鲁棒控制理论全套课件

鲁棒控制理论第一章绪论一、不确定性和鲁棒性

鲁棒控制是70年代兴起的、目前仍然非常活跃的一个研究领域，具有非常广泛的研究内容。本世纪初，控制系统设计方法主要是基于Bode曲线和Nyquist曲线可以用间接的方法处理系统不确定性问题发展了在增益和相位存在变化时仍能保证闭环系统稳定的增益裕度和相位裕度概念遗憾的是这些处理方法大多数局限于单变量输入单变量输出系统。随着时间的推移，科学技术的发展要求处理大量的多变量输入多变量输出系统的设计问题以二次型最优控制(LQ)为代表的一类多变量控制系统设计和最优化方法应运而生。但是随着其在实际工程中的应用，发现LQ理论设计出来的控制器对系统不确定性因素反应较为敏感不能保证闭环系统具有一定的稳定性和性能的鲁棒性控制器设计过程要求准确知道干扰过程的全部统计特性这一要求使该理论的工程应用受到工程实际条件的某些限制60—70年代，控制理论中关于状态空间的结构性理论得到了突破性的进展建立了线性系统的能控、能观性理论提出了反馈镇定的一整套严密的理论和方法这些理论和方法却依赖于受控对象的精确的数学模型由于实际的系统往往都是运行在不断变化的环境中，各种因素(如温度、原料、负荷、设备等)都是随时间变化的，一般说来，这种变化是无法精确掌握的。又由于受理论和方法的限制，在实际系统的建模过程中经常要做—些简化处理，如降阶、时变参数的定常化处理、非线性方程的线性化等使得实际系统和我们赖以做分析和设计的数学模型之间存在一定的差别。模型的不确定性不确定性的来源参数和结构（阶次）的变化规律未知高频下的未建模动态更严酷的工作条件控制系统本身造成的不确定性广义对象的建模从广义上来说，系统不确定性按结构可以分为以下两类：不确定性的结构未知，仅知不确定性变化的界限。不确定性的结构已知，存在着参数的变化(参数不确定性)。输入输出标称对象的传递函数未知对象的摄动未知噪声或干扰数学模型的这种不确定性必须在控制系统设计时进行考虑因此在控制系统设计中的：稳定鲁棒性在稳定鲁棒性要求的前提条件下的性能鲁棒性很值得进行研究的。系统控制哲学自适应：控制器可变参数鲁棒：固定参数控制器（以不变应万变）不确定性系统综合问题给定一个广义对象的集合，给定一个外部输入的集合，以及一个系统的性能指标，设计一个可实现的控制器，达到该指标的界。“鲁棒”一词来自英文词“Robust”的音译Robustness，即鲁棒性其含义是稳健、强壮，因而也常称之为稳健性或强壮性在70年代初期，人们正式地将鲁棒性的概念引入现代控制理论，然而关于鲁棒性本身却没有给出确切的定义。目前现代控制理论中所涉及的各种鲁棒性都具有其各自的含义。简单地说，鲁棒性是“抗扰动的能力”鲁棒性定义

从某种抽象的意义上来谈鲁棒性本身，而不局限于控制系统的鲁棒性。首先，鲁棒性是一种性质，它应该与某种事物相关联。如控制系统、矩阵等。因而我们通常所说的控制系统的鲁棒性即是与控制系统相关的某种意义下的抗扰能力。其次，鲁棒性所言及的对象并不是事物本身，而是事物的某种性质，如控制系统的稳定性、矩阵的可逆性或正定性等等。 因而通常的“控制系统的鲁棒性”这种说法并不确切。是一种很笼统的说法。如若确切地表述，则需指明“某事物的某种性质”的鲁棒性，如控制系统的稳定性的鲁棒性，简称控制系统的稳定鲁棒性；控制系统的某种性能的鲁棒性，简称控制系统的性能鲁棒性。再次，既然鲁棒性所表征的是“抗干扰的能力”，则必与所言事物的某种形式的“扰动”相关联。如对于控制系统而言，某些参量的变化、外界干扰等都可视为扰动；对于矩阵而言，其元素的摄动即是一种扰动。“扰动”往往都有多种形式，某事物的某性质针对事物不同形式的扰动决定了该事物、该性质的不同的鲁棒性。上面的“事物”、“事物的某种性质”和“事物的某种形式的扰动”是言及鲁捧性所必须的三个方面，缺一不可。给定某种事物W

