2025-2026年重庆市部编版高一数学第6单元函数性质习题

2025-2026年重庆市部编版高一数学第6单元函数性质习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间(-2,2)上的最大值是（）A.2√3B.4C.0D.-4解析：本题考查函数极值与最值的求解。首先求导f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=4，故最大值为4。选项A为f(-1)的值，选项C为f(0)的值，选项D为f(-2)的值，均不符合题意。2.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值，则a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2解析：本题考查二次函数顶点坐标与最值性质。函数f(x)的对称轴为x=-a，由题意x=1为对称轴，故-a=1，解得a=-1。选项B为对称轴方程的负值，选项C为对称轴方程的2倍，选项D为对称轴方程的相反数，均不符合题意。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.3C.0D.-1解析：本题考查绝对值函数的性质。函数f(x)可分段表示为：f(x)=-2x-1（x＜-2）3（-2≤x≤1）2x+1（x＞1）显然在区间[-2,1]上f(x)取得最小值3。选项A为f(0)的值，选项C为f(1)的值，选项D为f(-1)的值，均不符合题意。4.函数f(x)=sin(x+π/4)的图像关于（）对称A.x轴B.y轴C.直线x=π/4D.直线x=-π/4解析：本题考查三角函数的对称性。函数f(x)=sin(x+π/4)的图像可由y=sinx向左平移π/4得到。正弦函数的对称轴为x=kπ+π/2，平移后为x=kπ+π/4，故对称轴为直线x=kπ+π/4（k∈Z）。选项C为k=0时的对称轴，选项D为k=-1时的对称轴，选项A和B均不符合正弦函数的对称性，故正确答案为C。5.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域是（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[0,2]C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.R解析：本题考查对数函数的定义域。由x²-2x+1>0得(x-1)²>0，解得x≠1。故定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)。选项B为x²-2x+1=0的解集，选项C为x²-2x+1<0的解集，选项D为x²-2x+1=1的解集，均不符合题意。6.函数f(x)=2^x在区间[0,1]上的值域是（）A.[1,2]B.[0,1]C.[2,4]D.[1,4]解析：本题考查指数函数的值域。函数f(x)=2^x在区间[0,1]上单调递增，故最小值为f(0)=1，最大值为f(1)=2，值域为[1,2]。选项C为f(2)的值，选项D为[1,2]的扩展区间，选项B为f(0)的值，选项A为[1,2]的准确值域。7.函数f(x)=tan(2x-π/3)的周期是（）A.πB.π/2C.3π/2D.2π解析：本题考查正切函数的周期性。正切函数y=tan(x)的周期为π，故f(x)=tan(2x-π/3)的周期为π/|2|=π/2。选项A为原函数的周期，选项C为π的3倍，选项D为原函数周期的2倍，均不符合题意。8.函数f(x)=cos(2x+π/4)的图像可由y=cosx的图像（）A.向左平移π/4得到B.向右平移π/4得到C.向左平移π/2得到D.向右平移π/2得到解析：本题考查余弦函数的平移变换。函数f(x)=cos(2x+π/4)可表示为cos[2(x+π/8)]，即y=cosx向左平移π/8得到。选项A为向左平移π/4，选项C为向左平移π/2，选项D为向右平移π/2，均不符合题意。9.函数f(x)=x³-3x+1的拐点是（）A.(0,1)B.(1,1)C.(-1,3)D.(0,0)解析：本题考查函数的拐点。首先求二阶导f''(x)=6x，令f''(x)=0得x=0。计算f(0)=1，故拐点为(0,1)。选项B为f(1)的值，选项C为f(-1)的值，选项D为f(0)的x坐标，均不符合题意。10.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值是（）A.eB.e-1C.1/eD.1/(e-1)解析：本题考查函数的平均值公式。函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值=(1/e^1-e^0)/(1-0)=(1/e-1)/1=1/e-1。