离散基础及数学 4

1离散数学第二章谓词逻辑本章内容谓词、个体、量词谓词逻辑的合式公式自由变元和约束变元谓词逻辑的翻译与解释谓词逻辑的等价式与永真蕴含式谓词逻辑中的推论理论谓词逻辑中的范式应用与扩展22.1基本概念和表示在命题逻辑中，试进行下列推理:“苏格拉底三段论”：凡人都是要死的，P苏格拉底是人，Q所以苏格拉底是要死的。R(PΛQ)→R命题逻辑中，命题被当作一个基本的，不可分割的单位，只研究由原子命题和联接词所组成的复合命题，没有研究命题内部的内部结构以及命题之间的内在关系。3类似的还有很多，例如：所有的人都要呼吸，李华是人，所以李华要呼吸。所有的正整数都大于0，3是正整数，所以3大于0。本章介绍的谓词逻辑，对原子命题的成份、结构和原子命题间的共同特性等作了进一步分析。引入了个体词、谓词、量词、谓词公式等概念，在此基础上研究谓词公式间的等值关系和蕴含关系，并且对命题逻辑中的推理规则进行扩充和进行谓词演绎。42.1.1个体、谓词和谓词形式原子命题被分解为谓词和个体两部分。个体：可以独立存在的事物。老师，计算机，证书，道德，智商等。谓词：用来刻划个体的性质或个体之间关系的词称为谓词，刻划一个个体性质的词称为一元谓词；刻划n个个体之间关系的词称为n元谓词。

本质上是把数学中的逻辑论证加以符号化。5谓词和个体例：（1）李明是学生；（2）张亮比陈华高；（3）陈华坐在张亮与李明之间。个体：李明，张亮，陈华谓词：…是学生；…比…高；…坐在…和…之间一元谓词：…是学生二元谓词：…比…高三元谓词：…坐在…和…之间6谓词和个体（1）李明是学生；（2）张亮比陈华高；（3）陈华坐在张亮与李明之间。一般用大写的英文字母表示谓词，而用小写的英文字母表示个体。上述命题可分别表示为Q(a),P(b,c),R(c,b,a)一般地，由n个个体和n元谓词所组成的命题可表示为F（a1,a2,…,an）,其中F表示n元谓词,a1,a2,…,an

分别表示n个个体。注意：a1,a2,…,an的排列次序是重要的。

7谓词和个体对于F（a1,a2,…,an），如果括号内的个体是抽象的可变化的，那么F（a1,a2,…,an）称为n元原子谓词公式或n元命题函数。注意：命题的n元谓词表示形式和n元命题函数不同?a:张明。命题函数：P(x)x是学生。谓词表示形式:P(a)张明是学生。8个体域个体域可以是有限的，也可以是无限的。所有个体域的总和叫作全总个体域。以某个个体域为变化范围的变元叫个体变元。个体域的变换范围影响到谓词公式的真假R(x)：x是大连理工大学软件学院的学生．如果x的讨论范围是大工软件学院某个班级的学生如果x的讨论范围是某个幼儿园里的小朋友如果x的讨论范围是大连的所有市民任何个体的变化都有一个范围，这个变化范围称为个体域(或论域)。永真永假可满足9谓词的阶在谓词中，如果个体变元是一些简单的事物，那么P为一阶谓词；若个体变元中有一些是一阶谓词，那么P为二阶谓词；二阶以上递推。本门课程仅研究一阶谓词102.1.2量词使用前面介绍的谓词和个体变元，还不足以描述自然界的所有命题。例：描述命题“所有的正整数都大于0”以及命题“有些正整数是素数”。量词的引入：量词指在命题里表示数量的词。11全称量词符号“”表示命题：“对于个体域中所有个体x，谓词P(x)均为T”。其中“”叫作全称量词，读作“对于所有的x”。谓词P(x)称为全称量词的辖域或作用范围。例如：

所有的人都是要死的令D(x)：x是要死的。 则命题可表示为xD(x)

取个体域为全体人的集合，是真命题。所有的正整数都是素数； 令P(x)：x

是素数 则命题可表示成xP(x)