及其所受的某种形式的扰动D，如果事物W的某种性质P

在事物W

受到扰动D

后仍然完全保持或在一定程度或范围内继续保持的话，则称事物W的性质P对于扰动D

具鲁棒性。根据上述定义，我们于数值分析中接触过的许多问题，如各种算法的数值稳定性分析问题、矩阵的各类扰动分析问题，都可归结为某种意义下的鲁棒性问题。从总体上说，鲁棒控制包含两大部分内容：控制系统的鲁棒性分析和鲁棒控制系统设计。鲁棒分析问题根据鲁棒性定义，我们可以将鲁棒性分析问题归结为两大类。第一类鲁棒性分析问题已知某事物W

及其性质P

和该事物的某种形式的扰动D，但不知道扰动D

的范围。一般说来，只要扰动D足够小，事物W受到扰动D后仍能够保持其性质P。但当扰动D的扰动范围大到一定程度时，事物W受到扰动D后便不再具有性质P。第一类鲁棒性分析所考虑的问题：事物W受到扰动D后仍保持性质P所允许的扰动D的“最大”扰动范围是多大?

上述所说的“允许的最大扰动范围”的描述要因具体的问题和具体的处理方法来决定，它一般是所论事物及其扰动量的函数，常称为鲁棒性指标。第二类鲁棒性分析问题第一类鲁棒性分析问题是在事物所受扰动的形式已知、但扰动范围未知的条件下，分析事物能够维持某种性质所允许的这种形式的扰动范围的大小。第二类鲁棒性分析问题，已知事物W及其性质P和事物W的某种形式的扰动△W及其扰动范围，要给出事物W受到扰动△W后是否仍具有性质P的确切结论。鲁棒控制系统设计鲁棒控制系统设计的任务可以较为笼统地概括为：给定一个受到某种扰动的系统，求取系统的某种形式的控制律，使得当扰动不存在时，在该控制律作用下的闭环系统具有某种希望的性能或要求；当扰动存在时，在该控制律作用下，闭环系统还仍能完全保持或在一定程度上继续保持所希望的性能和要求。在上述提法中，涉及到下述几方面因素：作为研究对象的受控系统;系统所受的扰动；控制律形式；闭环系统的希望性能或要求；“在一定程度上继续保持”系统性能在一个具体的鲁棒控制系统设计问题中，上述几方面因素都要有具体的内容或含义。根据这些因素的内容或含义的不同便决定了不同的鲁棒控制系统设计问题：由于我们所研究的系统从性质到描述形式都是多种多样的，而且它们所受的扰动也可以具有各种特定形式，人们对于控制系统的性能要求也可能是多方面的，所以这些因素的不同组合便给出了众多的鲁棒控制系统设计问题。由此可见，试图给出一个包罗万象的鲁棒控制系统设计问题是不现实的。根据用于反馈的信号是采用系统状态还是系统输出，可将反馈控制分为：状态反馈控制和输出反馈控制状态反馈控制显然状态反馈控制实现起来比较容易但在实际工程应用中，大多数系统的状态很难直接测量得到以实现反馈控制尽管可以采用状态观测器等技术来达到系统状态重构的目的，但是总非尽如人意。输出反馈控制输出反馈控制虽然实现起来相对困难一些但是大多数系统的输出可以直接测量得到，从而可以方便地构成反馈控制系统。根据研究所基于的模型不同，系统鲁棒性研究方法主要有两类:研究对象是闭环系统的状态矩阵或特征多项式的，一般采用代数方法研究是从系统的传递函数或传递函数矩阵出发的，就常常采用频率域方法二、关键性事件一般认为，多变量系统鲁棒控制的研究始于1976年。其研究的最重要特点是讨论参数在有界扰动(而不是无穷小扰动)下系统性能保持的能力。以下几个方面的开创性工作大大推动了鲁棒控制的发展。Davison等人提出的鲁棒调节器设计方法，使得闭环系统稳定且达到输出渐近调节，而且当对象的参数发生微小摄动(保证闭环稳定性)时，仍然达到输出渐近调节。Youla等人于1976年针对一个特定对象给出了所有镇定补偿器的参数化表示。该参数化方法使得控制器自动产生一个闭环稳定系统。Kharitonov于1978年针对区间多项式族，提出由四个区间端点作为系数的多项式的稳定性来判别区间多项式族的哈氏定理。Zames于1981年提出控制系统的设计方法。在假定干扰属于某一已知信号集的情况下，Zames提出用其相应的灵敏度函数的范数作为指标，设计目标是在可能发生的最坏干扰下使系统的误差在这种范数意义下达到极小，从而将抗干扰问题转化求解使闭环系统稳定，并使相应的范数指标极小化的输出反馈控制器设计问题。Doyle等人提出可根据范数界限扰动有效地描述模型不确定性，由此他发展了判别鲁棒稳定性和鲁棒性能的强有力工具——结构奇异值。Vidyasagar等人于1982年提出了同时镇定化问题：给定r个被控对象P1，P2

