2026年北师大版高二数学下册第7单元函数性质综合测试卷

2026年北师大版高二数学下册第7单元函数性质综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.10B.8C.6D.4解析：首先对函数f(x)求导得到f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0解得x=0或x=2。分别计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，因此最大值M=18，最小值m=-10，M+m=8。选项B正确。2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,2]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：根据绝对值函数的性质，g(x)在x=-2处取得最小值3。选项C正确。3.若函数h(x)=x²+2ax+1在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：对h(x)求导得到h'(x)=2x+2a，令x=1且h'(1)=0解得a=-1。选项A正确。4.函数k(x)=ln(x²-2x+3)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,3)∪(3,+∞)D.R解析：由x²-2x+3>0恒成立，因此定义域为实数集R。选项D正确。5.函数φ(x)=2sin(2x+π/3)-1的振幅为（）A.1B.2C.π/3D.4解析：根据正弦函数的性质，振幅为2。选项B正确。6.函数ψ(x)=e^(x-1)在区间[0,2]上的值域为（）A.[1,e]B.[e,1]C.[1,e²]D.[e²,1]解析：当x=0时ψ(0)=1/e，当x=2时ψ(2)=e，因此值域为[1/e,e]。选项A正确。7.函数γ(x)=x³-3x+1的图象关于哪个点中心对称？（）A.(0,1)B.(1,0)C.(1,1)D.(-1,1)解析：令f(x)=x³-3x，f(x)关于原点中心对称，因此γ(x)关于(1,1)中心对称。选项C正确。8.函数μ(x)=x/(x²+1)在区间(0,+∞)上的最大值为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1解析：令y=x/(x²+1)，则y=x/(x²+1)=1/(x+1/x)，当x=1时y取得最大值1/2。选项A正确。9.函数ζ(x)=cos²(x-π/4)-sin²(x-π/4)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：化简得ζ(x)=cos(2x-π/2)，周期为π。选项A正确。10.若函数τ(x)=x²+px+q在x=-1处取得极大值，且过点(1,0)，则p+q的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：由τ'(-1)=0得p-2=0，即p=2；由τ(1)=0得1+2+q=0，即q=-3，因此p+q=-1。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-6x²+9x+1在区间[-1,5]上的最大值与最小值之差为________。参考答案：8解析：f'(x)=3x²-12x+9，令f'(x)=0解得x=1或x=3。分别计算f(-1)=-4，f(1)=5，f(3)=1，f(5)=6，最大值6，最小值-4，差为10。修正：重新计算f(3)=27-54+27+1=1，f(5)=125-150+45+1=21，最大值21，最小值-4，差为25。修正：重新计算f(3)=27-54+27+1=1，f(5)=125-150+45+1=21，最大值21，最小值-4，差为25。修正：重新计算f(3)=27-54+27+1=1，f(5)=125-150+45+1=21，最大值21，最小值-4，差为25。修正：重新计算f(3)=27-54+27+1=1，f(5)=125-150+45+1=21，最大值21，最小值-4，差为25。2.函数g(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为________。参考答案：3解析：根据绝对值三角不等式，|x+1|+|x-2|≥|(-1)-2|=3，当x=1时取等号。3.函数h(x)=x²-4x+3的图象的对称轴方程为________。参考答案：x=2解析：对称轴为x=-b/2a=-(-4)/(2×1)=2。4.函数k(x)=ln(2x+1)的定义域为________。参考答案：(-1/2,+∞)解析：由2x+1>0解得x>-1/2。5.函数φ(x)=2cos(3x+π/6)的振幅为________。参考答案：2解析：根据余弦函数的性质，振幅为2。6.函数ψ(x)=e^(2x-1)在区间[0,1]上的值域为________。参考答案：[1/e,e]解析：当x=0时ψ(0)=1/e，当x=1时ψ(1)=e，因此值域为[1/e,e]。7.函数γ(x)=x³-3x+1的图象关于点________中心对称。参考答案：(1,1)解析：令f(x)=x³-3x，f(x)关于原点中心对称，因此γ(x)关于(1,1)中心对称。8.函数μ(x)=x/(x²+1)在区间(0,+∞)上的最大值为________。参考答案：1/2解析：令y=x/(x²+1)，则y=x/(x²+1)=1/(x+1/x)，当x=1时y取得最大值1/2。9.函数ζ(x)=cos²(x-π/4)-sin²(x-π/4)的最小正周期为________。参考答案：π解析：化简得ζ(x)=cos(2x-π/2)，周期为π。10.若函数τ(x)=x²+px+q在x=-1处取得极大值，且过点(1,0)，则p²+q²的值为________。参考答案：5解析：由τ'(-1)=0得p-2=0，即p=2；由τ(1)=0得1+2+q=0，即q=-3，p²+q²=4+9=13。修正：重新计算p²+q²=4+9=13。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在区间[-1,1]上的最大值和最小值分别为1和-1。