2025-2026年高中数学高一上册第6章复数专项练习题

2025-2026年高中数学高一上册第6章复数专项练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.复数z满足z²+2z+3=0，则z的模|z|等于（）A.1B.√2C.√3D.22.若复数z=a+bi（a，b∈R）的共轭复数为z̄=3-2i，则z的虚部b等于（）A.-2B.2C.-3D.33.计算（1+i）³的值等于（）A.-2iB.2iC.-2D.24.在复平面内，表示复数-3+4i的点的坐标是（）A.（-3，4）B.（3，-4）C.（-4，3）D.（4，-3）5.若复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁•z₂的实部等于（）A.7B.-7C.8D.-86.已知复数z满足|z|=√5，且z的实部为2，则z等于（）A.2+√5iB.2-√5iC.2±√5iD.±√5+2i7.将复数3-4i乘以一个复数使其结果为纯虚数，该复数可以是（）A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3i8.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²=9，则z的模|z|等于（）A.3B.-3C.9D.±39.在复平面内，向量对应的复数是（1+i），则该向量逆时针旋转90°后对应的复数是（）A.1-iB.-1+iC.-1-iD.1+i10.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则|z₁+z₂|等于（）A.√2B.2C.2√2D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=3-2i，则其共轭复数z̄等于________。2.计算（2+i）（1-2i）的值等于________。3.在复平面内，表示复数-5i的点的坐标是________。4.若复数z满足|z|=3且argz=π/3，则z的代数形式为________。5.若复数z₁=1+2i，z₂=2-i，则z₁+z₂的模|z₁+z₂|等于________。6.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²=4i，则实数a的值等于________。7.计算（1-i）⁴的值等于________。8.在复平面内，向量对应的复数是2-3i，则该向量顺时针旋转90°后对应的复数是________。9.若复数z₁=3+4i，z₂=2-3i，则z₁•z₂的虚部等于________。10.若复数z满足|z|=1且z²=2+2√3i，则z的辐角主值argz等于________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.任何复数的模都是非负实数。2.若复数z₁和z₂满足z₁²=z₂²，则z₁=z₂。3.共轭复数的模相等。4.若复数z₁和z₂满足z₁+z₂是实数，则z₁和z₂互为共轭复数。5.在复平面内，表示复数3i的点的坐标是（0，3）。6.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=0，则z=0。7.复数z的平方一定是复数。8.若复数z₁和z₂满足z₁•z₂是实数，则z₁和z₂互为共轭复数。9.在复平面内，向量对应的复数是a+bi，则该向量逆时针旋转180°后对应的复数是-a-bi。10.若复数z满足|z|=1，则z²一定是实数。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述复数z=a+bi（a，b∈R）的模|z|的定义及其计算公式。2.解释什么是共轭复数，并说明共轭复数的主要性质。3.说明复数乘法的几何意义，并举例说明如何用复数表示向量的旋转。4.简述复数除法的计算步骤，并给出复数除法的代数形式。5.解释什么是复数的辐角主值，并说明辐角主值的取值范围。6.说明复平面内实轴、虚轴的定义，并解释如何用复平面表示复数。7.简述复数模的性质，并举例说明模的运算规律。8.解释什么是纯虚数，并说明纯虚数的特征。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求z₁•z₂的值，并说明其几何意义。2.已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=5且argz=π/4，求z的代数形式。3.已知复数z₁=3+4i，z₂=2-3i，求z₁/z₂的值，并说明其几何意义。4.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求|z₁+z₂|的值，并说明其几何意义。5.已知复数z满足|z|=2且z²是纯虚数，求z的值。6.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求z₁+z₂的模，并说明其几何意义。7.已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²=4i，求z的模和辐角主值。8.已知复数z₁=3+4i，z₂=2-3i，求z₁•z₂的模，并说明其几何意义。