，，如图，因，，则，，而平面，平面，，于是得平面，又平面，所以.（2）当上的点满足时，平面连接交于，连接，、分别是、的中点，则是△的重心，有，即有，因此，而平面，平面，所以平面．9．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．(1)证明：；(2)若，，，求三棱柱的高；(3)在（2）的条件下，求三棱柱的表面积．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】(1)要证,即证平面,由菱形的对角线垂直和线面垂直的性质即可得证.(2)要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先