取个体域为正整数集，是假命题。12存在量词符号“”表示命题：“在个体域中存在某些个体使谓词P(x)为T”其中“”叫作存在量词，读作“存在x”。谓词P(x)称为存在量词的辖域或作用范围。例如：

有些正整数是素数； 令P(x)：x

是素数 则命题可表示成xP(x)

取个体域为正整数集，是真命题。13量词量词本身不是一个独立的逻辑概念，可以用联结词取代。设个体域，谓词可以表示成以下形式：由量词确定的命题真值与个体域有关。令P(x)：x

是素数则xP(x)，如果取个体域为素数集，为真；如果个体域为整数集，为假。14量词为了方便起见，个体域一律用全总个体域，每个个体变元的真正变化范围则用一个特性谓词来刻划。注意：对于全称量词应使用单条件逻辑联结词；对于存在量词应使用逻辑联结词合取。R(x):x是自然数；P(x):x大于0.以后不加强调个体域均指全总个体域15量词全称量词和存在量词不仅可以单独出现，还可以组合形式出现。对于二元谓词P(x,y)，可能有以下几种量化的可能：16组合量词的含义设A(x,y)表示x,y同姓，x的个体域是1班同学，y的个体域是2班同学。：1班任何一个同学与2班的所有同学同姓；：2班任何一个同学与1班的所有同学同姓；：对1班的任意一个同学，2班都有人跟他同姓；：存在一个2班同学和1班的所有同学同姓。翻译时从左向右172.1.3谓词逻辑的合式公式若P为不能再分解的n元谓词变元，x1,x2,…xn是个体变元，则称P(x1,x2,…xn)为原子公式或原子谓词公式。当n=0时，P表示命题变元即原子命题公式。所以，命题逻辑实际上是谓词逻辑的特例。由原子谓词公式出发，通过命题联结词，可以组成复合谓词公式，叫分子谓词公式。18合式谓词公式定义：（1）原子谓词公式是合式的公式；（2）若A是合式的公式，则¬A也是合式的公式；（3）若A和B都是合式的公式，则A∧B,A∨B,A→B,A

B

也都是合式的公式；（4）如果A是合式的公式，x是任意变元，且A中无或出现，则和都是合式的公式；（5）当且仅当有限次使用规则（1）～（4）由逻辑联结词、圆括号构成的有意义的字符串是合式的公式。192.1.4自由变元和约束变元在谓词公式中，如果有形如或者，则称它们是x的约束部分。每个量词后面的最短公式，称为量词的辖域。约束变元：一个变元若出现在包含这个变元的量词(全称量词或存在量词)的辖域之内，则该变元称为约束变元，其出现称为约束出现。自由变元：变元的非约束出现叫作自由出现，该变元叫作自由变元。20自由变元和约束变元例：说明以下各式量词的辖域与变元的约束情况。21自由变元和约束变元从约束变元的概念可知，谓词P(x)的量化，就是从变元x的整个个体域着眼，对性质P(x)所作的一个全称判断或特称判断。其结果是将谓词变成一个命题。因此，和，可以看成消元运算。对n元谓词P(x1,x2,…xn)量化后，假设有k个自由变元，则降为k元谓词。二元谓词一元谓词22自由变元和约束变元一般情况下给定一个谓词公式A(x)，仅表明在该公式中只有一个自由变元，但并不限制在该公式中还存在若干约束变元。以下各式都可以写成A(x)：232.2谓词逻辑的翻译与解释谓词逻辑的翻译谓词公式的解释242.2.1谓词逻辑的翻译把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出来，称为谓词逻辑的翻译或符号化。主要步骤包括：（1）正确理解给定命题。（2）把每个原子命题分解成个体、谓词和量词。在全总论域中讨论时，要给出特性谓词。（3）找出适当量词。注意全称量词后跟条件式，存在量词后跟合取式。

