2025-2026年考研数学线性代数二次型与特征值习题

2025-2026年考研数学线性代数二次型与特征值习题一、单项选择题（总共10题，每题2分，共20分）1.已知矩阵A的特征值为λ₁=2，λ₂=3，λ₃=-1，则矩阵A的行列式|A|等于多少？A.6B.-6C.12D.-12解析：矩阵的行列式等于其特征值的乘积，即|A|=λ₁λ₂λ₃=2×3×（-1）=-6。特征值乘积的符号由负特征值的个数决定，奇数个负特征值时行列式为负。2.若矩阵B可对角化，且其特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，则矩阵B的迹tr(B)等于多少？A.6B.5C.4D.3解析：矩阵的迹等于其特征值之和，即tr(B)=λ₁+λ₂+λ₃=1+2+3=6。迹是矩阵主对角线元素之和，与特征值和相等。3.设向量x是矩阵A的特征向量，对应特征值λ=2，若矩阵B=3A-2E，则向量x是否也是矩阵B的特征向量？A.是，对应特征值λ'=4B.是，对应特征值λ'=5C.否，因为B与A特征值不同D.无法确定解析：若x是A的特征向量，则Ax=λx，代入B=3A-2E得Bx=(3A-2E)x=3Ax-2x=3λx-2x=(3λ-2)x，即x也是B的特征向量，对应特征值λ'=3λ-2=4。4.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃，其对应的矩阵A的秩rank(A)等于多少？A.1B.2C.3D.4解析：二次型对应的矩阵A为A=⎡⎢⎣112321321⎤⎥⎦，通过行变换化为行阶梯形矩阵：⎡⎢⎣112321321⎤⎥⎦→⎡⎢⎣1001-1-1⎤⎥⎦，非零行数为3，故rank(A)=3。5.若二次型f(x₁,x₂,x₃)经正交变换化为标准形f=y₁²+2y₂²-3y₃²，则其对应矩阵A的特征值之和等于多少？A.0B.2C.-1D.3解析：正交变换不改变矩阵特征值之和，即tr(A)=λ₁+λ₂+λ₃=1+2+（-3）=0。标准形的系数即为特征值。6.设矩阵A的特征多项式为p(λ)=(λ-1)²(λ+2)，则矩阵A是否可对角化？A.可对角化，因无重根B.不可对角化，因有重根C.可对角化，因代数重数等于几何重数D.不可对角化，因特征值不全相异解析：特征值λ=1的重数为2，λ=-2的重数为1。若几何重数等于代数重数，则可对角化。需验证λ=1的特征子空间维数是否为2。7.若二次型f(x₁,x₂,x₃)的矩阵A经合同变换化为B=⎡⎢⎣1000-100⎤⎥⎦，则f的规范形为多少？A.y₁²-y₂²-y₃²B.y₁²+y₂²-y₃²C.y₁²-y₂²+y₃²D.y₁²+y₂²+y₃²解析：规范形中正负惯性指数由矩阵正负特征值个数决定。B有1个正特征值（1），2个负特征值（-1，-1），故规范形为y₁²-y₂²-y₃²。8.设矩阵A=⎡⎢⎣1001-1-1⎤⎥⎦，其特征值之积等于多少？A.-1B.1C.2D.-2解析：特征值之积等于行列式|A|。计算|A|：|A|=1×（-1）×1-1×（-1）×1=0，故特征值之积为0。9.若向量x₁=(1,1,1)和x₂=(1,-1,0)是矩阵A的分别属于特征值λ₁=2和λ₂=1的特征向量，则向量x₃=(1,1,-1)是否也是A的特征向量？A.是，对应特征值λ₃=-1B.是，对应特征值λ₃=0C.否，因线性无关D.无法确定解析：若x₁和x₂线性无关，则x₃可表示为x₁和x₂的线性组合，即x₃=αx₁+βx₂，代入Ax₁=λ₁x₁和Ax₂=λ₂x₂得Ax₃=αAx₁+βAx₂=αλ₁x₁+βλ₂x₂，但无法表示为λ₃x₃形式，故x₃不是特征向量。10.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)的矩阵A为实对称矩阵，且其特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，则f的最大值在何种情况下取到？A.当x₁=x₂=x₃=1时B.当x₁²+x₂²+x₃²=1时C.当x₁=x₂=1，x₃=0时D.当x₁=1，x₂=x₃=0时解析：实对称矩阵二次型的最大值等于最大特征值乘以单位化向量的系数平方和，即maxf=λ₃=3（当x₁²+x₂²+x₃²=1时取到）。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.