第2课时　圆锥的侧面积和全面积

第2课时圆锥的侧面积和全面积教师备课素材示例●归纳导入(1)欣赏以下圆锥图片：(2)如果沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，能得到什么图形？圆锥的侧面积如何求？【归纳】①圆锥的侧面展开图是扇形；②侧面展开图(扇形)的半径＝母线的长；③侧面展开图(扇形)的弧长＝底面圆的周长.【教学与建议】教学：通过圆锥图片的欣赏，归纳出圆锥展开图与扇形各元素之间的关系．建议：试验操作归纳圆锥侧面展开图的特点．●置疑导入操作：如图，把一个课前准备好的圆锥模型的侧面沿着母线剪开(也可以通过Flash展示圆锥侧面展开的过程)．问题：(1)圆锥的侧面展开图是什么图形？(2)圆锥的母线有几条？(3)沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？【教学与建议】教学：把圆锥侧面展开的过程现场展示给学生，发现圆锥侧面展开前后的等量关系．建议：让学生自主操作．命题角度1有关圆锥的侧面展开图的计算灵活运用圆锥侧面积公式解决弧长、半径、圆心角等计算问题．【例1】(1)圆锥的母线长为4cm，底面圆半径为3cm，则该圆锥的侧面积是__12π__cm2.(2)用一块直径为2，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是__eq\f(1,4)__．(3)圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的高是__5eq\r(3)__cm.命题角度2圆锥的全面积的计算圆锥的全面积＝侧面积＋底面积．【例2】(1)如果圆锥的母线长5cm，底面半径为3cm，那么圆锥的全面积是__24π__cm2.(2)一个圆锥侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是__48π__．命题角度3圆柱和圆锥组合体的侧面积实际问题中比如蒙古包的侧面积的计算，还有把一个直角三角形沿着不同的边旋转一周形成的图形的侧面积的计算是常见的考题．【例3】(1)若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面半径和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积是(B)A．60πB．65πC．78πD．120π(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝7cm，BC＝CD＝4cm，以AB所在直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求它的全面积．解：∵在Rt△AOD中，AO＝7－4＝3(cm)，OD＝4cm，∴AD＝eq\r(42＋32)＝5(cm)，∴所得到的几何体的全面积为π×4×5＋π×4×2×4＋π×4×4＝68π(cm2).球的体积公式如图，在小学，我们曾通过试验归纳出圆锥的体积等于三分之一倍的底面积乘以高．现在我们取一个半径为R的半球面，再取一个半径和高都是R的圆锥容器．两次将圆锥容器装满细沙，并倒入半球内，发现半球恰好被装满．试根据这一试验猜想半径为R的球的体积公式.高效课堂教学设计1．通过实验，知道圆锥的侧面展开图是扇形，并了解圆锥各部分名称．2．能够计算圆锥的侧面积和全面积．▲重点了解圆锥的侧面积、全面积和计算公式，并能用它进行计算．▲难点探求圆锥的侧面积、全面积和计算公式的过程．◆活动1新课导入1．(1)半径是R，n°的圆心角所对的弧长的计算公式是__l＝eq\f(nπR,180)__；(2)半径为R，圆心角为n°的扇形面积的计算公式是__S＝eq\f(nπR2,360)__；(3)半径为R，弧长为l的扇形面积的计算公式是__S＝eq\f(1,2)lR__．2．如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，OA＝15cm，底面圆半径为10cm，要生产这种帽子1000个，你能帮玩具厂算一算至少需要多少平方米的材料吗？◆活动2探究新知1．教材P137思考．提出问题：(1)圆锥有多少条母线？圆锥的母线有什么性质？(2)圆锥展开得到的平面图由哪几部分构成？这个新图形的哪些量与圆锥的哪些量有关？(3)圆锥的侧面积有几种算法？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．圆锥是由一个__底面__和一个__侧面__围成的几何体，连接圆锥__顶点__和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点和__底面圆心__的线段叫作圆锥的高．2．圆锥的侧面展开图是一个__扇形__，其半径为圆锥的__母线__，弧长是圆锥底面圆的__周长__．3．圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：__l2＝h2＋r2__，圆锥的侧面积S＝__πrl__；圆锥的全面积S全＝S底＋S侧＝__πr2＋πrl__．◆活动4例题与练习例1教材P137例3.例2如图，半径是10cm的纸片，剪去一个圆心角是120°的扇形(图中阴影部分)，用剩余部分围成一圆锥，求圆锥的高和底面圆的半径．解：设底面圆的半径为r，圆锥的高为h，母线长a，则a＝10cm.由弧长公式l＝eq\f(nπa,180)，得l＝eq\f((360－120)π×10,180)＝eq\f(40,3)π(cm)，∴2πr＝eq\f(40,3)π，解得r＝eq\f(20,3).∴圆锥的高h＝eq\r(a2－r2)＝eq\r(102－(\f(20,3))2)＝eq\f(10\r(5),3)(cm).∴圆锥的高为eq\f(10\r(5),3)cm，底面圆的半径为eq\f(20,3)cm.例3一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积．解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l.∵圆锥的高为10cm，∴l2－r2＝100.又∵侧面展开图是半圆，∴S扇形＝eq\f(1,2)S圆，即eq\f(1,2)·2πr·l＝eq\f(1,2)πl2，∴l＝2r.把l＝2r代入l2－r2＝100，得r2＝eq\f(100,3).∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr·2r＝2πr2＝2π·eq\f(100,3)＝eq\f(200π,3)(cm2).练习1．教材P138练习第1，2题．2．一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为__eq\f(8,3)_cm__．3．如图，已知圆锥的底面圆的半径r为10cm，母线长l为40cm，求它的侧面展开图的圆心角和它的全面积．解：设侧面展开图的圆心角为n°.∴eq\o(AA′,\s\up8(︵))的长为2πr＝20πcm.∵SA＝40cm，∴20π＝eq\f(nπ×40,180)，解得n＝90，∴它的侧面展开图的圆心角为90°，∴S全＝S侧＋S底＝eq\f(90π×402,360)＋100π＝500π(cm2).◆活动5课堂小结1．圆锥的母线长等于扇形的半径；扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．2．圆锥侧面展开图的有关计算．1．作业布置(1)教材P139习题29.3第6，7，8题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴点(2)直线l与☉P相切.理由如下:如图,连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2.所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.所以