（4）用适当的逻辑联结词把给定命题表示出来。

25谓词逻辑的翻译有一个大于10的偶数。P(x)：x>10；Q(x)：x是偶数。符号化为：每个学生都要锻炼身体。P(x)：x是学生；Q(x)：x锻炼身体。符号化为：不能符号化为：26谓词逻辑的翻译有的狮子不爱喝咖啡。P(x)：x是狮子；Q(x)：x爱喝咖啡。符号化为：不能符号化为：27谓词逻辑的翻译不管黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫。P(x)：x是黑猫。Q(x)：x是白猫。R(x)：x是抓住老鼠的猫。G(x)：x是好猫。符号化为：有些人对某些食物过敏。A(x)：x是人。B(x)：x是食物。C(x,y)：x对y过敏。符号化为：28谓词逻辑的翻译一切人不是一样高。P(x)：x是人。Q(x,y)：x与y一样高。R(x,y)：x与y是不一样。符号化为：不是一切人都一样高。符号化为：或：29谓词逻辑的翻译符号化：没有只爱江山不爱美人的英雄Hero(x)：x是英雄Love(x,y)：x爱y符号化为：或30谓词公式的翻译任何整数都是实数。P(x)：x是整数；Q(x)：x是实数。符号化为：没有不犯错误的人。P(x)：x是人；Q(x)：x犯错误。符号化为：或符号化为：312.2.2谓词公式的解释在命题逻辑中对一个公式的解释，是对每个命题变元进行取值指派，如果公式有n个变元，则有2n种解释。谓词公式的解释，涉及到命题变元、谓词变元、个体变元、符号函数……真值表法不可行32谓词公式的解释定义：设A的个体域是D，如果用一组谓词常量、命题常量和A中的个体及函数符号（将它们简记为I）代换公式A中相应的变元，则该公式A转化成一个命题，可以确定其真值（记作P）。称I为公式A在D中的解释（或指派），称P为公式A关于解释I的真值。永真永假可满足33谓词公式的解释给定两个谓词公式A和B，D是它们共同的个体域，若A→B在D中是永真式，则称遍及D有；若D是全总个体域，则称若且，则称。命题逻辑中的恒等式和永真蕴含式全部可以推广到谓词逻辑中342.3谓词逻辑的等价式和永真蕴含式量词转换律例：设P(x)：x今天来上课。软件工程系15级4-7班全体同学。：所有同学今天都来上课了。：不是所有人今天都来上课了。：今天有人没有来上课。：有人今天来上课了。：没有人今天来上课。：所有的人今天都没有来上课。35量词转换律

（其中A(x)是任意的公式）

证明设个体域,则36量词辖域扩张及收缩律证明：仅对第一个式子证明，其余类推。37量词分配律全称量词对Λ满足分配律，存在量词对∨满足分配律。证明：仅证明第一个式子。38量词分配律全称量词对∨，存在量词对Λ不满足分配律。例：个体域是人的集合。

A(x)：x是女人。B(x)：x是男人。为真；

为假。

为假. 为真。仅满足：为正确理解上面第二式。设A(x):x会用左手拿筷子吃饭B(x):x会用右手拿筷子吃饭39重要等价式和永真蕴含式40重要等价式和永真蕴含式41重要等价式和永真蕴含式42量词交换式43记忆规律442.4谓词逻辑中的推论理论推理规则推理实例452.4.1推理规则

规则1：约束变元的改名规则例：对公式进行换名，使各变元只呈一种形式出现。解：需要对约束变元x，y进行换名不对的：~~46规则2：自由变元的代入规则对公式中自由变元的更改叫做代入。规则如下：欲改变自由变元的名，必改在公式中的每一处自由出现。新变元不应在原公式中以任何约束形式出现。例：对公式的变元x,y的自由出现用w,t代入，得47例如

对公式

(x)(P(x)→Q(x))∨(x)(P(x)→R(x))为清楚起见，可对第二个约束变元x进行换名

(x)(P(x)→Q(x))∨(y)(P(y)→R(y))又例如

对公式

(x)(P(x)→R(x,y))∧Q(x,y)可对约束变元x进行换名，得

(z)(P(z)→R(z,y))∧Q(x,y)

(z)(P(z)→R(x,y))∧Q(x,y)(y)(P(y)→R(y,y))∧Q(x,y)错误：~~~~48规则3：命题变元的代换规则用任一谓词公式Ai代换永真公式Ｂ中某一命题变元Pi的所有出现，所得到的新公式B´仍然是永真式（但在Ai的个体变元中不应有Ｂ中的约束变元出现,并有。

