2026年人教版高二数学第四章立体几何练习题

2026年人教版高二数学第四章立体几何练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离为（）A．√15/3B．2√3C．√14D．1/√15解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)，代入A（1，2，3）和平面方程系数得d=|1×1+1×2+1×3-1|/√3=√15/3，故选A。2.已知直线l：x=2+λy，z=3-μy与平面β：x-y+2z=1相交，则λ与μ的关系为（）A．λ=μB．λ=-μC．2λ+μ=1D．2λ-μ=1解析：将直线方程代入平面方程得（2+λy）-y+2（3-μy）=1，化简为2+（λ-1）y+6-2μy=1，整理得（λ-1-2μ）y=1-3，由于直线与平面相交，需y系数为0，故λ-1-2μ=0且1-3≠0，解得λ=-μ，故选B。3.过点P（1，2，-1）且与平面α：2x-y+3z=0垂直的直线方程为（）A．x=1，y=2，z=-1B．x-1=2(y-2)，z+1=3(y-2)C．x-1=y-2=z+1D．x-1=-(y-2)=3(z+1)解析：与平面垂直的直线方向向量为平面法向量（2，-1，3），故直线方程为x-1=2(y-2)，z+1=3(y-2)，化简得x-1=2(y-2)，z+1=3(y-2)，故选B。4.已知三棱锥A-BCD的顶点坐标分别为A（0，0，1）、B（1，0，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0），则平面BCD与平面ACD所成二面角的余弦值为（）A．1/√3B．√2/2C．1/2D．√3/2解析：向量BC=（-1，1，0），向量BD=（-1，0，0），向量AC=（0，1，-1），向量AD=（0，0，-1），平面BCD的法向量为n1=BC×BD=（0，0，-1），平面ACD的法向量为n2=AC×AD=（1，0，0），cosθ=|n1•n2|/|n1||n2|=1/√3，故选A。5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点，则直线AE与平面B1C1CD所成角的正弦值为（）A．1/3B．√2/3C．√3/3D．1/2解析：以D为原点建立空间直角坐标系，A（1，1，1），E（0，1，1/2），B1（1，1，0），C1（1，0，0），D（0，0，0），向量AE=（-1，0，1/2），平面B1C1CD的法向量为n=（1，-1，0），sinθ=|AE•n|/|AE||n|=1/3，故选A。6.已知直线l1：x=1，y=2z与直线l2：x=3t，y=4t+1，z=t-1的夹角为θ，则cosθ的值为（）A．1/√30B．√3/2C．1/√15D．2/√5解析：向量v1=（0，2，1），向量v2=（3，4，1），cosθ=|v1•v2|/|v1||v2|=3/√30，故选A。7.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角为θ，则sinθ的值为（）A．1/√3B．√2/2C．√3/2D．1/2解析：法向量n1=（1，1，1），n2=（1，-1，1），cosθ=|n1•n2|/|n1||n2|=1/√3，sinθ=√(1-cos²θ)=√2/2，故选B。8.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AC=1，BC=√2，则二面角A-PC-B的余弦值为（）A．1/2B．√2/2C．1/√3D．√3/2解析：以A为原点建立空间直角坐标系，P（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），向量PA=（0，0，1），向量PC=（0，1，-1），向量BC=（-1，1，0），平面PAC的法向量为n1=PA×AC=（1，0，0），平面PCB的法向量为n2=PC×BC=（1，1，1），cosθ=|n1•n2|/|n1||n2|=1/√3，故选C。9.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，E为PC的中点，则直线AE与底面ABCD所成角的正切值为（）A．√2B．√3C．2√2/3D．3√2/4解析：以D为原点建立空间直角坐标系，A（2，2，0），E（0，√2，3/2），向量AE=（-2，√2，3/2），底面法向量n=（0，0，1），tanθ=|AE•n|/|AE||n|=3√2/4，故选D。10.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，则直线A1B与平面A1BC所成角的正弦值为（）A．1/2B．√3/2C．√2/2D．1/√3解析：以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，√3，0），A1（0，0，2），向量A1B=（2，0，-2），平面A1BC的法向量为n=BC×A1B=（-√3，-1，0），sinθ=|A1B•n|/|A1B||n|=1/2，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知点A（1，2，3）与点B（2，1，-1）的距离为__________。参考答案：√17解析：|AB|=√[(2-1)²+(1-2)²+(-1-3)²]=√17。2.过点P（1，2，-1）且与向量（1，-1，2）平行的直线方程为__________。参考答案：x=1+t，y=2-t，z=-1+2t解析：方向向量为（1，-1，2），参数方程为x=1+t，y=2-t，z=-1+2t。3.平面α：2x-y+3z=1的法向量为__________。参考答案：（2，-1，3）解析：平面方程的系数即为法向量。4.已知三棱锥A-BCD的顶点坐标分别为A（0，0，1）、B（1，0，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0），则BC与CD所成角的余弦值为__________。参考答案：1/√2解析：向量BC=（-1，1，0），向量CD=（0，-1，0），cosθ=|BC•CD|/|BC||CD|=1/√2。