2025-2026年浙江北师大版高一数学第二章函数性质知识点巩固习题

2025-2026年浙江北师大版高一数学第二章函数性质知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间(-2,1)上的最大值是（）A.2B.0C.-2D.-1解析：首先求导f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，计算f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(0)=0，故最大值为2。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)在x=-2时取最小值3，故选C。3.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值，则a的值是（）A.-1B.1C.-2D.2解析：对称轴x=-a=1，解得a=-1。4.函数f(x)=sin(x+π/3)的图像关于哪个点对称？（）A.(π/3,0)B.(π/6,0)C.(π/2,0)D.(2π/3,0)解析：周期函数sin(x+π/3)的对称中心为(π/6,0)。5.函数f(x)=log₂(x²-2x+1)的定义域是（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[0,2]C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.R解析：x²-2x+1=(x-1)²≥0，故定义域为R。6.函数f(x)=2³ˣ的图像与g(x)=3ˣ的图像的关系是（）A.关于y轴对称B.关于原点对称C.关于x轴对称D.平行解析：f(x)=2³ˣ=8ˣ≠3ˣ=g(x)，故不平行，排除D；f(x)≠-g(x)且f(x)≠g(x)，排除B、C；f(x)/g(x)=8，图像平移得到，故不平行。7.函数f(x)=tan(2x-π/4)的周期是（）A.πB.π/2C.π/4D.2π解析：周期T=π/|k|=π/2，k=2。8.函数f(x)=√(x²-4x+4)的值域是（）A.[0,+∞)B.[2,+∞)C.(-∞,2]D.[0,2]解析：f(x)=√(x-2)²=[x-2]，值域为[0,+∞)。9.函数f(x)=cos(3x+π/6)的图像经过哪个点？（）A.(π/6,0)B.(π/3,0)C.(π/2,0)D.(2π/3,0)解析：f(π/6)=cos(π/2)=0，故选A。10.函数f(x)=x³-3x+1的极值点是（）A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=0和x=1解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=1，f(1)=-1，故极值点为x=±1。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x²-4x+3的单调递增区间是_________。解：f'(x)=2x-4，令f'(x)≥0得x≥2，故[2,+∞)。2.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像_________轴对称。解：f(x)是偶函数，关于y轴对称。3.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是_________。解：周期T=2π/|k|=π，k=2。4.函数f(x)=log₃(x²-3x+2)的定义域是_________。解：x²-3x+2=(x-1)(x-2)>0，故(-∞,1)∪(2,+∞)。5.函数f(x)=tan(π/4-x)的图像_________轴对称。解：f(x)=-tan(x-π/4)，关于x=π/4对称。6.函数f(x)=2ˣ的图像与g(x)=log₂x的图像_________对称。解：f(x)与g(x)互为反函数，关于y=x对称。7.函数f(x)=cos(2x-π/3)在区间[0,π]上的最大值是_________。解：f(π/6)=1，故最大值为1。8.函数f(x)=x³-3x+2的极小值点是_________。解：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(1)=0，故x=1。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是_________。解：f(-1)=3，f(1)=2，f(0)=3，故最小值为2。10.函数f(x)=sin(x+π/4)的图像向左平移π/4个单位后得到_________函数的图像。解：f(x)=sin(x+π/2)=cosx。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x²在区间(-1,1)上是减函数。（×）解：f'(x)=2x，在(-1,1)上f'(x)≥0，故为增函数。2.函数f(x)=cos(x+π/2)的图像与g(x)=-sinx的图像相同。（√）解：cos(x+π/2)=-sinx。3.函数f(x)=logₐ(x)在a>1时是增函数。（√）解：对数函数性质。4.函数f(x)=tan(x+π/4)的周期是π。（√）解：周期函数性质。5.函数f(x)=|x|在R上处处可导。（×）解：x=0处不可导。6.函数f(x)=sin²x在[0,π/2]上是增函数。（√）解：f'(x)=cos(2x)>0。7.函数f(x)=x³-3x+1的图像关于原点对称。（×）解：f(-x)≠-f(x)，非奇函数。8.函数f(x)=cos(2x+π/3)的最小值是-1。（×）解：最小值是-√3/2。9.函数f(x)=log₂(x²-2x+1)在(1,+∞)上是减函数。（√）解：x²-2x+1=(x-1)²，对数函数性质。10.函数f(x)=tan(π/4-x)的图像关于x轴对称。（×）解：f(x)=-tan(x-π/4)，非偶函数。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-6x²+9x+1的单调区间。解：f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)，令f'(x)≥0得x≤1或x≥3，单调递增区间为(-∞,1]∪[3,+∞)，单调递减区间为[1,3]。2.求函数f(x)=sin(2x-π/4)的最小正周期及对称轴方程。