若矩阵A=⎡⎢⎣1001-1-1⎤⎥⎦，则矩阵A的伴随矩阵adj(A)的元素a₁₁等于________。解析：adj(A)是由A的余子式构成的矩阵的转置，a₁₁=（-1）^(1+1)×|⎡⎢⎣-1-1⎤⎥⎦|=1。2.设向量x=(1,2,3)是矩阵A的特征向量，对应特征值λ=2，则矩阵B=2A-3E作用在x上得到的结果为________。解析：Bx=(2A-3E)x=2Ax-3x=2λx-3x=(4-3)x=2x。3.二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃对应的矩阵A的迹tr(A)等于________。解析：tr(A)=1+2+3=6。4.若矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，则矩阵A的转置矩阵Aᵀ的特征值集合为________。解析：矩阵与其转置的特征值相同，故为{1,2,3}。5.设二次型f(x₁,x₂,x₃)经正交变换化为标准形f=y₁²+2y₂²-3y₃²，则其对应矩阵A的行列式|A|等于________。解析：|A|=1×2×（-3）=-6。6.若矩阵B可对角化，且其特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，则矩阵B的行列式|B|等于________。解析：|B|=1×2×3=6。7.设向量x₁=(1,1,1)和x₂=(1,-1,0)是矩阵A的分别属于特征值λ₁=2和λ₂=1的特征向量，则向量x₃=(1,1,-1)与x₁、x₂的线性关系为________。解析：x₃=2x₁+x₂，故x₃与x₁、x₂线性相关。8.若二次型f(x₁,x₂,x₃)的矩阵A经合同变换化为B=⎡⎢⎣1000-100⎤⎥⎦，则f的负惯性指数为________。解析：B有2个负特征值，故负惯性指数为2。9.设矩阵A=⎡⎢⎣1001-1-1⎤⎥⎦，其特征值之积等于________。解析：|A|=0，故特征值之积为0。10.若向量x=(1,1,1)是矩阵A的特征向量，对应特征值λ=2，则矩阵B=3A-4E作用在x上得到的结果为________。解析：Bx=(3A-4E)x=3Ax-4x=3λx-4x=(6-4)x=2x。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.若矩阵A的特征值全为正，则其对应的二次型f(x₁,x₂,x₃)一定是正定二次型。（正确）解析：正定二次型要求所有特征值正且矩阵可逆，此处未说明可逆性，但正特征值是必要条件。2.若向量x是矩阵A的特征向量，则x也是矩阵A²的特征向量。（正确）解析：Ax=λx⇒A²x=A(Ax)=A(λx)=λAx=λ²x。3.若矩阵A可对角化，则其特征值必全相异。（错误）解析：A可对角化只需几何重数等于代数重数，特征值可重复，如λ=2的重数为2时仍可对角化。4.若二次型f(x₁,x₂,x₃)的矩阵A经合同变换化为B=⎡⎢⎣1000-100⎤⎥⎦，则f的规范形唯一。（正确）解析：合同变换不改变惯性指数，规范形唯一。5.设矩阵A=⎡⎢⎣1001-1-1⎤⎥⎦，则矩阵A的特征值之积等于其行列式|A|。（正确）解析：特征值之积等于行列式，|A|=0，特征值之积为0。6.若向量x₁=(1,1,1)和x₂=(1,-1,0)是矩阵A的分别属于特征值λ₁=2和λ₂=1的特征向量，则向量x₃=(1,1,-1)也是A的特征向量。（错误）解析：x₃=2x₁+x₂，不是特征向量。7.实对称矩阵的特征值必为实数。（正确）解析：实对称矩阵的特征值是实数，这是谱定理的结论。8.若二次型f(x₁,x₂,x₃)的矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，则f的最大值一定大于其最小值。（正确）解析：最大值λ₃=3，最小值λ₁=1，3>1。9.设矩阵A=⎡⎢⎣1001-1-1⎤⎥⎦，则矩阵A的伴随矩阵adj(A)的特征值集合为{-1,-2,-3}。（错误）解析：adj(A)的特征值为|A|/λ，|A|=0，特征值不存在。10.若向量x=(1,1,1)是矩阵A的特征向量，对应特征值λ=2，则矩阵B=2A-3E作用在x上得到的结果为2x。（正确）解析：Bx=(2A-3E)x=2Ax-3x=2λx-3x=2x。四、简答题（总共8题，每题2分，共16分）1.简述矩阵特征值与特征向量的定义及其几何意义。