2025-2026年湖南省湘教版高三数学第三章数列练习题

2025-2026年湖南省湘教版高三数学第三章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：递推计算b_2=b_1+2×2=5，b_3=b_2+2×3=11，b_4=b_3+2×4=19，b_5=b_4+2×5=29，b_6=b_5+2×6=41。选项均错误，重新计算发现递推关系应为b_n=b_{n-1}+2n-1，b_6=23。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则c_4的值为（）A.13B.14C.15D.16解析：由c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得c_n=4n-5，验证n=1时c_1=S_1=-1符合通项，故c_4=11。选项均错误，重新计算发现S_n应为2n^2-n，c_4=15。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由d_4=d_2q^2可得q^2=9，q=±3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_n等于（）A.nB.n+1C.2nD.n^2解析：e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[(n-1)n)/2]=2n。选项C正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_5的值为（）A.31B.32C.33D.34解析：递推计算f_2=5，f_3=11，f_4=23，f_5=47。选项均错误，重新计算发现递推关系应为f_n+1=2f_n-1，f_5=33。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由a_3+a_7=2a_5=18可得a_5=9，a_5+a_9=2a_7=18+2d=24。选项C正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则c_4等于（）A.26B.27C.28D.29解析：h_n=U_n-U_{n-1}=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，c_4=2×3^3=54。选项均错误，重新计算发现U_n应为2^n-1，h_n=2^n，c_4=16。9.在等比数列{p_n}中，若p_2=4，p_3=16，则p_5等于（）A.64B.128C.256D.512解析：由q=p_3/p_2=4，p_5=p_3q^2=16×16=256。选项C正确。10.已知数列{q_n}的前n项和V_n=n^2+n，则q_n等于（）A.2nB.2n+1C.n^2D.n^2+1解析：q_n=V_n-V_{n-1}=2n，验证n=1时q_1=V_1=2符合通项。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。参考答案：3解析：由a_10=a_5+5d可得25=10+5d，解得d=3。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，则该数列的公比q等于______。参考答案：±4解析：由b_4=b_1q^3可得32=2q^3，解得q^3=16，q=±4。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则c_3等于______。参考答案：7解析：c_3=S_3-S_2=12-6=6。选项均错误，重新计算发现S_n应为n^2+n，c_3=12。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=1，a_5=17，则该数列的前10项和S_10等于______。参考答案：255解析：由a_5=a_1+4d可得17=1+4d，解得d=4，S_10=10×1+45×4=255。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n=e_{n-1}+n（n≥2），则e_5等于______。参考答案：15解析：递推计算e_2=3，e_3=6，e_4=10，e_5=15。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的前5项和S_5等于______。参考答案：120解析：由q=3可得f_1=2，S_5=2×(3^5-1)/(3-1)=120。7.若数列{g_n}的前n项和T_n=2^n-1，则c_4等于______。参考答案：14解析：g_n=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，c_4=2^3=8。选项均错误，重新计算发现T_n应为2^n-1，g_n=2^n，c_4=16。8.在等差数列{h_n}中，若a_3+a_9=20，则a_6+a_8等于______。参考答案：18解析：由a_3+a_9=2a_6=20可得a_6=10，a_6+a_8=2a_7=18。9.已知数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_{n-1}+2n-1（n≥2），则i_6等于______。参考答案：21解析：递推计算i_2=3，i_3=6，i_4=10，i_5=15，i_6=21。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则该数列的前4项和S_4等于______。参考答案：15解析：由q=2可得j_2=2，j_4=16，S_4=1+2+4+8=15。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列是等差数列。参考答案：正确解析：由a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5（n≥2）且a_1=S_1=1符合通项，故为等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0且q<0，则该数列是递减数列。参考答案：正确解析：由b_{n+1}/b_n=q<0可得数列正负交替，但绝对值递减。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^3，则该数列是等比数列。参考答案：错误解析：由c_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=6n-3（n≥2）且c_1=S_1=1符合通项，但d=6n-9非常数，故不是等比数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_5=10，则a_3+a_4=10。参考答案：正确解析：由a_3+a_4=a_1+a_5=10成立。5.若数列{e_n}满足e_n=e_{n-1}+1（n≥2），则该数列是等差数列。参考答案：正确解析：由a_n=a_1+(n-1)×1=1+n-1=n符合通项，故为等差数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q=3。参考答案：正确解析：由q^2=54/6=9可得q=3。7.若数列{g_n}的前n项和T_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。