2025-2026年天津市北师大版高中数学高二年级下册第6章数列综合测试卷

2025-2026年天津市北师大版高中数学高二年级下册第6章数列综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-1B.3n-6C.4n-12D.5n-20解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。选项B为正确答案。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_5的值为（）A.16B.32C.48D.64解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}。验证n=1时b_1=S_1=1符合通项，故b_5=2^4=16。选项A为正确答案。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.90C.100D.120解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_{n+1}-c_n=2n。累加得c_n=c_1+2(1+2+…+(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1。代入n=10得c_{10}=100。选项C为正确答案。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3。选项A为正确答案。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。验证n=1时e_1=T_1=2符合通项，故e_3=2×3=6。选项B为正确答案。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_10的值约等于（）A.45B.50C.55D.60解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，可得f_{n+1}-f_n=log_2(n+1)。累加得f_n=f_1+log_2(2)+log_2(3)+…+log_2(n)=2+log_2(n!)。利用斯特林公式近似n!≈sqrt(2πn)(n/e)^n，取n=10得f_{10}≈2+log_2(3.628×10^6)≈2+22=24。选项A为正确答案。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，解得a_3=3。选项A为正确答案。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则h_4的值为（）A.26B.27C.28D.29解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时h_1=S_1=2符合通项，故h_4=2×3^3=54。选项D为正确答案。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=2i_n+i_n^2，则i_3的值为（）A.7B.9C.11D.13解析：由递推关系i_{n+1}=2i_n+i_n^2，可得i_2=2×1+1^2=3，i_3=2×3+3^2=15。选项D为正确答案。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_6=64，则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.63C.127D.255解析：由等比数列性质j_6=j_1q^5，代入j_1=1，j_6=64得q=2。S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31。选项A为正确答案。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。参考答案：5n-5解析：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，即d=3。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_5-4d=2，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=4^n-1，则b_4的值为_________。参考答案：120解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(4^n-1)-(4^{n-1}-1)=3×4^{n-1}。验证n=1时b_1=S_1=3符合通项，故b_4=3×4^3=192。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_6的值为_________。参考答案：56解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，可得c_{n+1}-c_n=3n。累加得c_n=c_1+3(1+2+…+(n-1))=2+3n(n-1)/2=3n^2/2-3n/2+1。代入n=6得c_6=63。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=12，d_5=96，则该数列的公比q=_________。参考答案：2解析：由等比数列性质d_5=d_3q^2，代入d_3=12，d_5=96得12q^2=96，解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2n^2+n，则e_5的值为_________。参考答案：27解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1。验证n=1时e_1=T_1=3符合通项，故e_5=19。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n+1，则f_7的值为_________。参考答案：48解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+2n+1，可得f_{n+1}-f_n=2n+1。累加得f_n=f_1+2(1+2+…+(n-1))+(n-1)=3+n(n-1)+n-1=n^2+1。代入n=7得f_7=49+1=50。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=-5，公差d=3，则该数列的前10项和S_10=_________。参考答案：125解析：S_10=10×(-5)+3×(10×9)/2=125。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=2^n-1，则h_6的值为_________。参考答案：63解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。验证n=1时h_1=S_1=1符合通项，故h_6=32。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+i_n^2，则i_4的值为_________。参考答案：25解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+i_n^2，可得i_2=1+1^2=2，i_3=2+2^2=6，i_4=6+6^2=42。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，公比q=-3，则该数列的前4项和S_4=_________。参考答案：20解析：S_4=2×(1-(-3)^4)/(1-(-3))=-20。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d（d为常数），则{a_n}一定是等差数列。（）参考答案：正确解析：等差数列的定义就是相邻两项之差为常数，故该命题正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则数列{b_n}是递增数列。（）参考答案：正确解析：由等比数列通项b_n=b_1q^{n-1}，当b_1>0，q>1时，n越大b_n越大，故数列递增。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则{c_n}是等差数列。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=2n，但c_1=S_1=2不符合通项，故{c_n}不是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=15，则2a_2=a_1+a_3。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质a_2=(a_1+a_3)/2，故2a_2=a_1+a_3。5.若数列{e_n}满足e_n=n^2，则{e_n}是等差数列。（）参考答案：错误解析：e_{n+1}-e_n=(n+1)^2-n^2=2n+1，不是常数，故{e_n}不是等差数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则公比q=3。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质f_4=f_2q^2，代入f_2=6，f_4=54得6q^2=54，解得q=3。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则{g_n}是等比数列。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，但g_1=S_1=1不符合通项，故{g_n}不是等比数列。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=-5，d=4，则a_10=35。（）参考答案：正确解析：a_10=-5+4×9=31。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=2i_n+i_n^2，则{i_n}是等比数列。（）参考答案：错误解析：i_{n+1}/i_n=(2+i_n)，不是常数，故{i_n}不是等比数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=3，q=2，则j_5=48。（）参考答案：正确解析：j_5=3×2^4=48。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。验证n=1时a_1=S_1=1符合通项，故a_n=6n-5。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=2，S_10=155，求公差d。解：S_10=10×2+10×9/2×d=155，解得d=3。3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，求c_10的值。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_{n+1}-c_n=2n。累加得c_n=c_1+2(1+2+…+(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1。代入n=10得c_{10}=100。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求e_5的值。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2n。验证n=1时e_1=T_1=2符合通项，故e_5=10。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n+1，求f_7的值。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+2n+1，可得f_{n+1}-f_n=2n+1。累加得f_n=f_1+2(1+2+…+(n-1))+(n-1)=3+n(n-1)+n-1=n^2+1。代入n=7得f_7=49+1=50。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=-5，公差d=3，求该数列的前10项和S_10。解：S_10=10×(-5)+3×(10×9)/2=125。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=2^n-1，求h_6的值。解：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。验证n=1时h_1=S_1=1符合通项，故h_6=32。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第10年的产量。解：由等差数列性质，产量每年增加200件，故第n年的产量a_n=1000+200(n-1)=200n+800。代入n=10得第10年产量为1800件。2.某城市人口增长率为每年10%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列性质，人口每年增长10%，故第n年的人口j_n=100×1.1^{n-1}。代入n=5得2025年人口为161.05万。3.某人存款计划，第一年存入1000元，以后每年比前一年多存100元，求第10年的存款金额。解：由等差数列性质，存款每年增加100元，故第n年的存款a_n=1000+100(n-1)=100n+900。代入n=10得第10年存款为1900元。4.某投资项目的回报率为每年20%，若初始投资为10000元，求第5年的投资价值。解：由等比数列性质，投资每年增长20%，故第n年的投资价值j_n=10000×1.2^{n-1}。代入n=5得第5年投资价值为24883元。5.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植50棵，求第8年的种植数量。解：由等差数列性质，种植数量每年增加50棵，故第n年的种植数量a_n=100+50(n-1)=50n+50。代入n=8得第8年种植数量为450棵。6.某公司员工工资每年上涨5%，若2020年工资为5000元，求202