，…，Pr

，能否找到一个控制器，镇定所有被控对象。这里，被控对象由多个模型描述，主要是由故障或非线性系统在多个工作点线性化造成的。Lyapunov函数在鲁棒性分析与控制器设计中的应用。Matlab/MathWorks软件包三、课程内容课程性质：博士生基础课，重点是鲁棒控制理论的基础讨论对象：单输入单输出，线性，时不变，有限维前导课程：线性控制系统理论目的：扎实的基础课程内容信号和系统的范数基本概念不确定性和鲁棒性系统镇定H∞标准控制参考书目反馈控制理论，J.C.多伊尔、B.A.弗朗西斯、A.R.坦嫩鲍姆著鲁棒控制理论及应用，褚健、俞立、苏宏业著，浙江大学出版社，2000.4H2和H∞优化控制理论，王德进编著，哈尔滨工业大学出版社，2001.32026/9/15鲁棒控制理论第二章信号和系统的范数2026/9/15描述一个控制系统性能的方法之一是用某些我们感兴趣的信号的大小来表示。本章考察几种定义信号大小的方法（即信号的几种范数）介绍系统传递函数的范数给出两个非常有用的表，概括了输入-输出范数关系。2026/9/152.1信号的范数范数的4条性质1、2、3、4、考察从（-∞，∞）映射到R的信号。假定它们是连续分段的，当然在t<0可以是0（即该信号从t=0时刻开始）。三角不等式2026/9/15几种范数的定义1-范数定义2-范数定义∞-范数定义功率信号*u的平均功率pow(u)信号的时间累积量信号所携的总能量信号的最大幅值2026/9/15范数之间的关系

问题：一种范数有限是否意味着其他范数也有限？*如果，那么u是一功率信号，且证明：假定u的2-范数有限，则当，上面的不等式右边趋于02026/9/15*如果u是一功率信号且，那么证明：因成立，令，得到所求。2026/9/15如果，且，那么因而有证明：2026/9/15集合包含关系(Venn图)pow2∞12026/9/15例1它的1-范数有限：它的2-范数无限，因为1/t的积分在区间[0,1]是发散的同理，也不是功率信号又因u1

是无界的，因此||u1||∞是无限的11u1(t)t2∞12026/9/15例2它的1-范数存在它的2-范数存在它的∞-范数不存在11u2(t)t2∞12026/9/15例3它的1-范数不存在它的2-范数不存在它的∞-范数存在t012∞12026/9/152.2系统的范数考察线性时不变的、因果的、有限维系统，其输入输出模型令表示传递函数，即G的Laplace变换。系统的性质：因果性(Causal):现在系统的输出y由过去的输入决定的

t<0，G(t)=0有限维：是实有理函数稳定性正则性Guy2026/9/15稳定的如果在闭右半平面（Res>0）解析，或在Res>0无极点正则的Proper如果是有限的（分母的阶次大于等于分子的阶次）严格正则的StrictlyProper如果（分母的阶次大于分子的阶次）双正则的Bi-proper如果和两个都是正则的（分母阶次等于分子介词）2026/9/15Parseval定理设，记则传递函数的范数1-范数传递函数的范数2026/9/152-范数

∞-范数注意：如果是稳定的，由Parseval定理，等于复平面的原点到的Nyquist图的最远点的距离，也是的Bode幅频特性图的峰值。是次可乘的2026/9/15传递函数范数的存在性

