第2课时　结合反比例函数图象解决实际问题

第2课时结合反比例函数图象解决实际问题教师备课素材示例●置疑导入勘探小组进行野外勘探，途中遇到一片烂泥湿地．他们沿着前进的路线铺垫了若干块木板，从而顺利完成了任务．问题：1.你能用物理中学过的关于压强的知识解释他们这样做的道理吗？2．压强问题能利用反比例函数知识解决吗？【教学与建议】教学：日常生活中有关物理知识利用反比例函数解决，让学生体会到数学与实际生活的密切联系．建议：教师展示情境后先复习物理中有关压强的知识，再提出问题．●悬念激趣公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德说了这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”给你一个支点，你能撬动地球吗？这里蕴含着什么原理呢？杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，由这个等式，我们可以发现当阻力与阻力臂一定时，__动力__和__动力臂__成反比例函数关系．【教学与建议】教学：通过科学家的经典名言抓住学生的注意力，并让学生尝试用反比例函数关系理解问题．建议：教师先用幻灯片展示图片，然后给出名言，继而提出问题．命题角度1利用反比例函数的图象及性质解决生活中的实际问题【例1】一辆车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：t＝eq\f(k,v)，其图象为如图所示的一段曲线，端点为A(40，1)和B(m，0.5).(1)求k和m的值；(2)若行驶速度为60km/h，则汽车通过该路段需要多长时间？解：(1)由题意，得函数t＝eq\f(k,v)经过点A(40，1)，故1＝eq\f(k,40)，解得k＝40.∴函数关系式为t＝eq\f(40,v).把B(m，0.5)代入t＝eq\f(40,v)，得m＝eq\f(40,0.5)＝80.(2)当v＝60时，t＝eq\f(40,60)＝eq\f(2,3).答：汽车通过该路段需要eq\f(2,3)h．命题角度2利用反比例函数的图象及性质解决物理问题利用反比例函数的图象和性质解决物理中常见的杠杆、电功率、压强等问题．【例2】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于10Ω时，电流I可能是(D)A．5AB．4AC．3AD．2A【例3】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图．(1)求这个函数的解析式；(2)当气体体积为1m3时，气压是多少？(3)当气体内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？(精确到0.01m3)解：(1)设p＝eq\f(k,V).根据题意，得120＝eq\f(k,0.8)，解得k＝96.∴这个函数的解析式为p＝eq\f(96,V).(2)当V＝1m3时，p＝eq\f(96,1)＝96(kPa).(3)当p＝140kPa时，V＝eq\f(96,140)≈0.69(m3).答：为了安全起见，气体的体积应不小于0.69m3.高效课堂教学设计1．通过反比例函数在物理问题中的应用，进一步增强建模思想．2．经历“实际问题——数学建模——拓展应用”的过程，提高学生分析问题，解决问题的能力．▲重点运用反比例函数的有关知识解决物理问题．▲难点构建反比例函数模型解决实际应用问题．◆活动1新课导入“给我一个支点，我可以撬动地球”，古希腊科学家阿基米德曾如是说，他的“杠杆原理”通俗地讲是：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．由上述等式，我们发现，当阻力、阻力臂一定时，动力和动力臂成反比例函数关系．◆活动2探究新知教材P76例3.提出问题：(1)力F、物体在力F的方向上发生的位移s与力F所做的功W有怎样的关系式？(2)对W＝Fs，通过公式变形，可以得到F＝__eq\f(W,s)__或s＝__eq\f(W,F)__．(3)当W一定时，F是s的反比例函数吗？请写出该反比例函数的解析式．(4)请独立完成例3.学生完成并交流展示．◆活动3例题与练习例1在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示．(1)求I与R之间的函数解析式；(2)结合图象回答：当电路中的电流不超过12A时，电路中电阻R的取值范围是什么？解：(1)设I＝eq\f(U,R)，根据题目条件知，当R＝6时，I＝6，∴U＝36.∴I与R之间的函数解析式为I＝eq\f(36,R).(2)根据图象，得R≥3.例2某汽车的功率P(W)为一定值，它的速度v(m/s)与它所受的阻力F(N)之间的函数关系为v＝eq\f(P,F)，且当F＝3000时，v＝20.(1)这辆汽车的功率是多少瓦？请写出这一函数的解析式．(2)当它所受的阻力为2500N时，汽车的速度为多少？(3)如果限定汽车的速度不超过30m/s，则阻力在什么范围？解：(1)由v＝eq\f(P,F)，得P＝Fv＝3000×20＝60000(W)，∴这辆汽车的功率为60000W，此函数的解析式为v＝eq\f(60000,F).(2)当F＝2500N时，v＝eq\f(60000,F)＝eq\f(60000,2500)＝24，∴汽车的速度为24m/s.(3)由eq\f(60000,F)≤30，F＞0，解得F≥2000，∴阻力大于或等于2000N．练习1．研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是(A)A．0.5mB．0.4mC．0.125mD．0.6m2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气球的体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．(kPa是一种压强单位)(1)写出这个函数的解析式；(2)当气球的体积为0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？(3)当气球内气压大于144kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？解：(1)这个函数的解析式为p＝eq\f(96,V)；(2)当V＝0.8m3时，p＝eq\f(96,0.8)＝120，∴气球内的气压是120kPa.(3)当p＝144kPa时，V＝eq\f(2,3)m3.根据函数图象得，当p≤144kPa时，V≥eq\f(2,3)m3.∴为了安全起见，气球的体积应不小于eq\f(2,3)m3.◆活动4课堂小结1．反比例函数知识在物理问题中的应用．2．进一步掌握建模思想．1．作业布置(1)教材P81习题27.3第6，8题；(2)学生用书对应课时练习．2．教学反思________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________综合训练一、选择题1.下列叙述正确的是()A.“如果a,b是实数,那么a+b=b+a”是不确定事件B.某种彩票的中奖率为17C.掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是必然事件D.“某班50名同学中恰有2名同学生日是同一天”是随机事件2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()3.若关于x的一元二次方程(a-1)x2+3x-2=0有实数根,则实数a的取值范围是()A.a>-18 B.a≥-C.a>-18,且a≠1 D.a≥-18,且a4.若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为()A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6C.x1=32,x2=52 D.x1=-4,x25.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3;③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是-1≤x<3;⑤当x<0时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数是()A.4 B.3 C.2 D.16.如图,Rt△ABC的内切圆☉O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E,过劣弧DE(不包括端点D,E)上任一点P作☉O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N.若☉O的半径为r,则Rt△MBN的周长为()A.r B.32r C.2r D.57.如图,8×8方格纸上的两条对称轴EF,MN相交于中心点O,对△ABC分别作下列变换:①先以点A为中心顺时针方向旋转90°,再向右平移4格,向上平移4格;②先以点O为中心作中心对称图形,再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°;③先以直线MN为轴作轴对称图形,再向上平移4格,再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°.其中,能将△ABC变换后与△PQR重合的是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.已知圆上一段弧长为5πcm,它所对的圆心角为100°,则该圆的半径为()A.6cm B.9cm C.12cm D.18cm9.如图,四边形ABCD内接于☉O,连接BD.若AC=BC,∠BDC=50°,则∠ADC的度数是(A.125° B.130°C.135° D.140°10.在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式为()A.y=-x-522−C.y=-x-522−11.如图,随机闭合开关K1,K2,K3中的两个,则能让两盏灯泡同时发光的概率为()A.16 B.13 C.12 12.某校校园内有一个大正方形花坛,如图甲所示,由四个边长均为3m的小正方形组成,且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形ABCD如图乙所示,DG=1m,AE=AF=xm,在五边形EFBCG区域上种植花卉,则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是()二、填空题13.请写出符合条件:一个根为x=1,另一个根满足-1<x<1的一元二次方程.