解：周期T=π/|k|=π/2，k=2，对称轴方程为2x-π/4=π/2+kπ，即x=3π/8+kπ/2，k∈Z。3.求函数f(x)=log₃(x²-3x+2)的定义域。解：x²-3x+2=(x-1)(x-2)>0，解得x<1或x>2，定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)。4.求函数f(x)=tan(π/4-x)的图像的对称轴方程。解：f(x)=-tan(x-π/4)，对称轴方程为x-π/4=kπ+π/2，即x=kπ+3π/8，k∈Z。5.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取值点。解：分段函数f(x)在x=-2时取最小值3。6.求函数f(x)=cos(2x+π/3)在[0,π]上的最大值及取值点。解：f(π/6)=1，最大值为1。7.求函数f(x)=x³-3x+2的极值点及极值。解：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=5，f(1)=0，极大值点x=-1，极大值5，极小值点x=1，极小值0。8.求函数f(x)=sin(x+π/4)的图像向左平移π/4个单位后的解析式。解：f(x)=sin(x+π/2)=cosx，平移后为cos(x+π/4)=√2/2cosx-√2/2sinx。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²-4x+5，求成本的最小值及生产量。解：C'(x)=2x-4，令C'(x)=0得x=2，C(2)=1，故成本最小值为1，生产量为2件。2.某商品的需求函数为p=10-0.1x，求收益函数及最大收益。解：收益函数R(x)=xp=10x-0.1x²，R'(x)=10-0.2x，令R'(x)=0得x=50，R(50)=250，最大收益为250元。3.某函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2，且f(0)=5，求f(10)。解：f(1)=f(0)-2=3，f(2)=f(1)-2=1，递推得f(10)=f(0)-20=-15。4.某函数f(x)满足f(x)+f(1/x)=3，求f(2)。解：令x=2得f(2)+f(1/2)=3，令x=1/2得f(1/2)+f(2)=3，解得f(2)=3/2。5.某函数f(x)满足f(x)+f(1/x)=x，求f(2)。解：令x=2得f(2)+f(1/2)=2，令x=1/2得f(1/2)+f(2)=1/2，解得f(2)=3/4。6.某函数f(x)满足f(x)+f(1/x)=x²，求f(2)。解：令x=2得f(2)+f(1/2)=4，令x=1/2得f(1/2)+f(2)=1/4，解得f(2)=15/8。7.某函数f(x)满足f(x)+f(1/x)=x³，求f(2)。解：令x=2得f(2)+f(1/2)=8，令x=1/2得f(1/2)+f(2)=1/8，解得f(2)=63/16。8.某函数f(x)满足f(x)+f(1/x)=x²+x³，求f(2)。解：令x=2得f(2)+f(1/2)=12，令x=1/2得f(1/2)+f(2)=9/4，解得f(2)=51/8。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.A4.B5.D6.A7.B8.B9.A10.D解析：2.求导f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，计算f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(0)=0，故最大值为2。3.分段函数f(x)在x=-2时取最小值3。4.对称轴x=-a=1，解得a=-1。5.周期函数sin(x+π/3)的对称中心为(π/6,0)。6.对数函数定义域x²-2x+1=(x-1)²≥0，故定义域为R。7.f(x)=2³ˣ=8ˣ≠3ˣ=g(x)，图像平移得到。8.周期T=π/|k|=π/2，k=2。9.f(x)=√(x²-4x+4)=[x-2]，值域为[0,+∞)。10.f(π/6)=cos(π/2)=0，故选A。11.f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=1，f(1)=-1，故极值点为x=±1。二、填空题1.[2,+∞)12.y13.π14.(-∞,1)∪(2,+∞)15.x=π/42.y=x17.118.119.220.cosx解析：3.f'(x)=2x-4，令f'(x)≥0得x≥2。4.f(x)是偶函数，关于y轴对称。5.周期T=2π/|k|=π，k=2。6.x²-3x+2=(x-1)(x-2)>0，故(-∞,1)∪(2,+∞)。7.f(x)=-tan(x-π/4)，关于x=π/4对称。8.f(x)与g(x)互为反函数，关于y=x对称。9.f(π/6)=1，故最大值为1。10.f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(1)=0，故x=1。11.f(-1)=3，f(1)=2，f(0)=3，故最小值为2。12.f(x)=sin(x+π/4)=cosx。三、判断题1.×22.√23.√24.√25.×26.√27.×28.×29.√30.×解析：2.f'(x)=2x，在(-1,1)上f'(x)≥0，故为增函数。3.cos(x+π/2)=-sinx。4.对数函数性质。5.周期函数性质。6.x=0处不可导。7.f'(x)=cos(2x)>0。8.f(-x)≠-f(x)，非奇函数。9.f(π/6)=√3/2，最小值是-√3/2。10.x²-2x+1=(x-1)²，对数函数性质。11.f(x)=-tan(x-π/4)，非偶函数。四、简答题1.解：f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)，令f'(x)≥0得x≤1或x≥3，单调递增区间为(-∞,1]∪[3,+∞)，单调递减区间为[1,3]。2.解：周期T=π/|k|=π/2，k=2，对称轴方程为2x-π/4=π/2+kπ，即x=3π/8+kπ/2，k∈Z。3.解：x²-3x+2=(x-1)(x-2)>0，解得x<1或x>2，定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)。4.解：f(x)=-tan(x-π/4)，对称轴方程为x-π/4=kπ+π/2，即x=kπ+3π/