28.2.3　关于原点对称的点的坐标

28.2.3关于原点对称的点的坐标教师备课素材示例●置疑导入(1)在平面直角坐标系中将坐标为(0，0)，(3，0)，(3，3)，(0，3)的点用线段依次连接起来，看看得到什么图形；(2)如果把横坐标、纵坐标都乘－1，再将所得点用线段依次连接起来，所得图案与原来图案相比有什么变化？【教学与建议】教学：该图案是一个正方形，横坐标与纵坐标都乘－1所得图案与原图案关于坐标原点中心对称．建议：将班级学生分组进行作图比赛．●复习导入(1)下列各点分别在坐标平面的什么位置上？A(4，3)→__第一象限__，B(0，－4)→__y轴负半轴上__，C(－2，－3)→__第三象限__，D(－5，0)→__x轴负半轴上__，E(－2.6，3.6)→__第二象限__，F(3，－5)→__第四象限__；(2)在平面直角坐标系中，点(3，－4)关于x轴对称的点的坐标是__(3，4)__，关于y轴对称的点的坐标是__(－3，－4)__；(3)在平面直角坐标系中，点A(2，－3)关于原点对称的点的坐标是什么？【教学与建议】教学：通过回顾平面直角坐标系中点的坐标特征，加强新旧知识之间的联系．建议：在平面直角坐标系内作图分析，观察对称点与原坐标点的坐标特征．命题角度1关于原点对称的点的坐标特点常见考题：①求已知点关于原点对称的点的坐标；②已知两点关于原点对称，求有关代数式的值．【例1】(1)在平面直角坐标系中，点P(2，－1)关于原点对称的点的坐标是(D)A．(2，－1)B．(－2，－1)C．(2，1)D．(－2，1)(2)在平面直角坐标系中，第二象限内的点P(x2＋2x，3)与另一点Q(x＋2，y)关于原点对称，则x＋2y的值是__－7__．命题角度2在平面直角坐标系中作关于原点成中心对称的图形利用关于原点对称点的坐标特征作关于原点成中心对称的图形．【例2】如图，已知△ABC各点的坐标：A(－4，1)，B(－1，－1)，C(－3，2)，作出△ABC关于原点O的对称图形△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标．解：如图，△A′B′C′即为所求；A′(4，－1)，B′(1，1)，C′(3，－2).命题角度3关于原点对称点的坐标规律应用在平面直角坐标系中作图，根据各个象限内坐标的特点找出规律．【例3】平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，作点A关于y轴的对称点A1，点A1关于原点的对称点A2，点A2关于x轴的对称点A3，点A3关于y轴的对称点A4，点A4关于原点对称的点A5……，按此规律，则点A2025的坐标为__(－2，3)__．坐标与图形的变化(1)将坐标乘－1，变为相反数后的位置变化：①将各点的横坐标都乘－1，纵坐标不变，所得的图形与原图形关于纵轴对称；②将各点的纵坐标都乘－1，横坐标不变，所得的图形与原图形关于横轴对称．(2)将坐标加上或乘同一个数后的位置变化：将一个图形上的各点的横坐标都加同一常数，纵坐标不变，引起图形沿横轴平移；将一个图形上的各点的纵坐标都加同一常数，横坐标不变，引起图形沿纵轴平移；将一个图形上的各点的横、纵坐标都加同一常数，所得图形是原图形平移后的结果；将一个图形上的各点的横坐标都乘同一常数，纵坐标不变，所得图形是原图形横向拉伸或缩短；将一个图形上的各点的纵坐标都乘同一常数，横坐标不变，所得图形是原图形纵向拉伸或缩短；将一个图形上的各点的横、纵坐标都乘同一常数，所得图形是原图形放大或缩小的结果．注意：①把一个图形上的各点的横、纵坐标都乘n，所得图形的面积是原图形的n2倍；②以上关系反过来也成立．高效课堂教学设计1．会求关于原点对称的点的坐标．2．能运用关于原点成中心对称的点的坐标间的关系进行中心对称图形的变换．▲重点关于原点对称的点的坐标关系．▲难点关于原点对称的点的坐标关系的探索．◆活动1新课导入1．点P(3，－6)关于x轴对称的点的坐标为(B)A．(－3，6)B．(3，6)C．(－3，－6)D．(3，－6)2．在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(1，3)，将线段OA向右平移3个单位长度，得到线段O1A1，则点O1的坐标是__(3，0)__，点A1的坐标是__(4，3)__．3．点P(2025，－2026)关于y轴对称的点的坐标为__(－2_025，－2_026)__．在学习了平移变换和轴对称变换的时候，我们研究了在平面直角坐标系中点的平移规律和关于轴对称的点的坐标规律，那么关于原点对称的点的坐标有怎样的规律呢？请进入本课时的学习！◆活动2探究新知1．教材P103探究．提出问题：(1)填表：已知点的坐标A(4，0)B(0，－3)C(2，1)D(－1，2)E(－3，－4)关于原点O对称的点的坐标(2)观察上表：①它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间的符号又有什么特点？(3)你能由此归纳出关于原点对称的点的坐标特征吗？学生完成并交流展示．2．教材P103例2.提出问题：(1)回顾不在平面直角坐标系中，作△ABC关于点O对称的图形是怎样作的？(2)由图可知A，B，C三点的坐标分别是什么？A，B，C三点关于原点对称的点的坐标分别是多少？把对称点标在坐标系内并顺次连接；(3)总结作一个图形关于原点对称的图形的步骤．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即P(x，y)关于原点的对称点为__P′(－x，－y)__．2．在平面直角坐标系中，任一点A(x，y)关于坐标轴、原点都存在对称点．