问题：什么时候这两个范数是有限的？引理1：的2-范数是有限的，当且仅当是严格正则的，且无极点在虚轴上；的∞-范数是有限的，当且仅当是正则的，且无极点在虚轴上。2026/9/15证明：假定是严格正则的，无极点在虚轴上，那么其Bode幅频特性图在高频下降。不难看出，对于充分大的正数K和充分小的正数T，的Bode图必定高于的Bode图，即但的2-范数有限，且其2-范数等于，因此有有限的2-范数。其余的证明与此类似。看看更详细证明下一部分内容2026/9/15引理1的更详细证明关于2-范数充分性：若严格正则，且无极点在虚轴上，则若取令K充分大，T充分小（曲线充分平坦），则必有ω充分性得证。2026/9/15必要性：（反证法）若存在虚轴上的极点，则在极点处则若不是严格正则，则若是双正则的，若不是正则的， 必要性得证。关于∞-范数，类似可得证。2026/9/15如何计算2-范数

按定义假设是严格正则的，且无极点在虚轴上（因而它的2-范数有限），有最后的积分是沿虚轴向上，然后沿包围左半平面的无穷大半圆的回路积分。因为是严格正则的，故沿无穷大半圆的积分等于0。根据留数定理，等于在它的左半平面极点上的留数的和。2026/9/15例4已知在左半平面的极点是在这一极点上的留数等于因此2026/9/15如何计算∞-范数计算∞-范数需要搜索。设一系列稠密的频率点的估计值为另一方法是通过解方程找到的最大值的位置。因为是有理的，这个导数可以用公式算出，然后就只需计算导出的多项式的根。2026/9/15例5考察观察其Bode幅频特性图： 当，它是递增的（高通）， 反之，它是递减的（低通）。于是2026/9/152.3输入-输出关系问题：如果我们知道输入信号的大小，那么输出会是多大？考察一个线性系统，输入为，输出为，传递函数为，假定它是稳定的和严格正则的。结果概括在表2.1和表2.2中2026/9/15表2.1

对两种输入的输出范数和pow2026/9/15表2.2

系统增益2026/9/15两表的典型应用及意义假定在控制系统的分析或设计中除了其他因素外，要求干扰的影响减弱。设被控系统有一干扰输入u，它对对象输出y的影响是相当小的。令G是从u到y的脉冲响应。我们总是要求被控系统是稳定的，因而传递函数是稳定的。通常情况下它也是严格正则的（或至少是正则的）。这两个表告诉我们在各种意义下u对y的影响有多大。例如，如果u是一个固定频率的正弦信号（可能来自于60Hz的功率源），那么表2.1的第二列给出了三种意义下y的相对大小。更一般的情况是干扰信号预先未知，因此表2.2更有意义。2026/9/15定理：设稳定，且严格正则，则对于所有2-范数存在的u，有

(1) (2)证明：(1)由，且(Parseval定理)，有即表2.2的（1，1）项表2.2的（1，2）项2026/9/15下面证明是最小上界选择，使不失一般性，设。选择，满足则当充分小的正数，使得2026/9/15证明：(2)由或Cauchy-Schwarz不等式Parseval定理2026/9/15下面证明是最小上界选择则有则所以鲁棒控制理论第三章基本概念前言本章和下一章（不确定性和鲁棒性）是最基本的。集中讨论单回路反馈系统。首先定义系统的稳定性并给出其充分必要条件，进而分析系统渐近跟踪某些信号（即阶跃和斜坡）的能力，最后我们把跟踪作为一种性能指标来讨论。不确定性问题推迟到下一章。在前一章我们用到了时间域和频率域的信号，用u(t)记时间函数，用记它的Laplace变换。当上下文仅在频率域内，我们去掉^而更方便地写成u(s)；依此类推，脉冲响应G(t)、相应的传递函数也可作同样的简化。3.1基本反馈回路图3.1最基本的反馈控制系统对象敏感元件控制器尽管性能目标是多种多样的，但总可以概括成y应当接近某一预定的输入函数r。当然在外部干扰d，敏感噪声n以及对象的不确定性存在的情况下也是如此此外我们还可能要限制u的大小因为我们往往是通过v得到y的，所以通常根据量测信号v而不是y来描述系统的性能目标更有普遍意义下面的分析在频率域里进行，为简化记号，省略了表示Laplace变换的符号^假定图3.1中的每一部分都是线性的，因此它的输出是输入的线性函数更特殊化，假定三个部分的输出是它们输入的和或差的线性函数对应的方框图如图3.2

