数学一习题集（2026考研全国统考·历年真题分类汇编）

数学一习题集（2026考研全国统考·历年真题分类汇编）1.设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且$\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}=c$（$c$为常数），则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$x_0$处取得极值B.$f(x)$在$x_0$处不可导C.$f'(x_0)=0$且$f(x)$在$x_0$处取得极值D.$f'(x_0)=0$且$f(x)$在$x_0$处不取得极值2.设函数$f(x)=\int_0^x\frac{\sint}{t}dt$，则$f'(x_0)$（$x_0$为非零常数）等于（）A.$\frac{\sinx_0}{x_0}$B.$\frac{\cosx_0}{x_0}$C.$\frac{\sinx_0}{x_0^2}$D.$\frac{\cosx_0}{x_0^2}$3.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，则下列结论正确的是（）A.至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$B.至多存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$C.可能不存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$D.以上结论均不正确4.设函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f(x)$在$x=1$处的高阶导数$f'''(1)$等于（）A.0B.1C.2D.35.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$f'(x)$等于（）A.$\sinx^2$B.$\cosx^2$C.$\sin^2x$D.$\cos^2x$6.设函数$f(x)=\frac{1}{1-x}$，则$f(x)$的麦克劳林级数展开式中$x^5$的系数等于（）A.5B.10C.15D.207.设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，且$f(0,0)=0$，$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=1$，则下列结论正确的是（）A.$f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$B.$f_x(0,0)=1$，$f_y(0,0)=1$C.$f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=1$D.$f_x(0,0)=1$，$f_y(0,0)=0$8.设函数$f(x,y)=x^3+y^3-3xy^2$，则$f(x,y)$的驻点为（）A.(0,0)B.(1,1)C.(1,-1)D.(0,1)9.设函数$f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{x+y}$，则$f(x,y)$在点$(1,1)$处的偏导数$f_x(1,1)$等于（）A.1B.2C.3D.410.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$f(x)$在$x=0$处的泰勒级数展开式中$x^6$的系数等于（）A.0B.1C.2D.31.设函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{1+x^n}$，则$f(x)$在$x=1$处的极限等于________。2.设函数$f(x)=\int_0^x\frac{\sint}{t}dt$，则$f'(x)$等于________。3.设函数$f(x)=\frac{1}{1-x}$，则$f(x)$的麦克劳林级数展开式中$x^5$的系数等于________。4.设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，且$f(0,0)=0$，$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=1$，则$f_x(0,0)$等于________。5.设函数$f(x,y)=x^3+y^3-3xy^2$，则$f(x,y)$的驻点为________。6.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$f(x)$在$x=0$处的泰勒级数展开式中$x^6$的系数等于________。1.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，证明：至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。2.（10分）设函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，求$f(x)$在$x=1$处的高阶导数$f'''(1)$。3.（10分）设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，求$f'(x)$。4.（10分）设函数$f(x,y)=x^3+y^3-3xy^2$，求$f(x,y)$的驻点。5.（10分）设函数$f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{x+y}$，求$f(x,y)$在点$(1,1)$处的偏导数$f_x(1,1)$。6.（10分）设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，求$f(x)$在$x=0$处的泰勒级数展开式中$x^6$的系数。【标准答案】一、单项选择题1.C2.A3.A4.C5.A6.B7.A8.B9.B10.A二、填空题1.12.$\frac{\sinx}{x}$3.1204.15.(1,1)6.$-\frac{1}{6}$三、解答题1.证明：由罗尔定理知，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。2.解：$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，$f''(x)=\frac{2\lnx-3}{x^3}$，$f'''(x)=\frac{6-6\lnx}{x^4}$，则$f'''(1)=3$。3.解：$f'(x)=\sinx^2$。4.解：$f_x(x,y)=3x^2-3y^2$，$f_y(x,y)=3y^2-6xy$，令$f_x(x,y)=0$，$f_y(x,y)=0$，得驻点$(1,1)$。5.解：$f_x(x,y)=\frac{2x(x+y)-(x^2+y^2)}{(x+y)^2}$，则$f_x(1,1)=1$。6.解：$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}$，则$x^6$的系数为$-\frac{1}{13}$。【解析】一、单项选择题1.选C。由极限定义知，当$x\tox_0$时，$\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}\toc$，则$f(x)-f(x_0)\simc(x-x_0)^2$，故$f'(x_0)=0$，且$f(x)$在$x_0$处取得极值。2.选A。由变限积分求导公式知，$f'(x)=\frac{\sinx}{x}$。3.选A。由罗尔定理知，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。4.解：$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，$f''(x)=\frac{2\lnx-3}{x^3}$，$f'''(x)=\frac{6-6\lnx}{x^4}$，则$f'''(1)=3$，故选C。5.选A。由变限积分求导公式知，$f'(x)=\sinx^2$。6.选B。$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$，则$x^5$的系数为10，故选B。7.选A。由可微定义知，$f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=0$，同理$f_y(0,0)=0$。8.选B。$f_x(x,y)=3x^2-3y^2$，$f_y(x,y)=3y^2-6xy$，令$f_x(x,y)=0$，$f_y(x,y)=0$，得驻点$(1,1)$，故选B。9.选B。$f_x(x,y)=\frac{2x(x+y)-(x^2+y^2)}{(x+y)^2}$，则$f_x(1,1)=2$，故选B。10.选A。由泰勒级数展开公式知，$x^6$的系数为0，故选A。二、填空题1.1.由极限定义知，当$x\to1$时，$\frac{x^n}{1+x^n}\to\frac{1}{2}$，故$f(1)=\frac{1}{2}$。2.$\frac{\sinx}{x}$。由变限积分求导公式知，$f'(x)=\frac{\sinx}{x}$。3.120。$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$，则$x^5$的系数为$120$。4.1。由可微定义知，$f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=1$。5.(1,1)。$f_x(x,y)=3x^2-3y^2$，$f_y(x,y)=3y^2-6xy$，令$f_x(x,y)=0$，$f_y(x,y)=0$，得驻点$(1,1)$。6.$-\frac{1}{6}$。由泰勒级数展开公式知，$x^6$的系数为$-\frac{1}{6}$。三、解答题1.证明：由罗尔定理知，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。2.解：$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，$f''(x)=\frac{2\lnx-3}{x^3}$，$f'''(x)=\frac{6-6\lnx}{x^4}$，则$f'''(1)=3$。3.解：$f'(x)=\sinx^2$。4.解：$f_x(x,y)=3x^2-3y^2$