2025-2026年四川省人教版高三数学第三十九章数列与函数综合练习题

2025-2026年四川省人教版高三数学第三十九章数列与函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则b_6的值为（）A.63B.64C.127D.128解析：数列{b_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，b_n+1=2^n，故b_6=2^6-1=63。选项A正确。3.函数f(x)=log_2(x^2-2x+3)在区间[1,3]上的最小值是（）A.-1B.0C.1D.2解析：令t=x^2-2x+3，则t=(x-1)^2+2，在[1,3]上t取最小值2，f(x)取最小值log_2(2)=1。选项C正确。4.已知函数g(x)=x^3-3x^2+2，则g(x)在区间[-2,2]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：g'(x)=3x^2-6x=x(x-2)，令g'(x)=0得驻点x=0，x=2，g(-2)=-14，g(0)=2，g(2)=0，故有3个零点。选项C正确。5.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则c_4的值为（）A.11B.13C.15D.17解析：c_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，c_4=11。选项A正确。6.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数h(x)在x=-2时取最小值3。选项C正确。7.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.3^n-1B.3^(n-1)C.(3^n-1)/2D.(3^(n+1)-1)/2解析：数列{a_n}是首项为1、公比为3的等比数列，S_n=(3^n-1)/2。选项C正确。8.函数k(x)=x/(x^2+1)在区间[0,1]上的最大值是（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5解析：k'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令k'(x)=0得x=1，k(1)=1/2，k(0)=0，故最大值为1/2。选项A正确。9.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则d_100等于（）A.199B.200C.201D.202解析：d_n=S_n-S_{n-1}=2n，d_100=200。选项B正确。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值是（）A.0B.1C.2D.3解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，f(-1)=-3，f(1-√3/3)=4√3/9-2/3，f(1+√3/3)=2/3-4√3/9，f(3)=0，故最大值为0。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知等比数列{e_n}的公比为q(q≠0)，若e_3=8，e_5=32，则q等于________。解：e_5=e_3q^2，32=8q^2，q=±2。参考答案：±22.函数f(x)=2^x-1在区间[0,2]上的值域为________。解：f(0)=0，f(2)=3，值域为[0,3]。参考答案：[0,3]3.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则f_10的值为________。解：f_n=2^n-1，f_10=1023。参考答案：10234.函数g(x)=√(x^2+4x+5)在区间[-3,1]上的最小值是________。解：g(x)=√((x+2)^2+1)，在x=-2时取最小值1。参考答案：15.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-n，则a_5等于________。解：a_n=S_n-S_{n-1}=6n-4，a_5=26。参考答案：266.函数h(x)=|x-2|+|x+1|在区间[-2,2]上的值域为________。解：分段函数h(x)在x=-1时取最小值3，在x=2时取最大值4，值域为[3,4]。参考答案：[3,4]7.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n（n∈N），则b_6等于________。解：b_n=2×3^(n-1)，b_6=486。参考答案：4868.函数k(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差是________。解：最大值为0，最小值为-3，差为3。参考答案：39.已知数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则c_100等于________。解：c_n=2n，c_100=200。参考答案：20010.函数f(x)=log_2(x^2-2x+3)在区间[1,3]上的最大值是________。解：令t=x^2-2x+3，t在x=1时取最大值2，f(x)取最大值1。参考答案：1三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，且a_1+a_5=8，则该数列的公差为2。解：a_1+a_5=2a_3=8，a_3=4，但公差未必为2，需更多信息。参考答案：×2.函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上单调递增。解：f'(x)=3x^2≥0，函数单调递增。参考答案：√3.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。解：b_n=S_n-S_{n-1}=2n，是等差数列。参考答案：√4.函数g(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-1,1]上的值域为[0,2]。解：在x=0时取最小值0，在x=-1或x=1时取最大值2。参考答案：√5.若数列{a_n}是等比数列，且a_2=4，a_4=16，则该数列的公比q为±2。解：a_4=a_2q^2，16=4q^2，q=±2。参考答案：√6.函数h(x)=x/(x^2+1)在区间[0,1]上的最大值是1/2。