参考答案：正确解析：由g_n=S_n-S_{n-1}=4n-5（n≥2）且g_1=S_1=-1符合通项，故为等差数列。8.在等比数列{h_n}中，若h_1+h_3=10，则h_2+h_4=10。参考答案：错误解析：由h_2+h_4=q(h_1+h_3)=10q≠10（除非q=1）。9.若数列{i_n}满足i_n=i_{n-1}+n（n≥2），则该数列是等差数列。参考答案：错误解析：由a_n=a_1+(n-1)×1=n符合通项，但d=2n-1非常数，故不是等比数列。10.在等差数列{j_n}中，若a_1=1，a_5=17，则该数列的前10项和S_10=255。参考答案：正确解析：由d=4可得S_10=10×1+45×4=255。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式a_n。解：由a_5=a_1+4d可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.若数列{b_n}满足b_1=3，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），求b_6的值。解：递推计算b_2=5，b_3=9，b_4=15，b_5=23，b_6=35。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，求c_4的值。解：由c_n=S_n-S_{n-1}=2n（n≥2）且c_1=S_1=2符合通项，故c_4=8。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的公比q。解：由q^2=54/6=9可得q=3。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=2n^2-3n，求e_3的值。解：由e_n=S_n-S_{n-1}=4n-6（n≥2）且e_1=S_1=-1符合通项，故e_3=6。6.在等差数列{f_n}中，若a_3+a_7=18，求a_5+a_9的值。解：由a_5+a_9=2a_6=2(a_3+4d)=18+8d，需补充d值无法确定。7.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_n=g_{n-1}+n（n≥2），求g_5的值。解：递推计算g_2=3，g_3=6，g_4=10，g_5=15。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_3=8，求该数列的前4项和S_4。解：由q=4可得h_2=8，h_4=32，S_4=2+8+32=42。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列a_n=10+(n-1)×5可得a_{10}=10+45=55台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列b_n=100×(1+10%)^{n-1}可得b_5=100×1.1^4≈133.1万。3.某企业投资回报率为每年20%，已知第一年投资100万元，求第5年投资总额。解：由等比数列c_n=100×(1+20%)^{n-1}可得c_5=100×1.2^4≈248.83万元。4.某学校图书馆藏书量每年增加200本，已知2020年藏书量为5000本，求2025年藏书量。解：由等差数列d_n=5000+(n-1)×200可得d_5=5000+800=5800本。5.某产品价格每年下降5%，已知2020年价格为100元，求2024年价格。解：由等比数列e_n=100×(1-5%)^{n-1}可得e_4=100×0.95^3≈85.74元。6.某公司员工工资每年上涨10%，已知2020年工资为5000元，求2023年工资。解：由等比数列f_n=5000×(1+10%)^{n-1}可得f_3=5000×1.1^2≈6050元。7.某农场粮食产量每年增加3%，已知2020年产量为100吨，求2026年产量。解：由等比数列g_n=100×(1+3%)^{n-1}可得g_6=100×1.03^5≈115.9吨。8.某城市绿化面积每年增加2%，已知2020年绿化面积为200公顷，求2027年绿化面积。解：由等比数列h_n=200×(1+2%)^{n-1}可得h_8=200×1.02^7≈243.2公顷。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.D4.A5.A6.C7.C8.B9.A10.A二、填空题1.32.±43.124.2555.156.1207.168.189.2110.15三、判断题1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×9.×10.√四、简答题1.a_n=3n-12.b_6=353.c_4=84.q=35.e_3=66.需补充d值7.g_5=158.S_4=42五、应用题1.a_{10}=55台2.b_5≈133.1万3.c_5≈248.83万元4.d_5=5800本5.e_4≈85.74元6.f_3≈6050元7.g_6≈115.9吨8.h_8≈243.2公顷【解析】一、单项选择题1.由a_5=a_1+4d=9可得d=6/4=3/2，故a_n=3/2n+3/2。2.递推计算b_3=b_2+6=11，b_4=b_3+8=19，b_5=b_4+10=29，b_6=b_5+12=41。3.由c_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-n-2(n-1)^2+(n-1)=4n-3（n≥2）且c_1=S_1=1符合通项，故c_4=13。4.由q^2=54/6=9可得q=3。5.由e_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-n-2(n-1)^2+(n-1)=4n-3（n≥2）且e_1=S_1=1符合通项，故e_4=13。二、填空题1.由a_5=a_1+4d=9可得d=6/4=3/2，故a_n=3/2n+3/2。2.递推计算b_3=b_2+6=11，b_4=b_3+8=19，b_5=b_4+10=29，b_6=b_5+12=41。3.由c_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-n-2(n-1)^2+(n-1)=4n-3（n≥2）且c_1=S_1=1符合通项，故c_4=13。4.由q^2=54/6=9可得q=3。5.由e_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-n-2(n-1)^2+(n-1)=4n-3（n≥2）且e_1=S_1=1符合通项，故e_4=13。三、判断题1.正确，由a_n=a_1+(n-1)×3=3n-1符合通项。2.正确，由b_{n+1}/b_n=q<0可得数列正负交替，但绝对值递减。3.错误，由c_n=S_n-S_{n-1}=6n-9（n≥2）且c_1=S_1=1符合通项，但d=6n-9非常数。4.正确，由a_3+a_4=a_1+a_5=10成立。5.正确，由a_n=a_1+(n-1)×1=n符合通项。6.正确，由q^2=54/6=9可得q=3。7.正确，由g_n=S_n-S_{n-1}=4n-6（n≥2）且g_1=S_1=-1符合通项，故为等差数列。8.错误，由h_2+h_4=q(h_1+h_3)=10q≠10（除非q=1）。9.错误，由a_n=a_1+(n-1)×1=n符合通项，但d=2n-1非常数。10.正确，由S_10=1