2025-2026年考研数学一线性代数实对称矩阵习题

2025-2026年考研数学一线性代数实对称矩阵习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设A为n阶实对称矩阵，且满足A²=A，则下列关于A的性质中，正确的是（）A.A的特征值只能为1或-1B.A的秩等于其非零特征值的个数C.A一定可对角化，但未必正定D.A的任意特征向量对应的特征值必为正数2.已知实对称矩阵A的特征值为λ₁=3，λ₂=1，λ₃=-1，对应的特征向量分别为α₁=(1,1,1)ᵀ，α₂=(1,-1,0)ᵀ，α₃=(1,1,-2)ᵀ，则矩阵A在正交相似变换下可化为对角矩阵D，下列关于D的表述中，正确的是（）A.D的对角元按任意顺序排列均可B.D的对角元必须按λ₁≥λ₂≥λ₃的顺序排列C.D的对角元之和等于矩阵A的迹D.D的对角元平方和等于矩阵A的行列式3.设B为n阶实对称正定矩阵，若矩阵C=AB满足C的特征值均为正数，则下列关于矩阵B的结论中，正确的是（）A.B的特征值必全为正数B.B的行列式必大于零C.B的任意特征向量对应的特征值必为正数D.B一定可逆，但未必正定4.已知实对称矩阵A满足A²-3A+2I=0，且A的秩为2，则下列关于矩阵A的结论中，正确的是（）A.A的特征值必为1和2B.A的行列式必为0C.A一定可对角化D.A的任意特征向量必正交5.设A为n阶实对称矩阵，且满足A的特征值均为正数，则下列关于A的结论中，正确的是（）A.A的任意特征向量对应的特征值必为正数B.A的行列式必大于零C.A一定可逆，但未必正定D.A的任意特征向量必正交6.已知实对称矩阵A的特征值为λ₁=2，λ₂=1，λ₃=-1，对应的特征向量分别为α₁=(1,0,1)ᵀ，α₂=(0,1,1)ᵀ，α₃=(1,1,0)ᵀ，则矩阵A在正交相似变换下可化为对角矩阵D，下列关于D的表述中，正确的是（）A.D的对角元按任意顺序排列均可B.D的对角元必须按λ₁≥λ₂≥λ₃的顺序排列C.D的对角元之和等于矩阵A的迹D.D的对角元平方和等于矩阵A的行列式7.设B为n阶实对称正定矩阵，若矩阵C=AB满足C的特征值均为正数，则下列关于矩阵B的结论中，正确的是（）A.B的特征值必全为正数B.B的行列式必大于零C.B的任意特征向量对应的特征值必为正数D.B一定可逆，但未必正定8.已知实对称矩阵A满足A²-4A+3I=0，且A的秩为3，则下列关于矩阵A的结论中，正确的是（）A.A的特征值必为1和3B.A的行列式必为0C.A一定可对角化D.A的任意特征向量必正交9.设A为n阶实对称矩阵，且满足A的特征值均为正数，则下列关于A的结论中，正确的是（）A.A的任意特征向量对应的特征值必为正数B.A的行列式必大于零C.A一定可逆，但未必正定D.A的任意特征向量必正交10.已知实对称矩阵A的特征值为λ₁=3，λ₂=2，λ₃=1，对应的特征向量分别为α₁=(1,1,1)ᵀ，α₂=(1,-1,0)ᵀ，α₃=(1,1,-1)ᵀ，则矩阵A在正交相似变换下可化为对角矩阵D，下列关于D的表述中，正确的是（）A.D的对角元按任意顺序排列均可B.D的对角元必须按λ₁≥λ₂≥λ₃的顺序排列C.D的对角元之和等于矩阵A的迹D.D的对角元平方和等于矩阵A的行列式二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设A为n阶实对称矩阵，若A的特征值均为正数，则称A为______矩阵。2.已知实对称矩阵A的特征值为λ₁=2，λ₂=1，λ₃=-1，则矩阵A的迹为______。3.设B为n阶实对称正定矩阵，若矩阵C=AB满足C的特征值均为正数，则矩阵B的行列式______。4.已知实对称矩阵A满足A²-5A+6I=0，且A的秩为2，则矩阵A的行列式______。5.设A为n阶实对称矩阵，且满足A的特征值均为正数，则矩阵A的行列式______。6.已知实对称矩阵A的特征值为λ₁=3，λ₂=2，λ₃=1，则矩阵A的迹为______。7.设B为n阶实对称正定矩阵，若矩阵C=AB满足C的特征值均为正数，则矩阵B的秩______。8.已知实对称矩阵A满足A²-6A+5I=0，且A的秩为3，则矩阵A的行列式______。9.设A为n阶实对称矩阵，且满足A的特征值均为正数，则矩阵A的迹______。10.已知实对称矩阵A的特征值为λ₁=4，λ₂=3，λ₃=2，则矩阵A的行列式______。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将判断结果填在题后的括号内，正确的填“√”，错误的填“×”。）1.设A为n阶实对称矩阵，若A的特征值均为正数，则A一定可逆。（）2.已知实对称矩阵A的特征值为λ₁=2，λ₂=1，λ₃=-1，则矩阵A在正交相似变换下可化为对角矩阵D，且D的对角元按任意顺序排列均可。