30.2　三角形的内切圆

30.2三角形的内切圆教师备课素材示例●情景导入同学们玩过悠悠球(如图①)吗？大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢？图②是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图，从中你能抽象出什么样的数学图形？这些图形的位置关系是怎样的？eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))【教学与建议】教学：通过悠悠球抽象出几何模型，并进一步导入切线长及切线长定理．建议：教师在课前准备一个悠悠球，在课堂上直接展示．●复习导入[操作]第一步：在透明纸上画出⊙O，并画出过⊙O上点A的切线PA，连接PO.第二步：沿着直线PO将纸对折，并用笔标出与点A重合的点，记为点B(如图)．问题：(1)PB是⊙O的切线吗？(2)判断图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系．发现：PA＝PB，∠APO＝∠BPO.【归纳】从圆外一点引圆的__两条__切线，它们的切线长__相等__，并且这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角．【教学与建议】教学：通过实际动手操作，学生发现数学条件，进而解决问题．建议：学生操作并思考回答问题，发挥学生学习的主动性．命题角度三角形的内切圆三角形的内切圆常与切线长定理结合使用，注意内心与外心、重心的区别．【例】(1)如图，在△ABC中，∠A＝60°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为(C)A．112°B．110°C．120°D．130°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第(1)题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第(2)题图]))(2)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝__1__.三角形的“心”我们经常说要做个“有心”的人，在多边形的世界里，三角形就是一个非常“有心”的图形．三角形共有五种“心”．(1)重心：三条中线的交点；(2)外心：三边中垂线的交点，是三角形外接圆圆心的简称；(3)内心：三条角平分线的交点，是三角形内切圆圆心的简称；(4)垂心：三条高的交点，垂心的位置随三角形类型的不同而发生变化；(5)旁心：三角形旁切圆圆心的简称，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的邻补角角平分线的交点，显然，任何三角形都有三个旁切圆，三个旁心．当且仅当三角形为正三角形时，“重心、外心、内心、垂心”四心合一，称为正三角形的中心．高效课堂教学设计1．知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念．2．通过对例题的学习，养成分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，掌握数形结合的思想．▲重点三角形的内切圆和三角形内心的概念．▲难点三角形内切圆的计算问题.◆活动1新课导入1．直线和圆有哪几种位置关系？怎样判断它们的位置关系？答：三种，d>r，相离；d＝r，相切；d<r，相交．2．你觉得这几种位置关系哪种最特殊？为什么？答：相切，略．◆活动2探究新知教材P158思考．提出问题：(1)三角形内切圆的圆心具有什么性质？(2)如何确定三角形内切圆的圆心？请画出△ABC的内切圆．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．与三角形各边都__相切__的圆叫作三角形的内切圆．2．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线__的交点，叫作三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．这个三角形叫作圆的外切三角形．◆活动4例题与练习例1教材P158例．例2为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个含有30°角的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角板与圆相切且测得PA＝5cm，求铁环的半径．解：如图，对图形进行标注，连接OA，ON，OP.在△OPA和△ONA中，OP＝ON，ON⊥AC，OP⊥PB，OA＝OA，∴Rt△OAP≌Rt△OAN.∴AP＝AN.∵在Rt△ABC中，∠BCA＝30°，∴∠CAB＝60°.∵∠PAC＋∠CAB＝180°，∴∠PAC＝120°.∵∠OAP＝∠OAN，∴∠OAP＝60°.在Rt△OAP中，∵PA＝5cm，∴OP＝5eq\r(3)cm.答：铁环的半径为5eq\r(3)cm.例3如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，BC为⊙O的直径．(1)求证：AC∥OP；(2)若∠APB＝60°，BC＝8cm，求AC的长．解：(1)连接OA.∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PO平分∠APB.∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝∠BPO，∴∠POA＝∠POB.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵∠BOA＝∠OAC＋∠OCA，∴∠BOA＝2∠OCA.∵∠BOA＝∠POA＋∠POB＝2∠POB，∴∠POB＝∠OCA.∴AC∥OP.(2)连接AB.易证△PAB为等边三角形，∴∠PBA＝60°.由(1)，得∠PBO＝90°，∴∠ABO＝30°.∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∵BC＝8cm，∴AC＝4cm.练习1．教材P159练习第1，2，3题．2．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧eq\o(ABC,\s\up8(︵))上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是(C)A．15°B．20°C．25°D．30°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4题图）))3．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心．若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为(A)A．130°B．120°C．100°D．90°4．如图，⊙O切△ABC的边BC于点D，切AB，AC的延长线于点E，F.若△ABC的周长为20，则AE＝__10__．◆活动5课堂小结切线长定理，三角形的内切圆及内心，直角三角形内切圆半径公式．1．作业布置(1)教材P159～160习题30.2第1，2题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴点(2)直线l与☉P相切.理由如下:如图,连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2.所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.所以PD⊥l.故直线l与☉P相切.15.(1)证明如图,连接OA,