关于x轴的对称点的横坐标__相同__，纵坐标互为__相反数__．关于y轴的对称点的横坐标__互为相反数__，纵坐标__相同__．关于原点对称的点的横、纵坐标都__互为相反数__．如：点A(x，y)关于x轴的对称点为A′__(x，－y)__，关于y轴的对称点为A′′__(－x，y)__，关于原点对称的点为__(－x，－y)__．◆活动4例题与练习例1(1)在平面直角坐标系中，点P(7，－8)关于原点的对称点P′的坐标是__(－7，8)__；(2)点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，则(m＋n)2026＝__1__；(3)点M(5，－1)绕原点旋转180°后到达的点的坐标是__(－5，1)__．例2四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(5，0)，B(－2，3)，C(－1，0)，D(－1，－5)，作出与四边形ABCD关于原点O对称的图形，并写出各点的对称点的坐标．解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求．点A，B，C，D的对称点的坐标分别为：A′(－5，0)，B′(2，－3)，C′(1，0)，D′(1，5).例3已知点M(2－a，b)与点N(－b－1，2)关于原点对称，求点M的坐标.解：∵点M(2－a，b)与点N(－b－1，2)关于原点对称，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a＝－(－b－1)，,b＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－2.))∴点M的坐标为(－1，－2).练习1．教材P104练习第1，2，3题．2．若点P(－20，a)与点Q(b，13)关于原点对称，则a＋b的值是(D)A．33B．－33C．－7D．73．已知点P(a－3，2b＋4)与点Q(b＋5，3a－7)关于原点对称，则直线y＝ax＋b经过__一、三、四__象限．4．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作与线段AB关于原点对称的图形．解：线段AB的两个端点的坐标分别为A(1，3)，B(－2，1)，它们关于原点的对称点分别为A′(－1，－3)，B′(2，－1)，连接A′B′，A′B′就是AB关于原点对称的图形．◆活动5课堂小结1．关于原点对称的点的坐标特征．2．关于原点对称点的坐标特征的运用．1．作业布置(1)教材P105习题28.2第3，4题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列图标中是中心对称图形的是()2.在平面直角坐标系中,线段OP的两个端点坐标分别为O(0,0),P(4,3),将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP'位置,则点P'的坐标为()A.(3,4) B.(-4,3)C.(-3,4) D.(4,-3)3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B,D两点间的距离为()A.10 B.22 C.3 D.254.如图,点A,B,C的坐标分别为(0,-1),(0,2),(3,0).从下面四个点M(3,3),N(3,-3),P(-3,0),Q(-3,1)中选择一个点,以A,B,C及该点为顶点的四边形是中心对称图形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.45.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列结论不正确的是()A.S△ABC=S△A'B'C'B.AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'C.AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C'D.S△A'B'O=S△ACO6.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转,使点B落在AB边上点B'处,此时,点A的对应点A'恰好落在BC边的延长线上,下列结论错误的是()A.∠BCB'=∠ACA' B.∠ACB=2∠BC.∠B'CA=∠B'AC D.B'C平分∠BB'A'7.把一副三角板按如图放置,其中∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AC=BD=10,若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D'E'B,则点A在△D'E'B的()A.内部 B.外部C.边上 D.以上都有可能8.如图,将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形的对称中心,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为()A.14cm2 B.n4C.n-14cm2 D.二、填空题9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,△AB'C'可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B'与点B是对应点,点C'与点C是对应点),连接CC',则∠CC'B'的度数是.