（）3.设B为n阶实对称正定矩阵，若矩阵C=AB满足C的特征值均为正数，则矩阵B的特征值必全为正数。（）4.已知实对称矩阵A满足A²-4A+3I=0，且A的秩为3，则矩阵A的行列式必为0。（）5.设A为n阶实对称矩阵，且满足A的特征值均为正数，则A一定正定。（）6.已知实对称矩阵A的特征值为λ₁=3，λ₂=2，λ₃=1，则矩阵A在正交相似变换下可化为对角矩阵D，且D的对角元按任意顺序排列均可。（）7.设B为n阶实对称正定矩阵，若矩阵C=AB满足C的特征值均为正数，则矩阵B的行列式必大于零。（）8.已知实对称矩阵A满足A²-5A+6I=0，且A的秩为2，则矩阵A的行列式必为0。（）9.设A为n阶实对称矩阵，且满足A的特征值均为正数，则A的任意特征向量必正交。（）10.已知实对称矩阵A的特征值为λ₁=4，λ₂=3，λ₃=2，则矩阵A在正交相似变换下可化为对角矩阵D，且D的对角元按任意顺序排列均可。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡上。）1.请简述实对称矩阵的特征值性质。2.请简述实对称矩阵的正定性定义及其判定条件。3.请简述实对称矩阵的相似对角化条件。4.请简述实对称矩阵的特征向量性质。5.请简述实对称矩阵的合同变换定义及其性质。6.请简述实对称矩阵的二次型表示及其正定性判定。7.请简述实对称矩阵的谱分解定理及其应用。8.请简述实对称矩阵在几何空间中的意义。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡上。）1.已知实对称矩阵A如下，求矩阵A的特征值和特征向量：A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}2.已知实对称矩阵A如下，求矩阵A在正交相似变换下的对角矩阵：A=\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}3.已知实对称矩阵A如下，判断矩阵A是否正定：A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}4.已知实对称矩阵A如下，求矩阵A的二次型表示：A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}5.已知实对称矩阵A如下，求矩阵A的谱分解：A=\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}6.已知实对称矩阵A如下，求矩阵A的合同变换矩阵P，使得PᵀAP为对角矩阵：A=\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}7.已知实对称矩阵A如下，求矩阵A的特征值和特征向量：A=\begin{bmatrix}5&4\\4&5\end{bmatrix}8.已知实对称矩阵A如下，判断矩阵A是否正定：A=\begin{bmatrix}4&1\\1&4\end{bmatrix}【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由A²=A可知，A为幂等矩阵，其特征值必为1或0。结合实对称矩阵特征值为实数的性质，A的特征值只能为1或0，故A的秩等于其非零特征值的个数。因此，正确选项为B。2.C解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由题意，矩阵A的特征值为λ₁=3，λ₂=1，λ₃=-1，对应的特征向量分别为α₁=(1,1,1)ᵀ，α₂=(1,-1,0)ᵀ，α₃=(1,1,-2)ᵀ。根据实对称矩阵的性质，矩阵A在正交相似变换下可化为对角矩阵D，且D的对角元为A的特征值。因此，D的对角元之和等于矩阵A的迹，即3+1+(-1)=3。因此，正确选项为C。3.B解析：实对称正定矩阵的特征值必全为正数。由题意，矩阵C=AB的特征值均为正数，则矩阵C为正定矩阵。根据矩阵乘积的性质，AB为正定矩阵，则A和B都必须为正定矩阵。因此，B的行列式必大于零。因此，正确选项为B。4.C解析：由A²-3A+2I=0可得，A的特征多项式为f(λ)=λ²-3λ+2，解得特征值为λ₁=1，λ₂=2。由于A的秩为2，则A的特征值必为1和2，且重数为1。因此，A一定可对角化。因此，正确选项为C。5.B解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由题意，A的特征值均为正数，则A的行列式为正数。因此，正确选项为B。6.C解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由题意，矩阵A的特征值为λ₁=2，λ₂=1，λ₃=-1，对应的特征向量分别为α₁=(1,0,1)ᵀ，α₂=(0,1,1)ᵀ，α₃=(1,1,0)ᵀ。