30．1.1　直线与圆相离、相切、相交

第三十章直线与圆的位置关系30．1直线与圆30．1.1直线与圆相离、相切、相交教师备课素材示例●情景导入请同学们在纸上画一条直线l，把硬币看作圆，在纸上移动硬币，观察直线和圆的公共点个数的变化情况．你能看出公共点最少有几个，最多有几个吗？【教学与建议】教学：通过实践操作，建立几何模型．建议：分小组操作实践，引导学生观察、思考直线和圆的位置关系可以分为哪几类．●类比导入(1)复习点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，如图：点P在⊙O外⇔d__>__r，如图(a)所示；点P在⊙O上⇔d__＝__r，如图(b)所示；点P在⊙O内⇔d__<__r，如图(c)所示．(2)如图，把硬币看作一个圆，由此你能归纳出直线和圆的位置关系吗？【归纳】如图(a)，直线与圆__没有__公共点，这时称这条直线与圆相离；如图(b)，直线与圆只有__一__个公共点，这时称这条直线与圆相切，这条直线叫作圆的__切线__，这个点叫作__切点__；如图(c)，直线与圆有__两__个公共点，这时称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的__割线__．【教学与建议】教学：通过对点和圆的位置关系的回顾，类比发现直线和圆的位置关系．建议：由点和圆的位置关系导入直线和圆的位置关系的三个对应等价关系．命题角度1判断直线和圆的位置关系判断直线和圆的位置关系有两种方法：(1)直接根据定义，确定直线和圆的交点数；(2)判断直线与圆心的距离d与半径r的大小关系．【例1】(1)已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3eq\r(2)，则直线l与⊙O的位置关系为(A)A．相交B．相切C．相离D．无法确定(2)⊙O的半径为5，点A在直线l上，若OA＝5，则直线l与⊙O的位置关系是__相切或相交__．命题角度2直线和圆的位置关系的逆向应用这类题目常结合具体几何图形或在平面直角坐标系中综合考查．【例2】(1)以点P(1，2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是__r＞2且r≠eq\r(5)__．(2)如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的解析式为y＝x＋t.若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是__t＝eq\r(2)或－1≤t＜1__．数学中的“界”唐朝诗人王维的诗句“大漠孤烟直，长河落日圆”，向我们形象地展示了直线和圆的三种位置关系——相离、相切、相交．如果我们从时间的维度来看三种位置关系的话，在日落过程中，相切可以说是转瞬即逝，这是相离和相交的分界点，由此你联想到了哪些数学知识呢？数字中的“0”也有着类似的地位，它是正数和负数的分界点；数轴上的原点，它是正、负半轴的分界；平面直角坐标系中的坐标轴是各个象限之间的分界等等．它们都具有“界”的特性，是数学研究的重要内容．高效课堂教学设计1．通过操作、观察，理解直线和圆有三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离与半径之间的数量关系判定直线和圆的位置关系．3．经历探索直线和圆的位置关系的判定和专题训练，体验从运动观点以及量变到质变的过程理解直线和圆的三种位置关系．▲重点直线和圆的位置关系的判定．▲难点直线和圆的位置关系的判定．◆活动1新课导入动手操作：用圆规在纸上画一个圆，然后将一个三角板的一条边沿某一直线方向由远到近逐渐向这个圆靠近，直至三角板完全远离这个圆，在此过程中，你发现这条边与圆的公共点的个数有3种情况，分别是__0__个公共点，__1__个公共点，__2__个公共点．◆活动2探究新知1．教材P148思考．提出问题：(1)直线和圆的公共点个数最少时有几个？最多时有几个？(2)根据上面你观察发现的结果，你认为直线与圆的位置关系可以分为几类？你分类的依据是什么？分别把它们的图形在草稿纸上画出来．(3)在刚才的过程中，除了公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系？(4)怎样用d(圆心与直线的距离)来判定直线与圆的位置关系呢？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．直线与圆有__两__个公共点时，该直线和圆相交，直线叫作圆的__割线__．2．直线与圆有__一__个公共点时，该直线和圆相切，直线叫作圆的__切线__，这个点叫作__切点__．3．直线与圆有__零__个公共点时，直线和圆相离．4．设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l与⊙O相交⇔__d<r__；直线l与⊙O相切⇔__d＝r__；直线l与⊙O相离⇔__d＞r__．◆活动4例题与练习例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4cm，BC＝2cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r＝1.5cm;(2)r＝eq\r(3)cm;(3)r＝2cm.解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.∵AB＝4cm，BC＝2cm，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝2eq\r(3)cm.又∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)BC·AC，∴CD＝eq\f(BC·AC,AB)＝eq\f(2×2\r(3),4)＝eq\r(3)(cm).(1)当r＝1.5cm时，⊙C与AB相离；(2)当r＝eq\r(3)cm时，⊙C与AB相切；(3)当r＝2cm时，⊙C与AB相交．例2如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2.当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交、相切、相离？解：过点O作OD⊥AB于点D.∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°.∴OD＝eq\f(1,2)BO＝eq\f(1,2)x.当AB所在的直线与⊙O相切时，OD＝r＝2，即eq\f(1,2)x＝2，解得x＝4.∴BO＝4.∴当0<x<4时，AB所在的直线与⊙O相交；当x＝4时，AB所在的直线与⊙O相切；当x>4时，AB所在的直线与⊙O相离．练习1．教材P150练习第1，2题．2．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O相切，则以d，r为根的一元二次方程可能为(D)A．x2－4x＝0B．x2＋6x＋9＝0C．x2－3x＋2＝0D．x2－4x＋4＝03．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝－x＋eq\r(2)与⊙O的位置关系是__相切__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4题图）))4．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm.如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过__4或8__s后，⊙P与直线CD相切．◆活动5课堂小结1．直线与圆的三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．1．作业布置(1)教材P154习题30.1第1题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴点(2)直线l与☉P相切.理由如下:如图,连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2.所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.所以