10.如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C的坐标分别为A(0,3),B(-1,1),C(3,1).△A'B'C'是△ABC关于x轴的对称图形,将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°,点A'的对应点为M,则点M的坐标为.

11.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE.点C和点E是对应点.若∠CAE=90°,AB=1,则BD=.

12.如图,将含30°角的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150°后得到△EBD,连接CD.若AB=4cm,则△BCD的面积为.

三、解答题13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,2),请解答下列问题:(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出A1的坐标.(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并写出A2的坐标.(3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3,并写出A3的坐标.14.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2;(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标;(3)在x轴上有一点P,使得PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.15.为创建绿色校园,学校决定对一块正方形的空地进行种植花草,现向学生征集设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计,使正方形和所画的圆弧构成图案,种植花草部分用阴影表示.请你运用平移、旋转、轴对称等知识,在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案(温馨提示:在两个图案中,只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种,例如:图①、图②只能算一种).16.如图①,有一张矩形纸片,将它沿对角线AC剪开,得到△ACD和△A'BC'.(1)如图②,将△ACD沿A'C'边向上平移,使点A与点C'重合,连接A'D和BC,则四边形A'BCD是形;

(2)如图③,将△ACD的顶点A与A'点重合,然后绕点A沿逆时针方向旋转,使点D,A,B在同一条直线上,则旋转角为度,连接CC',则四边形CDBC'是形;

(3)如图④,将AC边与A'C'边重合,并使顶点B和D在AC边的同一侧,设AB,CD相交于E点,连接BD,四边形ADBC是什么特殊四边形?请说明你的理由.综合训练一、选择题1.B2.C3.A连接BD.由勾股定理,得AB=AC2+BC2=42+32=5,AE=AC=4,所以BE=1,4.C5.D6.C7.C由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D'E'B,设△D'E'B与直线AB交于点M,可知∠EBE'=45°,∠E'=∠DEB=90°,∵∠DEB=90°,∠D=30°,BD=10,∴BE=5,∴BE'=BE=5,∴BM=52.又∠ABC=90°,∠A=45°,AC=10,∴AB=52,∴BM=AB,∴点A在△D'E'B的D'E'的边上.8.C连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含45°角的两个三角形全等,进而求得阴影部分面积等于正方形面积的14,即是14cm2.5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为14×4cm2,n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为14×(n-1)二、填空题9.15°10.(-2,1)11.2因为将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,所以AB=AD,因为∠CAE=90°,所以∠DAB=90°,因为AB=1,所以BD=1212.3cm2过点D作BE的垂线,垂足为F(图略),由∠ABC=30°及旋转角∠ABE=150°可知∠CBE为平角.在Rt△ABC中,AB=4cm,∠ABC=30°