图3.2基本反馈回路PFC—“良定性”

（适定性，WellPostedness）“良定性”是指图3.2中所有闭环传递函数都存在，即从三个外部输入到所有内部信号u，y，v以及求和点的输出之间的传递函数都存在。诸求和点的输出示于图3.3中。为获得良定性，只需考察从r，d，n

到x1，x2，x3的9个传递函数PFC—x1x2x3图3.3基本反馈回路求和点的方程表达成矩阵形式或PFC—x1x2x3弱良定性 当且仅当行列式1+PCF不恒等于0时，称系统是（弱）良定的。

这一定义说明了系统所有传递函数的存在性。强良定性 当且仅当1+PCF不是严格正则时，称系统是（强）良定的。 这一定义说明了系统所有传递函数的正则性（系统的可实现性）。性质：若P，C和F是正则的，并且其中之一是严格正则的，则反馈系统是强良定的。证明：不失一般性，设P是严格正则的，设则可见当P严格正则时，1+PCF一定是双正则的。证毕。

在本课程中，一般假设P是严格正则的，C、F是正则的，即系统是强良定的。3.2内稳定(InternalStability)

仅仅看输入-输出传递函数，如从r到y，是不够的，这个传递函数可能是稳定的，因而当r有界时y也有界，但可能有内部信号是无界的，这种情况可能会引起物理系统内部结构的毁坏。定义：对于基本反馈回路，当r，d，n到x1，x2，x3的所有传递函数均稳定时，称系统是内稳定的。内稳定的一个结果是：如果外部输入的幅值有界，那么x1，x2和x3以及u，y和v都是有界的。因此，对所有有界的外部信号，内稳定确保内部信号是有界的（保证系统的安全性）。

例在图3.2中检验从r到y的传递函数是稳定的，但从d到y是不稳定的。因此反馈系统不是内稳定的。

这种情况是由于控制器的零点和对象的极点在s=1相消引起的。内稳定性检验方法定理1：反馈系统是内稳定的，当且仅当没有闭环极点在定理2：反馈系统是内稳定的，当且仅当下面两个条件成立：（1）传递函数1+PCF没有零点在（2）乘积PCF在没有零极相消将P,C,F写成互质多项式的比：反馈系统的特征多项式就是闭环极点就是特征多项式的零点Nyquist稳定判据构造PCF的Nyquist图，将围线D在虚轴上的极点处向左绕过这一点（这样就把虚轴上的极点划归到右半平面）。 令N表示P、C和F在的极点总数，那么反馈系统是内稳定的，当且仅当Nyquist图不通过-1点，并且逆时针包围-1点N次。D3.3渐近跟踪考虑如图3.4所示的单位反馈回路（F=1）我们希望研究当时间趋向无穷时系统跟踪某些试验信号的能力。PC—ee为跟踪误差，当n=d=0，e等于参考输入（理想的响应）r与对象输出（实际的响应）y之差。阶跃斜坡r→y的传递函数r→e的传递函数对于传递函数的摄动，将引起的摄动，则相对摄动的比表示了对的变化的敏感程度。定义敏感函数SensitivityFunction闭环传递函数对的无限小摄动的灵敏度称为系统的敏感函数。定义补敏感函数ComplementorySensitivityFunction

