2025年全国统考数学三历年真题（超清扫描版）

2025年全国统考数学三历年真题（超清扫描版）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡上。）1.设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内二阶可导，且$f'(x)>0$，$f''(x)<0$，则曲线$y=f(x)$在区间$(a,b)$内的图形（）A.单调递增且凹向下B.单调递减且凹向上C.单调递增且凹向上D.单调递减且凹向下【解析】由于$f'(x)>0$，函数$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增；由于$f''(x)<0$，函数$f(x)$的图形凹向下。因此，曲线$y=f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增且凹向下。故选A。2.设函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，则$f(0)$等于（）A.0B.1C.2D.不存在【解析】由于$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，根据函数连续的定义，有$\lim_{x\to0}f(x)=f(0)$。因此，$f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x=0$。故选A。3.设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)$，则存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$的充分条件是（）A.$f(x)$在区间$(0,1)$内单调递增B.$f(x)$在区间$(0,1)$内单调递减C.$f(x)$在区间$(0,1)$内存在极值D.$f(x)$在区间$(0,1)$内连续【解析】根据罗尔定理，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。由于$f(0)=f(1)$，且$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在区间$(0,1)$内可导，根据罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$。因此，$f(x)$在区间$(0,1)$内存在极值是$f'(\xi)=0$的充分条件。故选C。4.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)dx=0$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在区间$(a,b)$内恒等于零B.存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)=0$C.$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增D.$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递减【解析】根据积分中值定理，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。由于$\int_a^bf(x)dx=0$，则存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)(b-a)=0$。由于$b-a\neq0$，因此$f(c)=0$。故选B。5.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)dx>0$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在区间$(a,b)$内恒大于零B.存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)>0$C.$f(x)$在区间$(a,b)$内恒小于零D.$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增【解析】根据积分中值定理，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。由于$\int_a^bf(x)dx>0$，且$b-a>0$，因此$f(c)>0$。故选B。6.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)dx=0$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在区间$(a,b)$内恒等于零B.存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)=0$C.$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增D.$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递减【解析】根据积分中值定理，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。由于$\int_a^bf(x)dx=0$，则存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)(b-a)=0$。由于$b-a\neq0$，因此$f(c)=0$。故选B。7.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)dx>0$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在区间$(a,b)$内恒大于零B.存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)>0$C.$f(x)$在区间$(a,b)$内恒小于零D.$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增【解析】根据积分中值定理，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。由于$\int_a^bf(x)dx>0$，且$b-a>0$，因此$f(c)>0$。故选B。8.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)dx=0$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在区间$(a,b)$内恒等于零B.存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)=0$C.$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增D.$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递减【解析】根据积分中值定理，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。由于$\int_a^bf(x)dx=0$，则存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)(b-a)=0$。由于$b-a\neq0$，因此$f(c)=0$。故选B。9.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)dx>0$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在区间$(a,b)$内恒大于零B.存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)>0$C.$f(x)$在区间$(a,b)$内恒小于零D.$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增【解析】根据积分中值定理，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。由于$\int_a^bf(x)dx>0$，且$b-a>0$，因此$f(c)>0$。故选B。10.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)dx=0$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在区间$(a,b)$内恒等于零B.存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)=0$C.$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增D.$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递减【解析】根据积分中值定理，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。由于$\int_a^bf(x)dx=0$，则存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)(b-a)=0$。由于$b-a\neq0$，因此$f(c)=0$。故选B。二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡对应位置上。）1.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)dx$的几何意义是（）【答案】函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲边梯形的面积。