14.抛物线y=-2(x+5)2-3的对称轴是直线.

15.两个全等的三角尺重叠摆放在△ACB的位置,将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转到△DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,AB与CE相交于点F.已知∠ACB=∠DCE=90°,∠B=30°,AB=8cm,则CF=cm.

16.在-3,-2,1,2,3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=ax2+4x-2中a的值,则该二次函数图象开口向上的概率是.

17.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的☉O与BC边相切于点E,则☉O的半径为.

18.如图,圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,若OA=3,OC=1,分别连接AC,BD,则图中阴影部分的面积为.

三、解答题19.某小区为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为:可回收物、厨余垃圾、其他垃圾三类,分别记为A,B,C,并且设置了相应的垃圾箱,依次记为a,b,c.(1)若将三类垃圾随机投入三个垃圾箱,请你用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率;(2)为了调查小区垃圾分类投放情况,现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总重500kg的生活垃圾,数据如下(单位:kg):种类abcA401510B6025040C151555试估计“厨余垃圾”投放正确的概率.20.如图,已知△OAB的顶点A(-6,0),B(0,2),O是坐标原点,将△OAB绕点O按顺时针旋转90°,得到△ODC.(1)写出C,D两点的坐标;(2)求过A,D,C三点的抛物线的解析式,并求此抛物线顶点E的坐标;(3)求证:AB⊥BE.21.(1)根据要求,解答下列问题:①方程x2-2x+1=0的解为;

②方程x2-3x+2=0的解为;

③方程x2-4x+3=0的解为;

……(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:①方程x2-9x+8=0的解为;

②关于x的方程的解为x1=1,x2=n.