49规则4：取代规则设都是含n个自由变元的谓词公式，且A´是A的子公式。若在A中用B´取代A´的一处或多处出现后所得的新公式是B，则有。如果A为永真式，则B也是永真式。50规则5：量词的增加和删除规则全称特指规则US：从可得出结论A(y)

，其中y是个体域中任一个体，即：注意：y不能和A(x)中其它指导变元重名。存在特指规则ES：从可得出结论A(a)

，其中a是和在此之前不曾出现过的个体常量，即：注意：a不能和指定前提中任一自由变元同名，也不能和使用本规则以前任一推导步骤上得到的公式的自由变元同名。51规则5：量词的增加和删除规则存在推广规则EG：从A(x)可得出结论，其中x是个体域中的某一个个体，即：注意：y不和A(x)中其他自由变元或指导变元同名。全称推广规则UG：从A(x)可得出结论，其中x是个体域中的任意个体，即：使用条件:(1)x不是给定前提中任一公式的自由变元；

(2)x不是在前面推导步骤中使用ES规则引入

的变元；

(3)若在前面推导过程中使用ES规则引入新变元u时，x是自由变元，那么在A(x)中，u应约束出现。522.4.2推理实例例1：证明：53推理实例例2：试证明证明：54推理实例例3：证明：55推理实例接上页56

例4

指出下面推理的错误.

设D(x,y)表示“x可被y整除”,个体域为{5,7,10,11}.因为D(5，5)和D(10,5)为真，所以xD(x,5)为真.因为D(7，5)和D(11,5)为假，所以xD(x,5)为假.

但有下面的推理过程：(1)xD(x,5)前提(2)D(z,5)(1);ES(3)xD(x,5)(2);UG

因此，xD(x,5)xD(x,5).错！57反证法举例例5：证明：58反证法举例接上页59推理实例例6：使用CP规则证明证明：因此原来的证明转化为证明下式：60推理实例证明61例7

对多个量词的使用情况，观察下列推理过程.

证明（1） 前提

（2） （1）；US

（3） （2）；ES

（4） （3）；UG

（5） （4）；EG

推出错误结论：与可交换.

注意：公式(2)中z有两种可能1)若z是自由个体变元，则此时y的值是随z的变化而变化的，因此不能用ES规则将y改为个体常元d。2)若z是个体常元，则公式(3)没错，但此时不能用UG规则得到(4)。错！错！62谓词逻辑求解实际问题步骤：根据问题的需要定义一组谓词将实际问题符号化使用推理规则有效推理注意：符号化的原则：全称量词对应逻辑联结词→，存在量词对应逻辑联结词Λ推理时首先引入带存在量词的前提，以保证“ES”规则的有效性63谓词逻辑求解实际问题例8：证明苏格拉底的三段论。所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。解：M(x):x是人；D(x):x是要死的；c:苏格拉底。苏格拉底三段论可以表示成：

证明：(1)M(c)P

(2)P(3)M(c)→D(c)US,(2)(4)D(c)T,{1},{3}64谓词逻辑求解实际问题例9：所有的自然数都是整数，任何整数不是奇数就是偶数，并非每个自然数都是偶数。所以，某些自然数是奇数。解：第一步，定义谓词：

N(x)：x是自然数；I(x)：x是整数；

Q(x)：x是奇数；O(x)：x是偶数。第二步，问题符号化：65谓词逻辑求解实际问题第三步，证明:66谓词逻辑求解实际问题接上页67谓词逻辑求解实际问题例10：每个报考研究生的大学毕业生要么参加研究生入学考试，要么推荐为免考生；每个报考研究生的大学毕业生当且仅当学习成绩优秀才被推荐为免试生；有些报考研究生的大学毕业生学习成绩优秀，但并非所有报考研究生的大学毕业生学习成绩都优秀。因此，有些报考研究生的大学毕业生要参加研究生入学考试。解：定义谓词如下：