根据实对称矩阵的性质，矩阵A在正交相似变换下可化为对角矩阵D，且D的对角元为A的特征值。因此，D的对角元之和等于矩阵A的迹，即2+1+(-1)=2。因此，正确选项为C。7.B解析：实对称正定矩阵的特征值必全为正数。由题意，矩阵C=AB的特征值均为正数，则矩阵C为正定矩阵。根据矩阵乘积的性质，AB为正定矩阵，则A和B都必须为正定矩阵。因此，B的行列式必大于零。因此，正确选项为B。8.C解析：由A²-4A+3I=0可得，A的特征多项式为f(λ)=λ²-4λ+3，解得特征值为λ₁=1，λ₂=3。由于A的秩为3，则A的特征值必为1和3，且重数为1。因此，A一定可对角化。因此，正确选项为C。9.B解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由题意，A的特征值均为正数，则A的行列式为正数。因此，正确选项为B。10.C解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由题意，矩阵A的特征值为λ₁=3，λ₂=2，λ₃=1，对应的特征向量分别为α₁=(1,1,1)ᵀ，α₂=(1,-1,0)ᵀ，α₃=(1,1,-1)ᵀ。根据实对称矩阵的性质，矩阵A在正交相似变换下可化为对角矩阵D，且D的对角元为A的特征值。因此，D的对角元之和等于矩阵A的迹，即3+2+1=6。因此，正确选项为C。二、填空题1.正定解析：实对称矩阵的特征值均为正数，则称A为正定矩阵。2.4解析：矩阵A的迹为其特征值之和，即2+1+(-1)=2。3.必大于零解析：实对称正定矩阵的特征值必全为正数。由题意，矩阵C=AB的特征值均为正数，则矩阵C为正定矩阵。根据矩阵乘积的性质，AB为正定矩阵，则A和B都必须为正定矩阵。因此，B的行列式必大于零。4.0解析：由A²-5A+6I=0可得，A的特征多项式为f(λ)=λ²-5λ+6，解得特征值为λ₁=2，λ₂=3。由于A的秩为2，则A的特征值必为2和3，且重数为1。因此，A的行列式为2×3=6，但题目要求A的秩为2，则A的行列式必为0。5.必大于零解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由题意，A的特征值均为正数，则A的行列式为正数。6.6解析：矩阵A的迹为其特征值之和，即3+2+1=6。7.必大于零解析：实对称正定矩阵的特征值必全为正数。由题意，矩阵C=AB的特征值均为正数，则矩阵C为正定矩阵。根据矩阵乘积的性质，AB为正定矩阵，则A和B都必须为正定矩阵。因此，B的秩必大于零。8.0解析：由A²-6A+5I=0可得，A的特征多项式为f(λ)=λ²-6λ+5，解得特征值为λ₁=1，λ₂=5。由于A的秩为3，则A的特征值必为1和5，且重数为1。因此，A的行列式为1×5=5，但题目要求A的秩为3，则A的行列式必为0。9.6解析：矩阵A的迹为其特征值之和，即正数+正数+正数=6。10.24解析：矩阵A的行列式为其特征值的乘积，即4×3×2=24。三、判断题1.√解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由题意，A的特征值均为正数，则A的行列式为正数，因此A一定可逆。2.×解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由题意，矩阵A的特征值为λ₁=2，λ₂=1，λ₃=-1，则矩阵A在正交相似变换下可化为对角矩阵D，且D的对角元为A的特征值。因此，D的对角元必须按λ₁≥λ₂≥λ₃的顺序排列。3.√解析：实对称正定矩阵的特征值必全为正数。由题意，矩阵C=AB的特征值均为正数，则矩阵C为正定矩阵。根据矩阵乘积的性质，AB为正定矩阵，则A和B都必须为正定矩阵。因此，B的特征值必全为正数。4.×解析：由A²-4A+3I=0可得，A的特征多项式为f(λ)=λ²-4λ+3，解得特征值为λ₁=1，λ₂=3。由于A的秩为3，则A的特征值必为1和3，且重数为1。因此，A的行列式为1×3=3，不为0。5.√解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由题意，A的特征值均为正数，则A的行列式为正数，因此A一定正定。6.×解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由题意，矩阵A的特征值为λ₁=3，λ₂=2，λ₃=1，则矩阵A在正交相似变换下可化为对角矩阵D，且D的对角元为A的特征值。因此，D的对角元必须按λ₁≥λ₂≥λ₃的顺序排列。7.√解析：实对称正定矩阵的特征值必全为正数。由题意，矩阵C=AB的特征值均为正数，则矩阵C为正定矩阵。根据矩阵乘积的性质，AB为正定矩阵，则A和B都必须为正定矩阵。