解：h'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令h'(x)=0得x=1，h(1)=1/2。参考答案：√7.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。解：c_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，是等差数列。参考答案：√8.函数k(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上有三个零点。解：f'(x)=3x^2-6x，驻点x=0，x=2，f(-1)=-3，f(0)=2，f(2)=0，f(3)=0，有3个零点。参考答案：√9.函数f(x)=log_2(x^2-2x+3)在区间[1,3]上是增函数。解：令t=x^2-2x+3，t在x=1时取最小值2，函数在[1,3]上单调递增。参考答案：√10.若数列{a_n}是等比数列，且a_1=1，a_3=8，则该数列的通项公式为a_n=2^n。解：a_3=a_1q^2，8=1×q^2，q=±2，通项公式为a_n=(±2)^(n-1)。参考答案：×四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，求该数列的前10项和S_10。解：S_10=10×2+(10×9/2)×3=330。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），求该数列的通项公式b_n。解：b_n=2^n-1。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的驻点。解：f'(x)=3x^2-6x=x(x-2)，驻点x=0，x=2。4.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，求c_5的值。解：c_5=S_5-S_4=25+5-(16+4)=10。5.函数g(x)=|x-1|+|x+2|，求g(x)的最小值及取得最小值时的x值。解：最小值为3，取得最小值时x=-1。6.已知数列{a_n}是等比数列，且a_2=4，a_4=16，求该数列的公比q。解：q=±2。7.函数h(x)=log_2(x^2-2x+3)，求其定义域。解：x^2-2x+3>0，定义域为R。8.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，求该数列是等差数列的证明。解：b_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，b_{n+1}-b_n=4，是等差数列。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第10年的产量。解：等差数列{a_n}，a_1=1000，d=200，a_10=1000+9×200=2800件。2.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值分别是多少？解：f(-1)=-3，f(0)=0，f(1)=-2，f(2)=0，f(3)=0，最大值为0，最小值为-3。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，求该数列的前5项和S_5。解：S_5=50-15=35。4.函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别是多少？解：最小值为3，最大值为4。5.已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=2，a_3=8，求该数列的前3项和S_3。解：q=2，S_3=2+4+8=14。6.函数h(x)=log_2(x^2-2x+3)在区间[1,3]上的最大值与最小值分别是多少？解：最小值为1，最大值为1。7.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），求该数列的前4项和S_4。解：b_n=2^n-1，S_4=15。8.函数f(x)=x/(x^2+1)在区间[0,1]上的最大值是多少？解：最大值为1/2。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某城市人口增长模型为每年比上一年增长5%，若当前人口为100万，求5年后的总人口。解：等比数列，a_1=100，q=1.05，a_5=100×1.05^4≈127.63万。2.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的零点分别是多少？解：零点为x=0，x=2。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，求c_10的值。解：c_n=2n，c_10=20。4.函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-2,2]上的值域是什么？解：值域为[3,4]。5.已知数列{a_n}是等比数列，且a_2=4，a_4=16，求该数列的通项公式a_n。解：a_n=4×2^(n-2)=2^(n)。6.函数h(x)=log_2(x^2-2x+3)在区间[1,3]上是增函数还是减函数？解：增函数。7.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，求该数列是等差数列的证明。解：b_n=4n-5，是等差数列。8.函数f(x)=x/(x^2+1)在区间[0,1]上的最小值是多少？解：最小值为0。9.某产品成本函数为C(x)=x^2-4x+5，求其最小成本。解：C'(x)=2x-4，令C'(x)=0得x=2，最小成本为1。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.证明等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数。证明：S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2(2a_1-d)+nd-d/2，是二次函数。2.讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2x的单调性。解：f'(x)=3x^2-6x=x(x-2)，在(-∞,0)和(2,∞)上增，在(0,2)上减。3.证明数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N）是等比数列