课件0606函数的递归

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书名：《Python编程基础与应用（第2版）》出版社：机械工业出版社主编：蓝永健、陈冬冬副主编：蔡德琛、朱海鑫、邓爱玲+contents目录递归函数的含义经典递归范例阅读角函数的递归01

什么叫递归函数？什么叫递归函数？简而言之，函数的递归就是在函数的定义中，函数内部的语句调用函数本身。举个例子，我们来计算非负整数的阶乘n!=1x2x3x...xn。简单分析一下：n!=1#当n=1n!=1x2=2#当n=2n!=1x2x3=6#当n=3n!=nx(n-1)!#当n>1时用函数f(n)表示，可以看出：f(n)=n!=1x2x3x...x(n-1)xn=(n-1)!xn=f(n-1)xn所以，f(n)可以表示为nxf(n-1)，只有当n=1时需要特殊处理，其他情况就是n!=nx(n-1)!运算。

什么叫递归函数？递归函数是指在函数定义中直接或间接调用自身的函数。这是一种通过将问题分解为更小的同类子问题来解决问题的方法。核心特征：自调用性：在函数体内调用自身。基准条件（BaseCase）：必须存在终止递归的条件。递推关系：每次调用都向基准条件推进范例：非负整数的阶乘n!#定义deffactorial(n):ifn==1:return1else:returnn*factorial(n-1)#调用foriin(range(1,10)):print(i,"!=",factorial(i))它的运行结果如下：1!=12!=23!=64!=245!=1206!=7207!=50408!=403209!=362880

递归函数的注意事项递归深度限制：Python默认递归深度约1000层（可通过sys.setrecursionlimit()修改）性能考虑：递归可能有额外的函数调用开销尾递归优化：Python不原生支持尾递归优化栈溢出风险：深度递归可能导致栈溢出

递归函数的适用场景问题具有自然递归结构（如树形结构遍历）子问题与原问题同构但规模更小代码可读性比极致性能更重要时

递归函数与循环的对比特性递归循环代码简洁性高中内存消耗较高（调用栈）低可读性问题自然表达时更优线性过程更清晰调试难度较高较低

经典递归范例02经典递归范例——阶乘计算

经典递归范例——阶乘计算

经典递归范例——斐波那契数列

经典递归范例——斐波那契数列

经典递归范例——数字各位求和

经典递归范例——数字各位求和

经典递归范例——列表元素求和

经典递归范例——列表元素求和

前面4个经典递归范例——总结

注：递归的简洁性以性能为代价（如斐波那契的指数级复杂度），实际开发中需权衡使用。阅读角03

汉诺塔问题汉诺塔问题就是递归问题的一个经典案例。汉诺塔问题源于印度一个古老传说。相传大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，任何时候，在小圆盘上都不能放大圆盘，且在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘，如图所示。问应该如何操作？

汉诺塔问题汉诺塔问题的解决思路：我们可以先假设除a柱最下面的盘子之外，已经成功地将a柱上面的63个盘子移到了b柱，这时我们只要再将最下面的盘子由a柱移动到c柱即可。当我们将最大的盘子由a柱移到c柱后，b柱上便是余下的63个盘子，a柱为空。因此现在的目标就变成了将这63个盘子由b柱移到c柱。这个问题和原来的问题完全一样，只是由a柱换为了b柱，规模由64变为了63。因此可以采用相同的方法，先将上面的62个盘子由b柱移到a柱，再将最下面的盘子移到c柱。

汉诺塔问题以此类推，再以b柱为辅助，将a柱上面的62个圆盘最上面的61个圆盘移动到b柱，并将最后一块圆盘移到c柱。我们已经发现规律，我们每次都是以a或b中一根柱子为辅助，然后先将除了最下面的圆盘之外的其他圆盘移动到辅助柱子上，再将最底下的圆盘移到c柱子上，不断重复此过程。这个反复移动圆盘的过程就是递归，例如