选项A为e^1的值，选项C为1/e的值，选项D为1/(e-1)的值，均不符合题意。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x²-4x+3的单调递增区间是_________。参考答案：[2,+∞)解析：函数f(x)的导数f′(x)=2x-4，令f′(x)≥0得x≥2，故单调递增区间为[2,+∞)。2.函数f(x)=|x-2|+|x+1|的值域是_________。参考答案：[3,+∞)解析：函数f(x)可分段表示为：f(x)=-2x+1（x＜-1）3（-1≤x≤2）2x-1（x＞2）显然在区间[-1,2]上f(x)取得最小值3，故值域为[3,+∞)。3.函数f(x)=sin(π/3-x)的图像关于_________对称。参考答案：x=π/3解析：函数f(x)=sin(π/3-x)可表示为sin[π/2-(x-π/3)]，即y=sinx向右平移π/3得到。正弦函数的对称轴为x=kπ+π/2，平移后为x=kπ+π/2-π/3，故对称轴为直线x=kπ+π/6（k∈Z）。选项x=π/3为k=0时的对称轴。4.函数f(x)=log₅(x²+x)的定义域是_________。参考答案：(-∞,-1)∪(0,+∞)解析：由x²+x>0得x(x+1)>0，解得x<-1或x>0，故定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞)。5.函数f(x)=2^(-x)在区间[-1,1]上的值域是_________。参考答案：[1/2,2]解析：函数f(x)=2^(-x)在区间[-1,1]上单调递减，故最小值为f(1)=1/2，最大值为f(-1)=2，值域为[1/2,2]。6.函数f(x)=tan(3x-π/4)的周期是_________。参考答案：π/3解析：正切函数y=tan(x)的周期为π，故f(x)=tan(3x-π/4)的周期为π/|3|=π/3。7.函数f(x)=cos(π/3+x)的图像可由y=cosx的图像_________得到。参考答案：向左平移π/3解析：函数f(x)=cos(π/3+x)可表示为cos[π/3+(x-0)]，即y=cosx向左平移π/3得到。8.函数f(x)=x³-3x²+2的极值点是_________。参考答案：x=0，x=2解析：首先求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f′′(0)=6>0，f′′(2)=-6<0，故x=0为极小值点，x=2为极大值点。9.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值是_________。参考答案：e-1解析：函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值=(e^1-e^0)/(1-0)=(e-1)/1=e-1。10.函数f(x)=sin(2x+π/6)的图像可由y=sinx的图像_________得到。参考答案：向左平移π/12解析：函数f(x)=sin(2x+π/6)可表示为sin[2(x+π/12)]，即y=sinx向左平移π/12得到。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x²在区间(-1,1)上的值域是[0,1)。解析：错误。函数f(x)=x²在区间(-1,1)上单调递增，故值域为[0,1)。2.函数f(x)=cos(x+π/2)的图像与y=sinx的图像完全重合。解析：正确。函数f(x)=cos(x+π/2)可表示为cos(x-(-π/2))，即y=cosx向右平移π/2得到y=sinx。3.函数f(x)=log₃(x-1)在区间[2,3]上单调递增。解析：正确。函数f(x)=log₃(x-1)的导数f′(x)=1/(ln3(x-1))>0，故在定义域内单调递增。4.函数f(x)=tan(π/4-x)的图像关于x=π/4对称。解析：错误。函数f(x)=tan(π/4-x)可表示为tan[π/2-(x-π/4)]，即y=tanx向右平移π/4得到。正切函数的对称轴为x=kπ+π/2，平移后为x=kπ-π/4，故对称轴为直线x=kπ-π/4（k∈Z）。5.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值是1。解析：错误。函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值=(e^1-e^0)/(1-0)=(e-1)/1=e-1≠1。6.函数f(x)=sin(π/2-x)的图像与y=cosx的图像完全重合。解析：正确。