YJS(x)：x是要报考研究生的大学毕业生；

MKS(x)：x是免考生；

CJYX(x)：x是成绩优秀的；

CJKS(x)：x是参加考试的。68谓词逻辑求解实际问题第二步，符号化问题69谓词逻辑求解实际问题第三步，证明70谓词逻辑求解实际问题接上页71谓词逻辑求解实际问题例11：所有的蜂鸟都五彩斑斓；没有大鸟以蜜为生；不以蜜为生的鸟都色彩单调；因此，蜂鸟都是小鸟。解：定义谓词如下：

P(x)：x是只蜂鸟；

Q(x)：x是大鸟；

R(x)：x是以蜜为生的鸟；

S(x)：x五彩斑斓。72谓词逻辑求解实际问题证明：732.5谓词公式的范式命题逻辑中的两种范式都可以直接推广到谓词逻辑中来，只要把原子命题公式换成原子谓词公式即可，根据量词在公式中出现的情况不同，又可分为前束范式和斯柯林范式。742.5.1前束范式定义：对任一谓词公式F，如果其中所有量词均非否定的出现在公式的最前面，且它们的辖域为整个公式，则称公式F为前束范式。752.5.1前束范式任意一个公式都可以转化成与之等价的前束范式，方法如下：消去公式中的联结词和→，例如将公式内的否定符号深入到谓词变元前并化简到谓词变元前只有一个否定号；利用改名、代入规则使所有的约束变元均不同名，且使自由变元与约束变元亦不同名；扩充量词的辖域至整个公式。762.5.1前束范式例：将下列公式转化成前束范式。解：772.5.2斯柯林范式定义：如果前束范式中所有的存在量词均在全称量词之前，则称这种形式为斯柯林范式。782.5.2斯柯林范式任何一个公式都可以化为与之等价的斯柯林范式，方法如下：先将给定公式化为前束范式；将前束范式中的所有自由变元用全称量词（UG）约束；若经上述改造后的公式A中，第一个量词不是存在量词，则可以将等价变换成如下形式如果前束范式是由n个存在量词开始，然后是m个全称量词，后面还跟有存在量词，则可以利用下述等价式将这些全称量词逐一移到存在量词之后去：

