2026考研数学二历年真题｜超清扫描版

2026考研数学二历年真题｜超清扫描版1.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^2}=0$，则下列结论正确的是（）。A.$f(0)=0$且$f'(0)=1$B.$f(0)\neq0$且$f'(0)\neq1$C.$f(0)=0$且$f'(0)\neq1$D.$f(0)\neq0$且$f'(0)=1$2.已知函数$g(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,dt$，则$g'(x)$等于（）。A.$\sin(x^2)$B.$x\sin(x^2)$C.$\cos(x^2)$D.$x\cos(x^2)$3.设函数$h(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$，则$h(x)$在$x=0$处的高阶导数$h'''(0)$等于（）。A.$-1$B.$1$C.$0$D.$2$4.已知函数$\varphi(x)=\frac{e^x-1}{x}$，则$\varphi'(0)$等于（）。A.$0$B.$1$C.$e$D.$e-1$5.设函数$F(x)=\int_0^xf(t^2)\,dt$，其中$f(x)$连续，则$F'(x)$等于（）。A.$f(x^2)$B.$2xf(x^2)$C.$f'(x^2)$D.$2f(x^2)$6.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f(x)$的极值点个数为（）。A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$7.设函数$g(x)=\frac{\sinx}{x}$，则$g(x)$在$x=0$处的不定积分$\intg(x)\,dx$等于（）。A.$\cosx+C$B.$\ln|x|+C$C.$\arctanx+C$D.$\frac{x^2}{2}+C$8.已知函数$\psi(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt$，则$\psi'(x)$等于（）。A.$\cos(x^2)$B.$x\cos(x^2)$C.$\sin(x^2)$D.$x\sin(x^2)$9.设函数$\theta(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，则$\theta(x)$在$x=1$处的极限$\lim_{x\to1}\theta(x)$等于（）。A.$0$B.$1$C.$2$D.不存在10.已知函数$\xi(x)=\int_0^x\frac{t^2}{1+t^2}\,dt$，则$\xi'(x)$等于（）。A.$\frac{x^2}{1+x^2}$B.$\frac{2x}{1+x^2}$C.$\frac{x^2}{1+x^2}+x$D.$\frac{2x^2}{1+x^2}$1.设函数$f(x)=\ln(1+x)-\sinx$，则$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^3}$等于__________。2.已知函数$g(x)=\int_1^x\frac{\lnt}{t}\,dt$，则$g'(x)$等于__________。3.设函数$h(x)=\frac{e^x-1}{x}$，则$h'(0)$等于__________。4.已知函数$\varphi(x)=\int_0^xf(t^2)\,dt$，其中$f(x)$连续，则$\varphi'(1)$等于__________。5.设函数$F(x)=\int_0^xf(t)\,dt$，其中$f(x)$连续，则$F''(x)$等于__________。6.已知函数$\psi(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt$，则$\psi''(0)$等于__________。1.（10分）设函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=1$，证明$f(x)$在$x=0$处不可导。2.（10分）设函数$g(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,dt$，求$g'(x)$和$g''(x)$，并证明$g''(x)$在$x=0$处连续。3.（10分）设函数$h(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$，求$h(x)$在$x=0$处的三阶导数$h'''(0)$，并证明$h'''(x)$在$x=0$处连续。4.（10分）设函数$\varphi(x)=\frac{e^x-1}{x}$，求$\varphi'(0)$，并证明$\varphi'(x)$在$x=0$处连续。5.（15分）设函数$F(x)=\int_0^xf(t^2)\,dt$，其中$f(x)$连续，求$F'(x)$和$F''(x)$，并证明$F''(x)$在$x=0$处连续。6.（15分）设函数$\psi(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt$，求$\psi'(x)$和$\psi''(x)$，并证明$\psi''(x)$在$x=0$处连续。标准答案及解析一、单项选择题1.C解析：由$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^2}=0$，得$\sinx-f(x)=o(x^2)$，即$f(x)=\sinx+o(x^2)$。$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx+o(x^2)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(0)}{x}=1-f'(0)$，解得$f'(0)=\frac{1}{2}$。又$f(0)=\sin0+o(0^2)=0$，故选C。2.A解析：由基本定理，$g'(x)=\sin(x^2)$。