函数f(x)=sin(π/2-x)可表示为sin(x-π/2)，即y=sinx向左平移π/2得到y=cosx。7.函数f(x)=x³在区间(-1,1)上的值域是(-1,1)。解析：错误。函数f(x)=x³在区间(-1,1)上单调递增，故值域为(-1,1)。8.函数f(x)=cos(2x+π)的图像可由y=cosx的图像向右平移π/2得到。解析：正确。函数f(x)=cos(2x+π)可表示为cos[2(x+π/2)]，即y=cosx向右平移π/2得到。9.函数f(x)=log₅(x²-2x+1)在区间(0,2)上单调递减。解析：正确。函数f(x)=log₅(x²-2x+1)在区间(0,2)上单调递减，因为x²-2x+1在(0,2)上单调递减。10.函数f(x)=tan(π/3+x)的图像关于x=-π/3对称。解析：错误。函数f(x)=tan(π/3+x)可表示为tan[π/3+(x-0)]，即y=tanx向左平移π/3得到。正切函数的对称轴为x=kπ+π/2，平移后为x=kπ-π/3，故对称轴为直线x=kπ-π/3（k∈Z）。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+4在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解：首先求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=6，f(0)=4，f(2)=0，f(3)=1。故最大值为f(-1)=6，最小值为f(2)=0。2.判断函数f(x)=sin(2x-π/4)的奇偶性。解：函数f(x)=sin(2x-π/4)的定义域为R，关于原点对称。计算f(-x)=sin(-2x-π/4)=-sin(2x+π/4)≠sin(2x-π/4)且≠-sin(2x-π/4)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数。3.求函数f(x)=log₃(x²+x+1)的单调区间。解：函数f(x)=log₃(x²+x+1)的定义域为R，因为x²+x+1>0恒成立。求导f′(x)=2x+1/(ln3(x²+x+1))，令f′(x)≥0得x≥-1/2，故单调递增区间为[-1/2,+∞)；令f′(x)≤0得x∈∅，故无单调递减区间。4.求函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值。解：函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值=(e^1-e^0)/(1-0)=(e-1)/1=e-1。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²+10x+100（万元），收入函数为R(x)=50x-2x²（万元），其中x为产量（单位：万件）。求该产品的边际利润函数。解：利润函数L(x)=R(x)-C(x)=-3x²+40x-100，边际利润函数为L′(x)=-6x+40。2.某物体做直线运动，位移函数为s(t)=t³-6t²+9t（米），求该物体在t=2秒时的速度和加速度。解：速度函数v(t)=s′(t)=3t²-12t+9，加速度函数a(t)=v′(t)=6t-12。当t=2时，v(2)=3，a(2)=0。3.某商场销售某种商品，售价为p元时，需求量q满足q=100-2p。求该商品的收入函数，并求收入最大时的售价。解：收入函数R(p)=pq=100p-2p²，求导R′(p)=100-4p，令R′(p)=0得p=25。计算R(25)=1250，故收入最大时的售价为25元。4.某公司投资某项目，投资额为A万元，年收益率为r，求5年后的本息和。解：本息和S=A(1+r)^5。例如，若A=100万元，r=10%，则S=100(1+0.1)^5=161.051万元。【标准答案及解析】一、单选题1.D2.A3.B4.C5.A6.A7.B8.A9.A10.B二、填空题1.[2,+∞)2.[3,+∞)3.x=π/34.(-∞,-1)∪(0,+∞)5.[1/2,2]2.π/37.向左平移π/38.x=0，x=29.e-110.向左平移π/12三、判断题1.×2.√3.√4.×5.×6.√7.×8.√9.√10.×四、简答题1.最大值为f(-1)=6，最小值为f(2)=0。解析：首先求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=6，f(0)=4，f(2)=0，f(3)=1。故最大值为f(-1)=6，最小值为f(2)=0。2.f(x)既不是奇函数也不是偶函数。解析：函数f(x)=sin(2x-π/4)的定义域为R，关于原点对称。计算f(-x)=sin(-2x-