2025-2026年天津市北师大版高一数学第9单元函数性质练习题

2025-2026年天津市北师大版高一数学第9单元函数性质练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间(-2,2)上的最大值是（）A.2√3B.4C.0D.-4解析：首先求导f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，计算f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，故最大值为2，选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.3C.0D.-3解析：分段函数f(x)在x=-2时取最小值3，选B。3.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值，则a的值是（）A.-1B.1C.2D.-2解析：对称轴x=-a=1，得a=-1，选A。4.函数f(x)=sin(x+π/3)的图像关于哪个点对称？（）A.(π/6,0)B.(π/3,0)C.(π/2,0)D.(2π/3,0)解析：周期函数f(x)的对称中心为(π/6+2kπ,0)，k∈Z，选A。5.函数f(x)=log₂(x²-2x+3)在区间[1,3]上的值域是（）A.[0,2]B.(0,2]C.[1,2]D.[0,3]解析：x²-2x+3在[1,3]上取值[2,6]，log₂(2)=1，log₂(6)≈2.58，值域为[1,2]，选C。6.函数f(x)=2cos²x-sin(2x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.4πD.8π解析：周期为min{π,2π}=π，选A。7.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值是（）A.3B.2C.1D.0解析：f'(1)=3-2=0，得a=2，选B。8.函数f(x)=e^x-1在区间(0,1)上的平均值是（）A.e-1B.e/2C.1D.ln2解析：平均值=(e^1-1)/1=e-1，选A。9.函数f(x)=tan(x-π/4)的图像经过点（）A.(π/4,1)B.(π/2,1)C.(3π/4,1)D.(π,1)解析：f(π)=tan(π-π/4)=-1，排除D；f(π/2)无定义，排除B；f(3π/4)=1，选C。10.函数f(x)=|x-1|•sin(x)在区间(0,2)上的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3解析：零点为x=1，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x²-4x+3的单调递增区间是_________。解：f'(x)=2x-4≥0，得x≥2，填[2,+∞)。2.函数f(x)=cos(2x+π/3)的图像向右平移φ个单位后为奇函数，则φ=_________。解：cos(2x-2φ+π/3)=sin(2x)，得-2φ+π/3=kπ+π/2，φ=-kπ/2-π/12，填π/6。3.函数f(x)=ln(x+1)在区间(0,1)上的凹凸性是_________。解：f''(x)=1/(x+1)²>0，填凹。4.函数f(x)=x³-3x+1的极值点是_________。解：f'(x)=3x²-3=0，得x=±1，填±1。5.函数f(x)=2sin(x+π/6)的振幅是_________。解：A=2，填2。6.函数f(x)=x²+2x+3在x=1处的切线方程是_________。解：f'(1)=4，切线方程y=4x，填y=4x。7.函数f(x)=e^x在区间(0,1)上的平均值是_________。解：平均值=(e-1)/1=e-1，填e-1。8.函数f(x)=tan(2x-π/4)的渐近线方程是_________。解：2x-π/4=kπ+π/2，x=kπ+3π/8，填x=kπ+3π/8。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是_________。解：f(-2)=3，填3。10.函数f(x)=sin(x+π/3)的对称轴方程是_________。解：x+π/3=kπ+π/2，x=kπ+π/6，填x=kπ+π/6。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在R上单调递增。（）解：f'(x)=3x²≥0，正确。2.函数f(x)=cos(x)的周期是π。（）解：周期为2π，错误。3.函数f(x)=ln(x²)在(0,1)上单调递减。（）解：f(x)=2ln|x|，f'(x)=2/x>0，正确。4.函数f(x)=x³-3x+1有三个零点。（）解：f'(x)=3x²-3=0，得x=±1，极值点为驻点，错误。5.函数f(x)=sin(x)的图像关于原点对称。（）解：sin(-x)=-sin(x)，正确。6.函数f(x)=e^x在R上无界。（）解：当x→+∞时e^x→+∞，正确。7.函数f(x)=tan(x)的图像有无数条渐近线。（）解：tan(x)在x=kπ+π/2无定义，正确。8.函数f(x)=|x|在R上处处可导。（）解：x=0处不可导，错误。9.函数f(x)=sin²x在[0,π]上单调递增。（）解：f(x)=1/2(1-cos(2x))，f'(x)=sin(2x)>0，正确。10.函数f(x)=x³-3x+1在x=0处取得极大值。（）解：f'(0)=0，f''(0)=-6<0，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-6x²+9x+1的单调区间。解：f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)，递增区间(1,3)，递减区间(-∞,1)∪(3,+∞)。2.求函数f(x)=sin(2x-π/4)的最小正周期。解：周期T=2π/|ω|=2π/2=π，填π。3.求函数f(x)=ln(x+1)在x=1处的切线方程。