因此，B的行列式必大于零。8.×解析：由A²-5A+6I=0可得，A的特征多项式为f(λ)=λ²-5λ+6，解得特征值为λ₁=2，λ₂=3。由于A的秩为2，则A的特征值必为2和3，且重数为1。因此，A的行列式为2×3=6，不为0。9.√解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由题意，A的特征值均为正数，则A的任意特征向量必正交。10.×解析：实对称矩阵的特征值必为实数，且特征向量正交。由题意，矩阵A的特征值为λ₁=4，λ₂=3，λ₃=2，则矩阵A在正交相似变换下可化为对角矩阵D，且D的对角元为A的特征值。因此，D的对角元必须按λ₁≥λ₂≥λ₃的顺序排列。四、简答题1.实对称矩阵的特征值性质：-实对称矩阵的特征值必为实数-实对称矩阵的特征向量正交-实对称矩阵一定可对角化-实对称矩阵的迹等于其特征值之和-实对称矩阵的行列式等于其特征值的乘积2.实对称矩阵的正定性定义及其判定条件：-定义：实对称矩阵A，若对于任意非零向量x，有xᵀAx>0，则称A为正定矩阵-判定条件：-A的特征值均为正数-A的行列式大于零-A的任意主子式大于零-A可以表示为正定矩阵的合同变换3.实对称矩阵的相似对角化条件：-实对称矩阵一定可对角化-对角化方法：通过正交相似变换，将实对称矩阵化为对角矩阵-对角化步骤：4.求矩阵的特征值和特征向量5.将特征向量正交规范化6.构造正交矩阵P，使得PᵀAP为对角矩阵7.实对称矩阵的特征向量性质：-实对称矩阵的特征向量正交-实对称矩阵的任意特征向量对应的特征值必为实数-实对称矩阵的特征向量可以构成正交基8.实对称矩阵的合同变换定义及其性质：-定义：存在可逆矩阵P，使得PᵀAP=B，则称A与B合同-性质：-合同变换不改变矩阵的正定性-合同变换不改变矩阵的秩-合同变换不改变矩阵的特征值9.实对称矩阵的二次型表示及其正定性判定：-二次型表示：实对称矩阵A可以表示为二次型xᵀAx-正定性判定：-A的特征值均为正数-A的行列式大于零-A的任意主子式大于零10.实对称矩阵的谱分解定理及其应用：-谱分解定理：实对称矩阵A可以表示为A=QΛQᵀ，其中Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵-应用：-求矩阵的逆-求矩阵的幂-求矩阵的特征值和特征向量11.实对称矩阵在几何空间中的意义：-实对称矩阵可以表示几何空间中的二次曲面-实对称矩阵的特征值表示二次曲面的主曲率-实对称矩阵的特征向量表示二次曲面的主方向五、应用题1.已知实对称矩阵A如下，求矩阵A的特征值和特征向量：A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}解：-特征多项式：f(λ)=λ²-4λ+3-特征值：λ₁=1，λ₂=3-特征向量：-对应λ₁=1的特征向量：α₁=(1,-1)ᵀ-对应λ₂=3的特征向量：α₂=(1,1)ᵀ2.已知实对称矩阵A如下，求矩阵A在正交相似变换下的对角矩阵：A=\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}解：-特征多项式：f(λ)=λ²-2λ-3-特征值：λ₁=3，λ₂=-1-特征向量：-对应λ₁=3的特征向量：α₁=(1,1)ᵀ-对应λ₂=-1的特征向量：α₂=(1,-1)ᵀ-正交规范化：-β₁=(1/√2,1/√2)ᵀ-β₂=(1/√2,-1/√2)ᵀ-正交矩阵P：-P=\begin{bmatrix}1/√2&1/√2\\1/√2&-1/√2\end{bmatrix}-对角矩阵D：-D=\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix}3.已知实对称矩阵A如下，判断矩阵A是否正定：A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}解：-特征多项式：f(λ)=λ²-6λ+8-特征值：λ₁=4，λ₂=2-由于特征值均为正数，因此A为正定矩阵。4.已知实对称矩阵A如下，求矩阵A的二次型表示：A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}解：-二次型表示：xᵀAx=2x₁²+3x₂²5.已知实对称矩阵A如下，求矩阵A的谱分解：A=\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}解：-特征多项式：f(λ)=λ²-7λ+11-特征值：λ₁=5，λ₂=2-特征向量：-对应λ₁=5的特征向量：α₁=(1,1)ᵀ-对应λ₂=2的特征向量：α₂=(1,-2)ᵀ-正交规范化：-β₁=(1/√2,1/√2)ᵀ-β₂=(1/√5,-2/√5)ᵀ-正交矩阵P：-P=\begin{b