2025-2026年江苏省湘教版高二数学第三章数列练习题

2025-2026年江苏省湘教版高二数学第三章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则c_6的值为（）A.55B.64C.73D.81解析：由递推关系可知该数列为二阶线性递推数列，设特征方程x^2-2x-1=0，解得x_1=1+√2，x_2=1-√2，通项公式c_n=A(x_1)^n+B(x_2)^n，由初始条件c_1=1，c_2=2c_1+c_0=3，解得A=B=1/2，故c_6=1/2[(1+√2)^6+(1-√2)^6]=64。选项B正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5等于（）A.25B.30C.35D.40解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_5=2×5=10。选项B正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=√(f_n+3)，则该数列的极限为（）A.1B.2C.3D.不存在解析：设极限为L，由f_{n+1}=√(f_n+3)可得L=√(L+3)，解得L=3。选项C正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18+6=24。选项C正确。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则h_6等于（）A.729B.728C.727D.726解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故h_6=2×3^5=486。选项D正确。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=n(p_n+1)，则p_4等于（）A.24B.30C.36D.42解析：由递推关系可得p_{n+1}=n!，故p_4=4!=24。选项A正确。10.在等比数列{q_n}中，若q_2=4，q_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.64B.84C.112D.136解析：由等比数列性质q_3/q_2=q^2=2，得公比q=√2，首项q_1=q_2/q=4/√2=2√2，故S_6=2√2(1-(√2)^6)/(1-√2)=112。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。参考答案：5n解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得a_1=0，d=5/3，故a_n=5/3(n-1)。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则b_3=_________。参考答案：8解析：b_3=S_3-S_2=(2×9-3)-(2×4-3)=18-5=13。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_5=_________。参考答案：35解析：c_2=c_1+3×1=5，c_3=c_2+3×2=11，c_4=c_3+3×3=20，c_5=c_4+3×4=35。4.在等比数列{d_n}中，若d_1=1，d_4=16，则该数列的公比q=_________。参考答案：2解析：由等比数列通项公式d_4=d_1q^3=16，解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_4=_________。参考答案：10解析：e_4=T_4-T_3=20-6=14。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，则f_6=_________。参考答案：39解析：f_2=f_1+2=5，f_3=f_2+4=9，f_4=f_3+6=15，f_5=f_4+8=23，f_6=f_5+10=33。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=2，d=3，则a_10+a_11=_________。参考答案：38解析：a_10=2+9×3=29，a_11=2+10×3=32，故a_10+a_11=61。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则h_5=_________。参考答案：121解析：h_5=S_5-S_4=242-65=177。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=n(p_n+1)，则p_4=_________。参考答案：24解析：p_2=1×2=2，p_3=2×3=6，p_4=3×6=18。10.在等比数列{q_n}中，若q_1=2，q_3=8，则该数列的前4项和S_4=_________。参考答案：30解析：公比q=4，S_4=2(1-4^4)/(1-4)=30。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列为等差数列。（×）解析：由S_n=2n^2-3n可得a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5（n≥2），当n=1时a_1=S_1=1，故a_n=4n-5，该数列为等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则该数列为递增数列。（√）解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，因b_1>0，q>1，故数列为递增数列。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列为等差数列。（×）解析：该数列为斐波那契数列，相邻两项之差不为常数，故不是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_5=12，则a_3=6。（√）解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3=12，故a_3=6。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。（×）解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}=2n，但n=1时e_1=T_1=2≠2，故错误。6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=2f_n+1，则该数列为等比数列。（×）解析：设f_n=a_n+b，代入递推关系可得a_{n+1}=2a_n，b_{n+1}=2b+1，故数列不是等比数列。7.在等比数列{g_n}中，若q=1，则该数列为常数列。（√）解析：由等比数列通项公式g_n=b_1q^{n-1}=b_1，故为常数列。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=2^n-1，则h_n=2^{n-1}。（×）解析：当n=1时h_1=S_1=1≠1，故错误。9.若数列{p_n}满足p_{n+1}=p_n+1，则该数列为等差数列。（√）解析：由递推关系可知d_n=1，故为等差数列。10.在等差数列{q_n}中，若a_1=3，d=-2，则a_6=-9。（√）解析：a_6=3+5×(-2)=-7。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_3=7，a_5=11，求该数列的通项公式。解：设首项为a_1，公差为d，由a_3=a_1+2d=7，a_5=a_1+4d=11，联立解得a_1=3，d=2，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_4的值。解：b_4=S_4-S_3=20-12=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=32，求该数列的公比q。解：由c_4=c_1q^3=32，解得q=2。4.已知数列{d_n}满足d_{n+1}=d_n+d_{n-1}（n≥2），且d_1=1，d_2=2，求d_5的值。解：d_3=d_2+d_1=3，d_4=d_3+d_2=5，d_5=d_4+d_3=8。5.在等差数列{e_n}中，若a_1=5，d=-3，求该数列的前10项和S_{10}。解：S_{10}=10×5+(10×9)×(-3)/2=-120。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=3^n-1，求f_3的值。解：f_3=T_3-T_2=26-8=18。7.若数列{g_n}满足g_{n+1}=2g_n+1，且g_1=1，求g_4的值。解：g_2=2×1+1=3，g_3=2×3+1=7，g_4=2×7+1=15。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=4，q=3，求该数列的前5项和S_5。解：S_5=4(1-3^5)/(1-3)=218。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的10%，若初始年生产能力为100万吨，求第5年的生产能力。解：设第n年生产能力为a_n，由递推关系a_{n+1}=1.1a_n，a_1=100，故a_5=100×1.1^4≈146.41万吨。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=2，d=3，求使得a_n>20的最小正整数n。解：由a_n=2+3(n-1)>20，解得n>19/3，故n=7。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，求使得S_n>50的最小正整数n。解：由2n^2-3n>50，解得n>4.5，故n=5。4.在等比数列{d_n}中，若d_1=1，d_4=16，求该数列的前6项和S_6。解：公比q=2，S_6=1(1-2^6)/(1-2)=63。5.某城市人口每年增长2%，若初始人口为100万，求10年后的人口数量。解：设第n年人口为p_n，由递推关系p_{n+1}=1.02p_n，p_1=100，故p_{10}=100×1.02^9≈121.90万。6.在等差数列{e_n}中，若a_1=5，d=-2，求使得a_n>0的最小正整数n。解：由5-2(n-1)>0，解得n<4，故n=3。7.已知数列{f_n}的前n项和T_n=3^n-1，求使得T_n>100的最小正整数n。解：由3^n-1>100，解得n>4.19，故n=5。8.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，q=3，求该数列的前4项和S_4。解：S_4=2(1-3^4)/(1-3)=40。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.C4.A5.B6.C7.C8.D9.A10.C二、填空题1.