解析：定义：若Ax=λx，则λ为特征值，x为特征向量。几何意义：特征向量方向经变换后不变，仅伸缩λ倍。2.判断二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃是否正定，并说明理由。解析：矩阵A=⎡⎢⎣112321321⎤⎥⎦，计算顺序主子式：Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=|A|=0，故不正定。3.若矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，求矩阵A的迹tr(A)和行列式|A|。解析：tr(A)=1+2+3=6，|A|=1×2×3=6。4.设向量x₁=(1,1,1)和x₂=(1,-1,0)是矩阵A的分别属于特征值λ₁=2和λ₂=1的特征向量，问向量x₃=(1,1,-1)是否也是A的特征向量？解析：x₃=2x₁+x₂，代入Ax₁=2x₁，Ax₂=x₂得Ax₃=2Ax₁+Ax₂=4x₁+x₂≠λ₃x₃，故不是特征向量。5.解释实对称矩阵正交对角化的条件及过程。解析：条件：实对称矩阵必可正交对角化。过程：1）求特征值；2）求正交特征向量；3）构造正交矩阵P使PᵀAP=diag(λ₁,λ₂,...)。6.若二次型f(x₁,x₂,x₃)的矩阵A经合同变换化为B=⎡⎢⎣1000-100⎤⎥⎦，求f的规范形。解析：B有1个正特征值（1），2个负特征值（-1，-1），故规范形为y₁²-y₂²-y₃²。7.设矩阵A=⎡⎢⎣1001-1-1⎤⎥⎦，求其特征值及特征向量。解析：特征方程|A-λE|=0⇒λ³-4λ²+4λ=0⇒λ(λ-2)²=0，特征值为λ₁=0，λ₂=λ₃=2。对λ₁=0，解（A-0E)x=0得特征向量x₁=(1,1,1)；对λ₂=2，解（A-2E)x=0得特征向量x₂=(1,0,1),x₃=(0,1,1)。8.解释二次型f(x₁,x₂,x₃)经正交变换化为标准形的条件及意义。解析：条件：f对应的矩阵A为实对称矩阵。意义：标准形f=y₁²+2y₂²-3y₃²中系数为A的特征值，表示f在正交基下的最简形式。五、应用题（总共8题，每题4分，共24分）1.已知矩阵A=⎡⎢⎣112321321⎤⎥⎦，求其特征值，并判断是否可对角化。解析：特征方程|A-λE|=0⇒λ³-6λ²+11λ-6=0⇒(λ-1)(λ-2)²=0，特征值为λ₁=1，λ₂=λ₃=2。对λ₂=2，解（A-2E)x=0得特征向量x₂=(1,0,1),x₃=(0,1,1)，线性无关，故可对角化。2.设向量x=(1,2,3)是矩阵A的特征向量，对应特征值λ=2，求A²作用在x上的结果。解析：A²x=A(Ax)=A(λx)=λAx=λ²x=4x=(4,8,12)。3.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃，求其矩阵A的特征值之和及行列式。解析：矩阵A=⎡⎢⎣112321321⎤⎥⎦，tr(A)=1+2+3=6，|A|=0。4.设矩阵B=3A-4E，其中A=⎡⎢⎣1001-1-1⎤⎥⎦，求B的特征值。解析：B的特征值等于3λ-4，即λ₁=-1，λ₂=2，λ₃=2对应B的特征值分别为-7，2，2。5.若二次型f(x₁,x₂,x₃)的矩阵A经合同变换化为B=⎡⎢⎣1000-100⎤⎥⎦，求f的最大值和最小值。解析：B有1个正特征值（1），2个负特征值（-1，-1），故f的最大值为1，最小值为-1。6.设向量x₁=(1,1,1)和x₂=(1,-1,0)是矩阵A的分别属于特征值λ₁=2和λ₂=1的特征向量，求A作用在x₃=(1,1,-1)上的结果。解析：x₃=2x₁+x₂，Ax₃=2Ax₁+Ax₂=4x₁+x₂=（4,4,4）+（1,-1,0）=（5,3,4）。7.若二次型f(x₁,x₂,x₃)的矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，求其规范形。解析：B有1个正特征值（3），2个负特征值（1，2），故规范形为y₁²-y₂²-y₃²。8.设矩阵A=⎡⎢⎣1001-1-1⎤⎥⎦，求其逆矩阵A⁻¹（若存在）。解析：|A|=0，A不可逆。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.A4.C5.A6.C7.A8.D9.D10.B二、填空题1.