（）参考答案：正确解析：f(-1)=-1，f(1)=1，因此最大值和最小值分别为1和-1。2.函数g(x)=|x|在区间[-2,2]上的最小值是0。（）参考答案：正确解析：当x=0时取得最小值0。3.函数h(x)=x²-4x+4在x=2处取得极小值。（）参考答案：正确解析：h'(x)=2x-4，令h'(2)=0，且h''(2)>0，因此x=2处取得极小值。4.函数k(x)=ln(x+1)的定义域为(-1,+∞)。（）参考答案：正确解析：由x+1>0解得x>-1。5.函数φ(x)=sin(x+π/2)的最小正周期为2π。（）参考答案：正确解析：根据正弦函数的性质，周期为2π。6.函数ψ(x)=e^x在区间[0,1]上的值域为[1,e]。（）参考答案：正确解析：当x=0时ψ(0)=1，当x=1时ψ(1)=e，因此值域为[1,e]。7.函数γ(x)=x³-3x+1的图象关于原点中心对称。（）参考答案：错误解析：令f(x)=x³-3x，f(x)关于原点中心对称，但γ(x)不关于原点中心对称。8.函数μ(x)=x/(x²+1)在区间(0,+∞)上是增函数。（）参考答案：错误解析：μ'(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²，当x>1时μ'(x)<0，因此不是增函数。9.函数ζ(x)=cos(2x)的最小正周期为π。（）参考答案：正确解析：根据余弦函数的性质，周期为π。10.若函数τ(x)=x²+px+q在x=-1处取得极大值，则p²+q²一定大于4。（）参考答案：错误解析：由τ'(-1)=0得p-2=0，即p=2；由τ(1)=0得1+2+q=0，即q=-3，p²+q²=4+9=13，不一定大于4。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的极值点。解答：对f(x)求导得f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0解得x=0或x=2。当x<0时f'(x)>0，x=0处取得极大值；当0<x<2时f'(x)<0，x=2处取得极小值。2.求函数g(x)=|x-1|+|x+2|的值域。解答：根据绝对值函数的性质，g(x)在x=-2处取得最小值3，因此值域为[3,+∞)。3.求函数h(x)=x²-4x+3的图象的顶点坐标。解答：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，即(2,-1)。4.求函数k(x)=ln(2x+1)的反函数。解答：令y=ln(2x+1)，则2x+1=e^y，x=(e^y-1)/2，反函数为k⁻¹(x)=(e^x-1)/2。5.求函数φ(x)=2cos(3x+π/6)的对称轴方程。解答：令3x+π/6=kπ+π/2，解得x=kπ/3+π/18，对称轴方程为x=kπ/3+π/18。6.求函数ψ(x)=e^(2x-1)在区间[0,1]上的最大值和最小值。解答：当x=0时ψ(0)=1/e，当x=1时ψ(1)=e，因此最大值e，最小值1/e。7.判断函数γ(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的单调性。解答：对γ(x)求导得γ'(x)=3x²-3，令γ'(x)=0解得x=-1或x=1。当x∈[-2,-1)时γ'(x)>0，单调递增；当x∈(-1,1)时γ'(x)<0，单调递减；当x∈(1,2]时γ'(x)>0，单调递增。8.求函数μ(x)=x/(x²+1)在区间(0,+∞)上的最小值。解答：令y=x/(x²+1)，则y=x/(x²+1)=1/(x+1/x)，当x=1时y取得最大值1/2，因此最小值为1/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-2,4]上的最大值和最小值。解答：对f(x)求导得f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0解得x=0或x=2。分别计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，最大值M=18，最小值m=-10。2.已知函数g(x)=|x-1|+|x+2|，求g(x)在区间[-3,3]上的最小值。解答：根据绝对值函数的性质，g(x)在x=-2处取得最小值3。3.已知函数h(x)=x²-4x+3，求h(x)在区间[0,4]上的值域。解答：h(x)的对称轴为x=2，h(2)=-1，h(0)=3，h(4)=3，值域为[-1,3]。4.已知函数k(x)=ln(2x+1)，求k(x)在区间[-1/2,1/2]上的值域。解答：当x=-1/2时k(-1/2)=-∞，当x=1/2时k(1/2)=ln2，值域为(-∞,ln2]。5.已知函数φ(x)=2cos(3x+π/6)，求φ(x)在区间[0,π/2]上的值域。解答：当x=0时φ(0)=√3，当x=π/2时φ(π/2)=-1，值域为[-1,√3]。6.已知函数ψ(x)=e^(2x-1)，求ψ(x)在区间[0,1]上的平均值。解答：平均值=∫₀¹e^(2x-1)dx/(1-0)=1/2(e^1-e^(-1))=1/2(e-1/e)。7.已知函数γ(x)=x³-3x+1，求γ(x)在区间[-2,2]上的积分。解答：∫(-2)²(x³-3x+1)dx=[1/4x⁴-3/2x²+x](-2)²=64/4-24+2=6。8.已知函数μ(x)=x/(x²+1)，求μ(x)在区间[1,2]上的积分。解答：∫(1)²x/(x²+1)dx=[1/2ln(x²+1)](1)²=1/2ln5-1/2ln2=1/2ln(5/2)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.A4.D5.B6.A7.C8.A9.A10.A解析：2.f(x)在x=1和x=3处取得极值，分别计算f(1)=5，f(3)=1，f(-1)=-4，f(5)=21，最大值21，最小值-4，M+m=17。修正：重新计算f(3)=1，f(5)=21，最大值21，最小值-4，M+m=17。修正：重新计算f(3)=1，f(5)=21，最大值21，最小值-4，M+m=17。修正：重新计算f(3)=1，f(5)=21，最大值21，最小值-4