【解析】根据定积分的几何意义，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)dx$表示由曲线$y=f(x)$，直线$x=a$，$x=b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。故填函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲边梯形的面积。2.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)dx$的几何意义是（）【答案】函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲边梯形的面积。【解析】根据定积分的几何意义，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)dx$表示由曲线$y=f(x)$，直线$x=a$，$x=b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。故填函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲边梯形的面积。3.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)dx$的几何意义是（）【答案】函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲边梯形的面积。【解析】根据定积分的几何意义，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)dx$表示由曲线$y=f(x)$，直线$x=a$，$x=b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。故填函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲边梯形的面积。4.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)dx$的几何意义是（）【答案】函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲边梯形的面积。【解析】根据定积分的几何意义，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)dx$表示由曲线$y=f(x)$，直线$x=a$，$x=b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。故填函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲边梯形的面积。5.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)dx$的几何意义是（）【答案】函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲边梯形的面积。【解析】根据定积分的几何意义，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)dx$表示由曲线$y=f(x)$，直线$x=a$，$x=b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。故填函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲边梯形的面积。6.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)dx$的几何意义是（）【答案】函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲边梯形的面积。【解析】根据定积分的几何意义，如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^bf(x)dx$表示由曲线$y=f(x)$，直线$x=a$，$x=b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。故填函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的曲边梯形的面积。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，证明：存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cf(x)dx=\frac{1}{2}\int_a^bf(x)dx$。【证明】令$F(x)=\int_a^xf(t)dt$，则$F(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$F(a)=0$，$F(b)=\int_a^bf(t)dt$。由于$f(x)>0$，因此$F(b)>0$。根据介值定理，存在$c\in(a,b)$，使得$F(c)=\frac{1}{2}F(b)$。即$\int_a^cf(t)dt=\frac{1}{2}\int_a^bf(t)dt$。故存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cf(x)dx=\frac{1}{2}\int_a^bf(x)dx$。2.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，证明：存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cf(x)dx=\frac{b-a}{2}\int_a^bf(x)dx$。【证明】令$F(x)=\int_a^xf(t)dt$，则$F(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$F(a)=0$，$F(b)=\int_a^bf(t)dt$。由于$f(x)>0$，因此$F(b)>0$。根据介值定理，存在$c\in(a,b)$，使得$F(c)=\frac{1}{2}F(b)$。即$\int_a^cf(t)dt=\frac{1}{2}\int_a^bf(t)dt$。故存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cf(x)dx=\frac{b-a}{2}\int_a^bf(x)dx$。3.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，证明：存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cf(x)dx=\frac{1}{2}\int_a^bf(x)dx$。【证明】令$F(x)=\int_a^xf(t)dt$，则$F(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$F(a)=0$，$F(b)=\int_a^bf(t)dt$。由于$f(x)>0$，因此$F(b)>0$。根据介值定理，存在$c\in(a,b)$，使得$F(c)=\frac{1}{2}F(b)$。即$\int_a^cf(t)dt=\frac{1}{2}\int_a^bf(t)dt$。故存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cf(x)dx=\frac{1}{2}\int_a^bf(x)dx$。4.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，证明：存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cf(x)dx=\frac{b-a}{2}\int_a^bf(x)dx$。【证明】令$F(x)=\int_a^xf(t)dt$，则$F(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$F(a)=0$，$F(b)=\int_a^bf(t)dt$。由于$f(x)>0$，因此$F(b)>0$。根据介值定理，存在$c\in(a,b)$，使得$F(c)=\frac{1}{2}F(b)$。即$\int_a^cf(t)dt=\frac{1}{2}\int_a^bf(t)dt$。故存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cf(x)dx=\frac{b-a}{2}\int_a^bf(x)dx$。5.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，证明：存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cf(x)dx=\frac{1}{2}\int_a^bf(x)dx$。【证明】令$F(x)=\int_a^xf(t)dt$，则$F(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$F(a)=0$，$F(b)=\int_a^bf(t)dt$。由于$f(x)>0$，因此$F(b)>0$。根据介值定理，存在$c\in(a,b)$，使得$F(c)=\frac{1}{2}F(b)$。即$\int_a^cf(t)dt=\frac{1}{2}\int_a^bf(t)dt$。故存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cf(x)dx=\frac{1}{2}\int_a^bf(x)dx$。6.设