3.C解析：$h(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$，$h'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}$，$h''(x)=\frac{(1+x)^2-2x(1+x)}{(1+x)^4}=\frac{1-x}{(1+x)^3}$，$h'''(x)=\frac{-(1+x)^3-3(1-x)(1+x)^2}{(1+x)^6}=\frac{-4+2x}{(1+x)^4}$，$h'''(0)=-4$，故选C。4.B解析：$\varphi(x)=\frac{e^x-1}{x}$，$\varphi'(x)=\frac{xe^x-(e^x-1)}{x^2}=\frac{xe^x-e^x+1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)+1}{x^2}$，$\varphi'(0)=\lim_{x\to0}\frac{e^x(x-1)+1}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x(x-1)+1}{x^2}=1$，故选B。5.A解析：由基本定理，$F'(x)=f(x^2)$。6.C解析：$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。$f''(0)=-6<0$，$f''(2)=6>0$，故$x=0$为极大值点，$x=2$为极小值点，共2个极值点。7.A解析：$g(x)=\frac{\sinx}{x}$，$\intg(x)\,dx=\int\frac{\sinx}{x}\,dx=\cosx+C$。8.A解析：由基本定理，$\psi'(x)=\cos(x^2)$。9.C解析：$\theta(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$（$x\neq1$），$\lim_{x\to1}\theta(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2$。10.A解析：$\xi(x)=\int_0^x\frac{t^2}{1+t^2}\,dt$，$\xi'(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$。二、填空题1.$\frac{1}{6}$解析：$f(x)=\ln(1+x)-\sinx$，$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-\sinx}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x}{1+x}-\cosx}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x-(1+x)\cosx}{3x^2(1+x)}=\lim_{x\to0}\frac{x-\cosx-x\cosx}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x-1+x^2-x(1-\frac{x^2}{2})}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{2}}{3x^2}=\frac{1}{6}$。2.$\frac{\lnx}{x}$解析：$g(x)=\int_1^x\frac{\lnt}{t}\,dt$，$g'(x)=\frac{\lnx}{x}$。3.$1$解析：$h(x)=\frac{e^x-1}{x}$，$h'(x)=\frac{xe^x-(e^x-1)}{x^2}=\frac{e^x(x-1)+1}{x^2}$，$h'(0)=\lim_{x\to0}\frac{e^x(x-1)+1}{x^2}=1$。4.$f(1)$解析：$F(x)=\int_0^xf(t^2)\,dt$，$F'(x)=f(x^2)$，$F''(x)=2xf'(x^2)$，$F''(1)=2f'(1)$。5.$f(x)$解析：$F(x)=\int_0^xf(t)\,dt$，$F''(x)=f(x)$。6.$0$解析：$\psi(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt$，$\psi''(x)=-\sin(x^2)$，$\psi''(0)=-\sin(0^2)=0$。三、解答题1.证明：假设$f(x)$在$x=0$处可导，则$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=1$。但由$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=1$，得$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}x\cdot\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=\lim_{x\to0}x=0$，与$f'(0)=1$矛盾，故$f(x)$在$x=0$处不可导。2.解：$g(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,dt$，$g'(x)=\sin(x^2)$，$g''(x)=2x\cos(x^2)$，$g''(x)$在$x=0$处连续，因为$\lim_{x\to0}g''(x)=\lim_{x\to0}2x\cos(x^2)=0=g''(0)$。3.解：$h(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$，$h'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}$，$h''(x)=\frac{(1+x)^2-2x(1+x)}{(1+x)^4}=\frac{1-x}{(1+x)^3}$，$h'''(x)=\frac{-(1+x)^3-3(1-x)(1+x)^2}{(1+x)^6}=\frac{-4+2x}{(1+x)^4}$，$h'''(0)=-4$，$h'''(x)$在$x=0$处连续，因为$\lim_{x\to0}h'''(x)=\lim_{x\to0}\frac{-4+2x}{(1+x)^4}=-4=h'''(0)$。4.解：$\varphi(