第2课时　圆内接四边形

第2课时圆内接四边形教师备课素材示例●情景导入如图，在这个圆形人工湖边上造4个休息亭(即A，B，C，D)，用仪器测得∠A＝75°，∠B＝65°，能求出另两个角∠C和∠D的度数吗？需要哪些数据可以求该圆形人工湖的直径？【教学与建议】教学：通过导入人工湖建休息亭建立圆内接四边形数学模型，激发学生学习兴趣．建议：从圆内接四边形的定义出发，引导学生发现四边形的四个内角都是圆周角．●置疑导入(1)什么是圆心角、圆周角？(2)同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？(3)圆周角定理的推论是什么？(4)如图，eq\o(AD,\s\up8(︵))所对的圆心角是__∠AOD__，所对的圆周角有__∠ABD，∠ACD__，∠ABD__＝__∠ACD，它们都等于∠AOD度数的__一半__．【教学与建议】教学：置疑圆心角、圆周角相关问题导入课题．建议：学生回答问题后相互点评．命题角度利用圆内接四边形的性质计算或证明利用圆内接四边形的对角互补探索角相等或互补关系．【例】(1)若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列选项可能成立的是(B)A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶3∶2(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝115°，则∠BOD等于__130°__.(3)如图，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D.求证：DB＝DC.证明：∵AD是∠EAC的平分线，∴∠DAC＝∠DAE.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB＋∠BAD＝∠DAE＋∠BAD＝180°，∴∠DCB＝∠DAE.∵圆周角∠DBC和∠DAC所对的弧都是eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴∠DBC＝∠DAC，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.高效课堂教学设计1．掌握圆内接多边形、多边形的外接圆的概念．2．理解圆内接四边形的性质．3．通过探究讨论，培养学生的推理能力．▲重点圆内接四边形性质的探究及运用．▲难点圆内接四边形性质的灵活运用以及几何图形中辅助线的添加．◆活动1新课导入1．圆周角定理及其推论．2．如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB.若∠ABO＝25°，则∠C＝__65°__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))3．如图，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝__30°__．◆活动2探究新知1．教材P130思考．提出问题：(1)图29.2－11中，∠A是圆周角吗？∠ABC，∠C，∠ADC呢？(2)∠A与∠C，∠ABC与∠ADC之间有什么关系？用圆周角定理尝试证明；(3)由此你能得出圆内接四边形的什么结论？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作__圆内接多边形__，这个圆叫作这个多边形的__外接圆__．2．圆内接四边形的对角__互补__．◆活动4例题与练习例1教材P131例4.例2在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数．解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，即3x＋7x＝180°，∴x＝18°，∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°.又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－36°＝144°.例3如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC＝BC.求证：DC平分∠BDE.证明：∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDA＋∠ABC＝180°.又∵∠3＋∠CDA＝180°，∴∠3＝∠ABC.又∵AC＝BC，∴∠1＝∠ABC，∴∠1＝∠3.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，即DC平分∠BDE.练习1．教材P131练习第1，2，3题．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC等于(C)A．45°B．50°C．60°D．75°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为__128°__．4．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A的度数．解：∵在△BCD中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝130°.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＝180°－∠C＝50°.◆活动5课堂小结圆内接四边形的对角互补．1．作业布置(1)教材P132习题29.2第5题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴点(2)直线l与☉P相切.理由如下:如图,连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2.所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.所以PD⊥l.故直线l与☉P相切.15.(1)证明如图,连接OA,∵∠AEC=30°,∴∠ABC=30°.∵AB=AD,∴∠D=∠ABC=30°.∴∠BAD=120°.∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABC=30°.∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°.∴OA⊥AD.∵点A在☉O上,∴直线AD是☉O的切线.(2)解∵∠AEC=30°,∴∠AOC=60°.∵BC⊥AE于点M,∴AE=2AM,∠OMA=90°.在Rt△AOM中,OM=2,AM=23,∴AE=2AM=43.16.解(1)在Rt△ABF中,∠A=30°,则BF=12AB=23,于是AF=(43在Rt△BOF中,OB2=OF2+BF2=(AF-OA)2+BF2,又OB=OA,∴OA2=(6-OA)2+(23)2.∴OA=4.∵∠BAO=30°,∴∠BOF=2∠BAO=60°.又OB=