(3)请用配方法解方程x2-9x+8=0,并验证猜想结论的正确性.22.如图,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角,得到矩形CFED.设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0).(1)当α=60°时,△CBD的形状是;

(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式.23.如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,点E在☉O外,∠EAC=∠D=60°.(1)求∠ABC的度数;(2)求证:AE是☉O的切线;(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.24.已知点M是二次函数y=ax2(a>0)图象上的一点,点F的坐标为0,14a,直角坐标系中的坐标原点O与点M,F在同一个圆上,圆心(1)求a的值;(2)当O,Q,M三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标;(3)当点M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴,垂足为N.求证:MF=MN+OF.25.如图,☉O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC∥DE,AC交BD于点H,DO及延长线分别交AC,BC于点G,F.(1)求证:DF垂直且平分AC;(2)求证:FC=CE;(3)若弦AD=5cm,AC=8cm,求☉O的半径.

综合训练一、选择题1.D2.A3.D4.A5.B6.C连接OD,OE(图略),因为☉O是Rt△ABC的内切圆,所以OD⊥AB,OE⊥BC.又因为MD,MP都是☉O的切线,且D,P是切点,所以MD=MP,同理可得NP=NE.故CRt△MBN=MB+BN+NM=MB+BN+NP+PM=MB+MD+BN+NE=BD+BE=2r.7.D①②③三种变换都能将△ABC变换后与△PQR重合.8.B根据弧长公式l=nπR1809.B10.A抛物线y=x2+5x+6=x+522−14,顶点坐标为-52,-14,将其绕原点旋转180°后,顶点坐标变为52,14,开口方向向下,抛物线的形状没有发生变化11.B随机闭合开关K1,K2,K3中的两个有3种可能结果,分别为K1,K2;K1,K3;K2,K3.其中,能让两盏灯泡同时发光的结果有1种,所以所求概率为1312.AS△AEF=12AE·AF=12x2,S△DEG=12DG·DE=12×1×(3-x)=3-x2,S五边形EFBCG=S正方形ABCD-S△AEF-S△DEG=9-12x2-3-x2=-12x2+12x+152,则∵0<AE<AD,∴0<x<3,综上可得y=-2x2+2x+30(0<x<3).二、填空题13.x2-x=0(答案不唯一)14.x=-515.23因为AC=DC,∠D=60°,∠B=30°,所以△ADC是等边三角形,∠ACF=30°.因为∠B=30°,AB=8,所以∠CAF=60°,AC=4,进而可求CF=23cm.16.317.254如图,连接EO并延长交AD于点H,连接∵四边形ABCD是矩形,☉O与BC边相切于点E,∴EH⊥BC,∴EH⊥AD.∴根据垂径定理,得AH=DH.∵AB=8,AD=12,∴AH=6,HE=8.设☉O的半径为r,则AO=r,OH=8-r.在Rt△OAH中,由勾股定理,得(8-r)2+62=r2,解得r=254∴☉O的半径为25418.2π△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD,所以△AOC≌△BOD,图中阴影部分的面积为14π(OA2-OC2)=14π(32-12)=2三、解答题19.解(1)画树状图如下:所以垃圾投放正确的概率是39(2)由题表可估计“厨余垃圾”投放正确的概率为25060+250+4020.(1)解C(2,0),D(0,6).(2)解由于抛物线过点D(0,6),所以可设抛物线解析式为y=ax2+bx+6(a≠0),由题意可得36解得a所以抛物线解析式为y=-12x2-2x+6由y=-12x2-2x+6=-12(x+2)2知抛物线顶点E的坐标为(-2,8).(3)证明(方法一)过点E作EM⊥y轴,垂足为M(图略),易得OA=BM=6,OB=EM=2,又因为∠EMB=∠AOB=90°,所以△ABO≌△BEM.所以∠BAO=∠MBE.所以∠ABE=90°,即AB⊥BE.(方法二)连接AE(图略).根据勾股定理,得AB2=62+22=40,EB2=22+62=40,AE2=42+82=80,所以AE2=AB2+EB2,所以△ABE是直角三角形,AB⊥BE.21.解(1)①(x-1)2=0,解得x1=x2=1,即方程x2-2x+1=0的解为x1=x2=1;②(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2,即方程x2-3x+2=0的解为x1=1,x2=2;③(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,即方程x2-4x+3=0的解为x1=1,x2=3.(2)①方程x2-9x+8=0的解为x1=1,x2=8;②关于x的方程x2-(1+n)x+n=0的解为x1=1,x2=n.(3)x2-9x=-8,x2-9x+814=-8+814,x-922=494,x-92所以猜想正确.22.解(1)等边三角形.(2)设AH=x,则HB=AB-AH=6-x,依题意可得AB=OC=6,BC=OA=4.在Rt△BHC中,HC2=BC2+HB2,即x2-(6-x)2=42,解得x=133.故H13设直线FC的方程为y=kx+b(k≠0),把H133,4