高考数学考前训练专题二第1讲数列的通项

大二轮专题复习专题二数列第1讲数列的通项微点一由Sn与an的关系求通项微点二构造法(配凑法)求通项微点三不动点法与特征根法求通项专题强化练微点四奇偶分离法求通项内容索引微点一由Sn与an的关系求通项

(1)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4，则{an}的通项公式为

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例1an=4·(-3)n-1

解析

解析规律方法

√

解析(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且有2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n.求数列{an}的通项公式.

解返回微点二构造法(配凑法)求通项(1)已知数列{an}满足2an+1=6an+7，a1=1，则an=

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例2

解析(2)(2025·邢台模拟)已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=2an+n-1，则a11等于A.2037 B.2047C.1014 D.1021√

解析

√

解析

解析规律方法形式构造方法an+1=pan+q引入参数c，构造新的等比数列{an-c}an+1=pan+qn+c引入参数x，y，构造新的等比数列{an+xn+y}an+1=pan+qn

√

解析(2)已知数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n，则an=

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2n+1方法一

由an+1=3an-4n，可设an+1+x(n+1)+y=3(an+xn+y)，其中x，y为常数，整理得an+1=3an+2xn+2y-x，故2x=-4，2y-x=0，得x=-2，y=-1，所以an+1-2(n+1)-1=3(an-2n-1)=…=3n(a1-2×1-1)=3n(a1-3).又a1-3=0，所以{an-2n-1}是各项均为0的常数列，故an-2n-1=0，即an=2n+1.方法二

由an+1=3an-4n，得an=3an-1-4(n-1)(n≥2)，两式相减得an+1-an=3(an-an-1)-4(n≥2).令bn=an+1-an，则b1=a2-a1=3a1-4-a1=2，bn=3bn-1-4(n≥2)，解析

解析

解析返回微点三不动点法与特征根法求通项1.不动点法：①形如an+1=pan+q的数列求通项公式的步骤：a.由x=px+q求出数列{an}的不动点；b.在递推公式an+1=pan+q两端同时减去x，化简使其左、右两侧结构一致；c.构造数列求通项.②an+1=pan+f(n)可转化为bn+1=pbn+k的形式求解.2.特征根法：形如a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan(p，q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征根方程为x2=px+q，

①若①有二异根α，β，则可令an=c1αn+c2βn(c1，c2是待定常数)；若①有二重根α=β，则可令an=(c1+nc2)αn(c1，c2是待定常数)，再利用a1=m1，a2=m2，可求得c1，c2，进而求得an.(1)已知数列{an}满足an+1=3an-4n-5，a1=5，求数列{an}的通项公式.例3

解

解

解(2)已知在数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)，求这个数列的通项公式.

解

解规律方法

规律方法(2)特征根法求an+2=pan+1+qan型的通项公式an+2=pan+1+qan对应于一元二次方程x2-px-q=0，此方程为该数列的特征根方程.①若特征根方程有两个不等实根α，β，则an=A·αn+B·βn，A，B由a1，a2的值决定.②若特征根方程只有一个实根α，则an=(An+B)·αn，A，B由a1，a2的值决定.

解析(2)已知数列{an}满足a1=1，a2=2，4an+2=4an+1-an(n∈N*)，则an=

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解析返回微点四奇偶分离法求通项

(1)已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an=an-2+2(n∈N*，n≥3)，则数列{an}的通项公式为

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例4an=n+(-1)n

解析(2)已知正项等比数列{an}对任意的n∈N*均满足anan+1=22n+1，a1=2，则{an}的通项公式为

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an=2n

解析规律方法

跟踪演练4

(1)已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=1，an+an+1=4n+1，则数列{an}的通项公式为

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解析(2)已知数列{an}满足：a1=3，anan+1=9×22n-1，则数列{an}的通项公式为

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an=3×2n-1

解析返回专题强化练对一对答案1234567891011121314题号12345678答案DCBBCCBD题号91011121314答案ABCBCDABD2n+n一、单项选择题1.设数列{an}的前n项和为Sn.若a1=1，an+1=2Sn+1，则S6等于A.61 B.121 C.125

D.364√1234567891011121314答案

解析

√1234567891011121314答案

解析

√1234567891011121314答案

解析

√1234567891011121314答案

解析1234567891011121314答案

解析1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案

解析1234567891011121314答案6.已知数列{an}满足[2-(-1)n]an+[2+(-1)n]an+1=1+(-1)n×3n(n∈N*)，则a25-a1等于A.100 B.200C.300 D.400√1234567891011121314答案

解析1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案

解析1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案

解析1234567891011121314答案二、多项选择题9.已知数列{an}中，a1=1，an·an+1=2n，n∈N*，则下列说法正确的是A.a4=4 B.{a2n}是等比数列C.a2n-a2n-1=2n-1

D.a2n-1+a2n=2n+1√√√1234567891011121314答案

解析1234567891011121314答案

√√√1234567891011121314答案

解析1234567891011121314答案

解析1234567891011121314答案

√√√1234567891011121314答案

解析1234567891011121314答案

解析1234567891011121314答案

解析1234567891011121314答案三、填空题12.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足an(Sn+Sn-1)=1，且a1=1，则数列{Sn}的通项公式为

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