5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点，则AE与平面B1C1CD所成角的正弦值为__________。参考答案：1/3解析：向量AE=（-1，0，1/2），平面B1C1CD的法向量为（1，-1，0），sinθ=|AE•n|/|AE||n|=1/3。6.已知直线l1：x=1，y=2z与直线l2：x=3t，y=4t+1，z=t-1的夹角为θ，则cosθ的值为__________。参考答案：3/√30解析：向量v1=（0，2，1），向量v2=（3，4，1），cosθ=|v1•v2|/|v1||v2|=3/√30。7.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角为θ，则sinθ的值为__________。参考答案：√2/2解析：法向量n1=（1，1，1），n2=（1，-1，1），cosθ=1/√3，sinθ=√2/2。8.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AC=1，BC=√2，则二面角A-PC-B的余弦值为__________。参考答案：1/√3解析：向量PA=（0，0，1），向量PC=（0，1，-1），向量BC=（-1，1，0），平面PAC的法向量为（1，0，0），平面PCB的法向量为（1，1，1），cosθ=1/√3。9.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，高为3，E为PC的中点，则直线AE与底面ABCD所成角的正切值为__________。参考答案：3√2/4解析：向量AE=（-2，√2，3/2），底面法向量n=（0，0，1），tanθ=3√2/4。10.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，则直线A1B与平面A1BC所成角的正弦值为__________。参考答案：1/2解析：向量A1B=（2，0，-2），平面A1BC的法向量为（-√3，-1，0），sinθ=1/2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.过点P（1，2，3）且与平面α：x+y+z=1平行的平面方程为x+y+z=6。解析：与平面平行则法向量相同，但常数项不同，正确方程为x+y+z=6，故正确。2.已知直线l1：x=1，y=2z与直线l2：x=3t，y=4t+1，z=t-1共面。解析：两直线方向向量分别为（0，2，1）和（3，4，1），不平行，且存在公共点（1，1，0），故共面，正确。3.平面α：2x-y+3z=1与平面β：x-y+z=0垂直。解析：法向量n1=（2，-1，3），n2=（1，-1，1），n1•n2=0，故垂直，正确。4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点，则AE⊥平面B1C1CD。解析：向量AE=（-1，0，1/2），平面B1C1CD的法向量为（1，-1，0），AE与n垂直，正确。5.已知三棱锥P-ABC的顶点坐标分别为A（0，0，1）、B（1，0，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0），则BC⊥AC。解析：向量BC=（-1，1，0），向量AC=（0，1，-1），BC•AC=-1≠0，不垂直，错误。6.已知直线l1：x=1，y=2z与直线l2：x=3t，y=4t+1，z=t-1的夹角为π/3。解析：cosθ=3/√30≈0.5477≠√3/2，θ≠π/3，错误。7.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角为π/6。解析：cosθ=1/√3≈0.5774≠√3/2，θ≠π/6，错误。8.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AC=1，BC=√2，则二面角A-PC-B为π/4。解析：cosθ=1/√3≈0.5774≠√2/2，θ≠π/4，错误。9.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，高为3，E为PC的中点，则直线AE与底面ABCD所成角为π/3。解析：tanθ=3√2/4≈1.061≠√3，θ≠π/3，错误。10.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，则直线A1B与平面A1BC所成角为π/4。解析：sinθ=1/2≠√2/2，θ≠π/4，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求过点P（1，2，3）且与平面α：2x-y+3z=1平行的平面方程。解答：与平面平行则法向量相同，设平面方程为2x-y+3z=D，代入P（1，2，3）得2×1-2+3×3=D，解得D=7，故平面方程为2x-y+3z=7。2.求直线l1：x=1，y=2z与直线l2：x=3t，y=4t+1，z=t-1的夹角。解答：方向向量v1=（0，2，1），v2=（3，4，1），cosθ=|v1•v2|/|v1||v2|=3/√30，θ=arccos(3/√30)。3.求平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角。解答：法向量n1=（1，1，1），n2=（1，-1，1），cosθ=|n1•n2|/|n1||n2|=1/√3，θ=arccos(1/√3)。4.求点A（1，2，3）到平面α：2x-y+3z=1的距离。解答：d=|2×1-2+3×3-1|/√(2²+(-1)²+3²)=√15/3。5.求过点P（1，2，3）且与向量（1，-1，2）平行的直线方程。解答：参数方程为x=1+t，y=2-t，z=3+2t。6.求正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点，则向量AE与向量AF的夹角。解答：以D为原点建立空间直角坐标系，A（1，1，1），E（0，1，1/2），F（1，1，0），向量AE=（-1，0，1/2），向量AF=（0，0，-1），cosθ=|AE•AF|/|AE||AF|=1/2，θ=π/3。7.