792.5.2斯柯林范式例：将公式化成斯柯林范式。解：802.6应用与扩展人工智能（ArtificialIntelligence）是一种使用计算机模拟人类智能的技术。在人工智能的实现过程中，知识有着至关重要的作用，如何运用知识进行推理并解决问题是研究人工智能的重要课题。而要想获取并应用知识，首先需要能够对知识进行正确有效的表示。因此，知识表示是实现人工智能的首要问题和基本技术。谓词逻辑是应用于人工智能中最重要的一种知识表示方法。常被用来表述描述性语句，并可以有效地存储到计算机中进行处理。在人工智能的知识表示中，谓词逻辑不但可以用来形式化地描述自然语言和数学知识等，还可以对智能行为过程进行描述。812.6.1猴子吃香蕉猴子吃香蕉问题：设房内a处有一只猴子，一串香蕉挂在c处天花板上，猴子够不着，b处有一个箱子，猴子从a处出发把箱子从b处搬到c处，爬上箱子，摘下香蕉，回到a处。请用谓词表示法来描述该问题以及猴子的行动过程。abc82（2）使用谓词、联接词和量词来表示环境状态问题的初始状态可表示为：S0:AT(monkey,a)∧EMPTY(monkey)∧ON(box,b)∧ON(banana,center)∧CLEAR(c)∧BOX(box)∧BANANA(banana)要达到的目标状态为：Sg:AT(monkey,a)∧HOLD(monkey,banana)∧ON(box,c)∧CLEAR(center)∧CLEAR(b)∧BOX(box)∧BANANA(banana)83（1）定义描述环境状态的谓词AT(x,w):x在w处，个体域x∈{monkey}，w∈{a,b,c};HOLD(x,t):x手中拿着t，个体域t∈{box,banana};EMPTY(x):x手中是空的;ON(t,y):t在y处，个体域y∈{b,c,centre};CLEAR(y):y上是空的;BOX(u):u是箱子，个体域u∈{box};BANANA(v):v是香蕉，个体域v∈{banana};84（3）从初始状态到目标状态的转化，猴子需要完成一系列操作，定义操作类谓词表示它的动作WALK(m,n):猴子从m走到n处，个体域m,n∈{a,b,c};CARRY(s,r):猴子在r处拿到s，个体域r∈{b,centre},s∈{box,banana};CLIMB(u,c):猴子在c处爬上u;这三个操作也分别用条件和动作表示。条件是为完成相应操作而必须具备的前提，当具备时激活操作动作，通过从动作前删除或增加谓词公式来描述动作后的状态。以第一个动作为例：WALK(m,n):猴子从m走到n处，个体域m,n∈{a,b,c}条件：AT(monkey,m);动作：删除：AT(monkey,m);增加：AT(monkey,n);85对于描述智能行为过程的知识，则需要分别定义描述环境状态的谓词和表示动作的操作谓词。通过使用谓词、联接词和量词来表示各个环节的环境的状态。并按照活动的计划，使用操作类谓词，一步步转化状态，直到完成从初始状态到目标状态的转化。运用谓词逻辑的方法，就可以将自然语言、数学知识乃至行为知识进行形式化进而输入到计算机中，建立计算机系统的知识库，方便进行问题求解和机器定理证明。人工智能和知识表示也是谓词逻辑方法重要的应用领域。86（4）按照行动计划，一步步执行操作，进行状态替换，直至目标状态。本部分替换过程省略，读者可以自行代换。通过上面的例子，我们可以归纳出用谓词逻辑表示具体知识的步骤：（1）将给定命题中的量词、个体词和谓词分析出来，并将谓词用特定的符号表示；（2）运用逻辑连接符来表示原命题中所含子命题之间的复合关系；（3）构造出该命题所对应的形式化的表达公式。872.6.2知识库系统Drools是一个面向“规则与决策”的知识库系统（常被称为业务规则管理系统/规则引擎）。它的核心思想很接近我们在谓词逻辑里讲的“事实+规则”：系统把运行时输入的数据当作“事实”放进工作内存，把专家知识/业务规定写成可维护的规则集合；当事实变化时，引擎会自动检查哪些规则的条件被满足，并按一定策略触发规则，从而得到新的结论、衍生新的事实或触发决策动作。Drools官方文档把它概括为基于推理（inference-based）的规则引擎，并明确说明它同时支持前向链与后向链两种推理方式，这使它既能“数据驱动地推出后续结论”，也能“带着目标去反推需要哪些事实”。88在“知识库推理”的角度，Drools的意义在于：它把“规则推导”做成了工程上可用的组件。规则不是写死在代码里的if/else，而是作为知识资产独立管理；新增或修改规则往往不需要改动核心业务代码。除了一般的条件推断，Drools还扩展了事件与时间相关的推理能力，例如复杂事件处理或时序条件，使得“在一段时间窗口内发生了什么”“某事件之后多久又发生了什么”这类知识也能以规则形式表达并由引擎推断。892.6.3逻辑编程Prolog是一类以一阶谓词逻辑为基础的逻辑编程语言。它的名字来自法语“Programmationenlogique”，意思就是用逻辑来编程。它和大多数命令式语言最大的不同在于，Prolog的程序并不是一串按步骤执行的指令，而是一组用来描述关系的知识：你把领域知识写成事实与规则，计算则通过提出查询来启动。系统会尝试在现有事实与规则中寻找能够满足查询的推导路径，并在找到答案时给出相应的变量绑定；如果存在多组答案，还可以通过回溯把所有满足条件的解依次枚举出来。由于这种工作方式本质上就是在做自动推理，Prolog长期以来与人工智能、自动定理证明、知识表示等方向联系非常紧密，也常被用作教学中演示知识库推理机制的最直观工具。90在现实中，Prolog不是一个“单一软件”，而是一套语言与标准下的多种实现。SWIProlog是其中最流行、最常用的实现之一。SWIProlog的实际使用方式通常是先把领域知识写进一个程序文件或交互环境中，知识以事实的形式描述对象与关系，以规则的形式描述一般性规律与推导链条。之后用户提出查询，系统会尝试寻找一种变量赋值，使得查询能够由现有事实与规则推出，并且它不仅能回答某个结论是否成立，还能返回所有可能的满足解并支持回溯枚举。这个过程对应到谓词逻辑里的两个关键机制，一是把一般规律应用到具体对象上的实例化，二是在匹配规则条件与查询结构时进行合一，从而把抽象规则变成可执行推导。912.6.4知识图谱推理Stardog是企业级知识图谱数据库，内置语义推理能力，用来把图中“没有显式写出来”的知识，通过规则在查询时计算出来。它的官方文档明确说明，Stardog默认并不把所有可推出的三元组提前生成并存储，而是采用查询时推理的方式。其核心做法是查询重写：当用户在连接或查询中开启推理后，系统会在真正执行查询之前，依据选定的推理模式与推理schema，把原始查询自动改写成一组等价的查询，再把这些查询交给执行器运行，最后合并结果返回给用户。这样做的直接效果是，用户看到的查询答案不仅包含显式数据，还包含按资源描述框架或Web本体语言语义可推出的隐含结论。92Stardog文档给出了用查询重写而不是物化推理的原因。物化推理会把数据按照schema全量扩展，扩展出的推断数据不一定会被后续查询用到，而且数据规模可能显著膨胀。查询重写则是按需推理，只有当某次查询确实需要某类推断时才支付推理成本，因此灵活性更高，也更容易在多数据源或持续更新的数据上保持一致的推理结果。从谓词逻辑的视角看，Stardog的这种推理等价于在知识库中维护了一组可执行的规则与公理，然后在回答查询时把这些规则作用到查询本身。用户提出的查询可以理解为一个目标，系统在回答目标时，会把与该目标相关的规则展开，从而把应该被推出的情况自动纳入查询范围。也正因为这个机制，Stardog能够支持不仅是标准的RDFS与OWL推理，还支持用户自定义规则推理。93另外，Stardog的推理并非只有一种固定模式。它提供推理