解：f(1)=ln2，f'(1)=1/2，切线方程y=1/2(x-1)+ln2。4.求函数f(x)=e^x在区间(0,1)上的平均值。解：平均值=(e-1)/1=e-1。5.求函数f(x)=tan(2x-π/4)的渐近线方程。解：2x-π/4=kπ+π/2，x=kπ+3π/8。6.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值。解：分段函数f(x)在x=-2时取最小值3。7.求函数f(x)=sin(x+π/3)的对称轴方程。解：x+π/3=kπ+π/2，x=kπ+π/6。8.求函数f(x)=x³-3x+1的极值点。解：f'(x)=3x²-3=0，得x=±1，极值点为±1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求其单调区间和极值点。解：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，递增区间(-∞,0)∪(2,+∞)，递减区间(0,2)，极大值点x=0，极小值点x=2。2.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，求其最小正周期和对称轴方程。解：周期T=π，对称轴x=kπ-π/6。3.已知函数f(x)=ln(x+1)，求其在x=1处的切线方程。解：切线方程y=1/2(x-1)+ln2。4.已知函数f(x)=e^x，求其在区间(0,1)上的平均值。解：平均值=(e-1)/1=e-1。5.已知函数f(x)=tan(2x-π/4)，求其渐近线方程。解：渐近线x=kπ+3π/8。6.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求其最小值。解：最小值为3，当x=-2时取得。7.已知函数f(x)=sin(x+π/3)，求其对称轴方程。解：对称轴x=kπ+π/6。8.已知函数f(x)=x³-3x+1，求其极值点。解：极值点为x=±1。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²+10x+100，求其边际成本函数。解：边际成本函数C'(x)=2x+10。2.某商品的需求函数为p=50-2x，求其收入函数R(x)。解：R(x)=xp=50x-2x²。3.某产品的成本函数为C(x)=x³-6x²+9x+5，求其边际成本函数。解：边际成本函数C'(x)=3x²-12x+9。4.某商品的需求函数为p=100-3x，求其收入函数R(x)。解：R(x)=xp=100x-3x²。5.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²+5x+50，求其边际成本函数。解：边际成本函数C'(x)=2x+5。6.某商品的需求函数为p=80-4x，求其收入函数R(x)。解：R(x)=xp=80x-4x²。7.某产品的成本函数为C(x)=x³-9x²+18x+10，求其边际成本函数。解：边际成本函数C'(x)=3x²-18x+18。8.某商品的需求函数为p=60-5x，求其收入函数R(x)。解：R(x)=xp=60x-5x²。9.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²+8x+80，求其边际成本函数。解：边际成本函数C'(x)=2x+8。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数单调性的判定方法。解：若f'(x)≥0，则f(x)单调递增；若f'(x)≤0，则f(x)单调递减。2.论述函数极值与最值的区别。解：极值是局部性质，最值是全局性质。3.论述函数周期性的定义。解：若存在T>0，使f(x+T)=f(x)，则f(x)周期函数。4.论述函数凹凸性的判定方法。解：若f''(x)>0，则f(x)凹；若f''(x)<0，则f(x)凸。5.论述函数渐近线的定义。解：当|x|→+∞时，若y=f(x)→y=kx+b，则y=kx+b为渐近线。6.论述函数零点的判定方法。解：若f(a)f(b)<0，则在(a,b)内存在零点。7.论述函数奇偶性的定义。解：若f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)奇函数。8.论述函数平均值的意义。解：函数在区间[a,b]上的平均值等于该区间上某常数函数的平均值。9.论述函数切线的定义。解：切线是过点(x₀,f(x₀))且斜率为f'(x₀)的直线。10.论述函数图像平移的规律。解：f(x+a)向左平移a个单位，f(x-a)向右平移a个单位。11.论述函数图像伸缩的规律。解：f(ax)周期缩短为原来的1/|a|，f(x/a)周期伸长为原来的|a|倍。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.C10.B解析：1.求导后判断极值点，比较端点值；2.分段函数在x=-2时取最小值；3.对称轴公式；4.奇函数条件；5.求导后判断单调性；6.周期公式；7.求导后判断极值点；8.平均值公式；9.分段函数最小值；10.零点判定。二、填空题1.[2,+∞)12.π/613.凹14.±115.216.y=4x17.e-118.x=kπ+3π/819.320.x=kπ+π/6解析：11.求导后判断单调区间；12.奇函数条件；13.求二阶导；14.求导后判断极值点；15.振幅公式；16.切线方程公式；17.平均值公式；18.渐近线公式；19.分段函数最小值；20.对称轴公式。三、判断题1.√22.×23.√24.×25.√26.√27.√28.×29.√30.√解析：21.求导后判断单调性；22.周期公式；23.求导后判断单调性；24.极值点与驻点关系；25.奇函数性质；26.无界性；27.渐近线公式；28.可导性；29.求导后判断单调性；30.极值点判定。四、简答题1.递增区间(1,3)，递减区间(-∞,1)∪(3,+∞)2.π3.y=1/2(x-1)+ln24.e-15.x=kπ+3π/86.37.x=kπ+π/68.±1解析：31-38均按对应公式和定理计算，注意符号和区间