求三棱锥P-ABC的顶点坐标分别为A（0，0，1）、B（1，0，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0），则BC与CD所成角的余弦值。解答：向量BC=（-1，1，0），向量CD=（0，-1，0），cosθ=|BC•CD|/|BC||CD|=1/√2。8.求正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，高为3，E为PC的中点，则直线AE与底面ABCD所成角的正切值。解答：向量AE=（-1，√2，3/2），底面法向量n=（0，0，1），tanθ=3√2/4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知三棱锥P-ABC的顶点坐标分别为A（0，0，1）、B（1，0，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0），求平面PBC与平面ABC所成二面角的余弦值。解答：向量BC=（-1，1，0），向量AC=（0，1，-1），向量AB=（1，0，-1），平面PBC的法向量为n1=BC×AB=（1，1，1），平面ABC的法向量为n2=AC×AB=（1，0，1），cosθ=|n1•n2|/|n1||n2|=1/√3。2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点，求直线AE与平面B1C1CD所成角的正弦值。解答：以D为原点建立空间直角坐标系，A（1，1，1），E（0，1，1/2），B1（1，1，0），C1（1，0，0），向量AE=（-1，0，1/2），平面B1C1CD的法向量为n=（1，-1，0），sinθ=|AE•n|/|AE||n|=1/3。3.已知直线l1：x=1，y=2z与直线l2：x=3t，y=4t+1，z=t-1相交，求交点坐标。解答：将l1代入l2得1=3t，2z=4t+1，z=t-1，解得t=1/3，z=2/3，交点坐标为（1，2/3，2/3）。4.已知平面α：2x-y+3z=1与平面β：x-y+z=0相交，求交线方程。解答：联立方程组得2x-y+3z=1，x-y+z=0，消去y得x+2z=1，令z=t，得x=1-2t，y=t，交线方程为x=1-2t，y=t，z=t。5.已知三棱锥P-ABC的顶点坐标分别为A（0，0，1）、B（1，0，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0），求三棱锥体积。解答：底面三角形ABC的面积S=1/2×1×1=1/2，高为1，体积V=1/3×S×h=1/6。6.已知正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，高为3，E为PC的中点，求直线AE与底面ABCD所成角的正切值。解答：向量AE=（-1，√2，3/2），底面法向量n=（0，0，1），tanθ=3√2/4。7.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，且AA1=2，求直线A1B与平面A1BC所成角的正弦值。解答：以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，√3，0），A1（0，0，2），向量A1B=（2，0，-2），平面A1BC的法向量为n=（-√3，-1，0），sinθ=|A1B•n|/|A1B||n|=1/2。8.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0垂直，求平面α与平面β的交线方程。解答：联立方程组得x+y+z=1，x-y+z=0，消去z得2x=1，x=1/2，y=1/2，z=1/2，交线方程为x=1/2，y=1/2，z=1/2。9.已知三棱锥P-ABC的顶点坐标分别为A（0，0，1）、B（1，0，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0），求平面PBC与平面ABC所成二面角的余弦值。解答：向量BC=（-1，1，0），向量AC=（0，1，-1），向量AB=（1，0，-1），平面PBC的法向量为n1=BC×AB=（1，1，1），平面ABC的法向量为n2=AC×AB=（1，0，1），cosθ=|n1•n2|/|n1||n2|=1/√3。10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点，求直线AE与平面B1C1CD所成角的正弦值。解答：以D为原点建立空间直角坐标系，A（1，1，1），E（0，1，1/2），B1（1，1，0），C1（1，0，0），向量AE=（-1，0，1/2），平面B1C1CD的法向量为n=（1，-1，0），sinθ=|AE•n|/|AE||n|=1/3。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.B4.A5.A6.A7.B8.C9.D10.A二、填空题1.√1712.x=1+t，y=2-t，z=-1+2t13.（2，-1，3）2.1/√215.1/316.3/√3017.√2/218.1/√319.3√2/420.1/2三、判断题1.√22.√23.√24.√25.×26.×27.×28.×29.×30.×四、简答题1.设平面方程为2x-y+3z=D，代入P（1，2，3）得D=7，故平面方程为2x-y+3z=7。2.方向向量v1=（0，2，1），v2=（3，4，1），cosθ=3/√30，θ=arccos(3/√30)。3.法向量n1=（1，1，1），n2=（1，-1，1），cosθ=1/√3，θ=arccos(1/√3)。4.d=|2×1-2+3×3-1|/√(2²+(-1)²+3²)=√15/3。5.参数方程为x=1+t，y=2-t，z=3+2t。6.以D为原点建立空间直角坐标系，A（1，1，1），E（0，1，1/2），F（1，1，0），向量AE=（-1，0，1/2），向量AF=（0，0，-1），cosθ=1/2，θ=π/3。7.向量BC=（-1，1，0），向量CD=（0，-1，0），cosθ=1/√2。8.向量AE=（-1，√2，3/2），底面法向量n=（0，0，1），tanθ=3√2/4。五、应用题1.平面PBC的法向量为n1=BC×AB=（