schema的管理，用于指定哪些命名图作为

schema参与推理，并提供解释与一致性检查等能力，帮助用户定位某个推断结论来自哪些规则或

schema事实。通过上面的例子，我们可以归纳出用谓词逻辑表示具体知识的步骤：（1）将给定命题中的量词、个体词和谓词分析出来，并将谓词用特定的符号表示；（2）运用逻辑连接符来表示原命题中所含子命题之间的复合关系；（3）构造出该命题所对应的形式化的表达公式。对于描述智能行为过程的知识，则需要分别定义描述环境状态的谓词和表示动作的操作谓词。通过使用谓词、联接词和量词来表示各个环节的环境的状态。并按照活动的计划，使用操作类谓词，一步步转化状态，直到完成从初始状态到目标状态的转化。942.7历史人物与事件集合论的起源集合论创始人——乔治・康托：乔治・康托（GeorgCantor）1845年3月3日生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭。1856年，全家迁居德国法兰克福。康托先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习哲学、数学和物理。在柏林大学，他受到著名分析学家魏尔斯特拉斯的影响，对纯粹数学产生了兴趣。1869年来到哈勒大学，历任教师、副教授、教授。康托自幼对数学有浓厚兴趣，29岁（1874年）时在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇论文，提出了“无穷集合”这个数学概念，引起了数学界的极大关注。他引进了无穷点集的一些概念，如基数、势、序数等，试图把不同的无穷离散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分，还构造了实变函数论中著名的“康托集”“康托序列”。1874年，康托证明了代数数集和有理数集的可数性以及实数集的不可数性，建立了实数连续性公理，被称为“康托公理”。其最重要的著作是《超越数理论基础》（1895-1897）。康托的集合论在当时太过超前，与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到了一些大数学家的反对。就连被誉为“博大精深，富于创举”的数学家庞加莱也把集合论比作有趣的“病理情形”，他的老师克罗内克更是还击康托是“神经质”。由于长期受到这些非难和指责，康托精神压力巨大，1884年患了精神分裂症。尽管后来病情有所缓解，但他晚年一直病魔缠身。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。康托所创立的集合论已被公认为全部数学的基础，对20世纪初的数学发展产生了极其深远的影响，为现代数学的发展奠定了重要的基础。许多伟大的数学家如希尔伯特、罗素等都对康托的工作给予了高度评价