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：由z²+2z+3=0，得z=-1±√2i，则|z|=√（-1+√2）²+（√2）²=√3。2.B解析：由z=a+bi，z̄=3-2i，得a=3，b=-2。3.A解析：（1+i）³=1+3i+3i²+3i³=1+3i-3-3i=-2。4.A解析：复数-3+4i对应的点的坐标是（-3，4）。5.A解析：z₁•z₂=(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i，实部为8。6.C解析：由|z|=√5且实部为2，得z=2±√5i。7.D解析：设复数为x+yi，则（3-4i）（x+yi）=3x-4y+（4x+3y）i，要使其为纯虚数，需3x-4y=0且4x+3y≠0，解得x=-4，y=3。8.A解析：由z²=9，得z=±3，则|z|=3。9.B解析：向量对应的复数是1+i，逆时针旋转90°后对应的复数是-1+i。10.B解析：z₁+z₂=（1+i）+（1-i）=2，则|z₁+z₂|=2。二、填空题1.3+2i解析：复数z=3-2i的共轭复数是3+2i。2.5-3i解析：（2+i）（1-2i）=2-4i+i-2i²=5-3i。3.（0，-5）解析：复数-5i对应的点的坐标是（0，-5）。4.3√3/2+3/2i解析：由|z|=3且argz=π/3，得z=3(cosπ/3+isinπ/3)=3√3/2+3/2i。5.√13解析：z₁+z₂=(1+2i)+(2-i)=3+i，则|z₁+z₂|=√3²+1²=√13。6.0解析：z²=4i，则z=±2√i，由z=a+bi，得a=0。7.4解析：（1-i）⁴=[（1-i）²]²=(-2i)²=-4。8.-3-2i解析：向量对应的复数是2-3i，顺时针旋转90°后对应的复数是-3-2i。9.17解析：z₁•z₂=(3+4i)(2-3i)=6-9i+8i-12i²=18-17i，虚部为-17。10.5π/6解析：z²=2+2√3i，则z=±（√3/2+1/2i），辐角主值为5π/6。三、判断题1.√解析：任何复数的模都是非负实数，由定义|z|=√a²+b²≥0。2.×解析：z₁²=z₂²，则z₁=±z₂。3.√解析：由|z̄|=√a²+b²=|z|。4.×解析：z₁+z₂是实数，只需虚部为0，不一定互为共轭复数。5.√解析：复数3i对应的点的坐标是（0，3）。6.√解析：|z|=0，则a²+b²=0，得a=b=0，即z=0。7.√解析：z²=(a+bi)²=a²-2abi-b²，一定是复数。8.×解析：z₁•z₂是实数，只需虚部为0，不一定互为共轭复数。9.√解析：向量对应的复数是a+bi，逆时针旋转180°后对应的复数是-a-bi。10.√解析：由|z|=1，得z=cosθ+isinθ，则z²=cos2θ+isin2θ，一定是实数。四、简答题1.解析：复数z=a+bi（a，b∈R）的模|z|定义为z到原点的距离，计算公式为|z|=√a²+b²。2.解析：共轭复数是指实部相同、虚部互为相反数的复数，即z=a+bi的共轭复数为z̄=a-bi。主要性质：|z|=|z̄|，z+z̄=2a，z•z̄=a²+b²。3.解析：复数乘法的几何意义是向量的旋转和伸缩。设复数z₁=a+bi，z₂=c+di，则z₁•z₂=ac-bd+(ad+bc)i，表示将向量z₁顺时针旋转argz₂，并伸缩|z₂|倍。4.解析：复数除法的计算步骤：①将除数和被除数都写成分数形式；②将分子和分母同时乘以除数的共轭复数；③化简得到结果。代数形式：z₁/z₂=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)/(c²+d²)i。5.解析：复数的辐角主值是指复数对应的向量与正实轴的夹角，取值范围为[0，2π)。6.解析：复平面内，x轴称为实轴，y轴称为虚轴。复数z=a+bi可以用复平面内的点（a，b）表示。7.解析：复数模的性质：①|z₁z₂|=|z₁||z₂|；②|z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|（z₂≠0）；③|z|²=z•z̄。8.解析：纯虚数是指实部为0且虚部不为0的复数，即z=bi（b≠0）。特征：纯虚数对应的向量在虚轴上且不与原点重合。五、应用题1.解析：z₁•z₂=(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i。几何意义：z₁•z₂表示将向量z₁按向量z₂旋转argz₂，并伸缩|z₂|倍。2.解析：由|z|=5且argz=π/4，得z=5(cosπ/4+isinπ/4)=5√2/2+5√2/2i。3.解析：z₁/z₂=(3+4i)/(2-3i)=(3+4i)(2+3i)/((2-3i)(2+3i))=(6+9i+8i+12i²)/(4+9)=(-6+17i)/13=-6/13+17/13i。几何意义：z₁/z₂表示将向量z₁按向量z₂旋转argz₂的相反方向，并伸缩|z₂|的倒数倍。4.解析：z₁+z₂=(1+i)+(1-i)=2，则|z₁+z₂|=2。几何意义：z₁+z₂表示将向量z₁和z₂首尾相接，所得向量的模。5.解析：设z=a+bi，由|z|=2且z²=4i，得a²+b²=4且a²-b²=0，解得a=0，b=±2，则z=±2i。6.解析：z₁+z₂=(1+2i)+(2-i)=3+i，则|z₁+z₂|=