称为系统的补敏感函数系统渐近跟踪阶跃和斜坡的能力取决于敏感函数在原点s=0处的零点数。定理3

假定反馈系统是内稳定的，且n=d=0(1)对于r1(阶跃)，系统渐近跟踪(t→∞,e(t)→0)，当且仅当至少由一个零点在原点。(2)对于r2(斜坡)，系统渐近跟踪，当且仅当至少由两个个零点在原点。定理的证明应用终值定理：如果是一有理Laplace变换，除了可能有一单极点在原点以外没有极点在,那么存在且等于定理3定理3的证明(1)由于系统是内稳定的，则是一稳定的传递函数。根据终值定理，则，即至少有一零点在原点。(2)证明类似。例从r到e的传递函数等于可见s=0的开环极点成了闭环误差传递函数的零点，这一零点与的极点相消，结果在中便没有不稳定的基点。斜坡输入的情况与之类似。3.4性能本节考察跟踪参考信号的情况。前面一节仅考虑完全渐近跟踪单一的信号，现在考察不同输入信号的集合下跟踪性能的量度。确定性能指标（即跟踪特性好坏的亮度），取决于两方面的因素：我们知道多少r的信息；用什么方式来量测跟踪误差。通常r是预先未知的，但我们总是要预先知道一组可能的输入，或至少也是为了设计的需要而假定预知的。输入信号一考虑任意幅值不大于1的正弦信号由则即定义权函数，则由有以为跟踪性能的量度，将性能指标进行了标称化。一般地，这种处理可视为在参考输入信号后串联了一个滤波器。r0(t)r(t)e(t)一般为低通滤波器输入信号二考虑任意能量（在沿频率加权的意义下）不大于1的输入信号标称化地，令作为系统跟踪性能设计的指标，可保证r0(t)e(t)第三章总结良定性：系统传递函数的可实现性判定：开环传递函数的正则性内稳定性：系统内部所有信号的稳定性，整个系统的安全性判定：开环传递函数是否零极相消跟踪性：系统跟踪不同信号的能力判定：鲁棒控制理论第四章不确定性和鲁棒性前言没有任何一个物理系统是可以用准确的数学模型来代表的。由于这一原因，我们必须知道建模误差对控制系统的性能可能会产生怎样的不利影响。本章开始论述各种不确定对象的模型，进而用小增益定理研究鲁棒稳定性，即在对象存在不确定性的情况下的稳定性问题。最后一个专题是鲁棒性能问题，在对象不确定的情形下确保跟踪目标的实现。4.1对象的不确定性模型建模基本方法：集合模型（模型族）用一个集合P来代表对象的模型。这个集合可以是结构化的或者是非结构化的。结构化不确定性模型(StructuredUncertainty)描述不确定性的来源和位置明确的情况。参数化不确定性：以有限个参数的不确定性来表示集合模型。离散化不确定性：以离散的对象模型的集合来表示集合模型。非结构化不确定性模型UnstructuredUncertainty描述“未建模动态”造成的不确定性乘积摄动模型设标称对象的传递函数为，实际对象的传递函数为当，或变形为构造乘积摄动模型通常假定和是稳定的传递函数，而且的摄动不构成中不稳定极点的消除（和具有相同的不稳定极点），此时称是可容许的（allowable)。为尺度因子。例1：乘积摄动模型建模实例根据试验，获得稳定对象的频率响应特性其中i为频率点的编号，k为试验次数的编号选取标称对象传递函数，获得频率响应特性选取，满足Puy

乘积摄动不确定性模型又称圆状不确定性模型（Disk-likeUncertainty）对每个,上式表示一个以（1，j0)为圆心，为半径的圆。简单，规范，但较保守。1例2：模型嵌入方法结构化不确定性模型与非结构化不确定性模型之间的转换（结构化不确定性模型嵌入非结构化不确定性模型）设标称模型为（如理想的直流电机，无阻尼）设实际对象含有时间滞后，即现将上述不确定性模型嵌入乘积摄动模型。由画出选择例3：模型嵌入方法设实际对象传递函数，其中现将它嵌入乘积摄动模型。令标称对象选择，满足为取得最小上界，取则其他不确定性模型一些常用的不确定性模型在用每一种模型时都要对和作适当的假设。4.2鲁棒稳定性(RobustStability)定义：鲁棒性给定不确定性系统的模型（模型族）P给定控制器C给定系统的性能指标J若,闭环系统性能满足J，则称C对于P在J的意义下是鲁棒控制器，或闭环系统在J的意义下具有鲁棒性定义：鲁棒稳定性（乘积摄动）设为系统的不确定性模型，则当控制器C对于P中的每一个对象保持闭环系统内稳定时，则称系统是鲁棒稳定的。三大要素Nyquist图开环传递函数闭环传递函数闭环特征方程0ImRe(-1,j0)极点零点×的零点Nyquist图我们希望知道如何检验鲁棒稳定性这种检验应与和有关。如果对的大小有一量测，则所能稳定的最大的可用来表示一种稳定裕量。Nyquist图给出了稳定裕量的信息。-1然而，作为一种稳定裕度的量测，上述距离并不完全恰当，因为它不包含频率信息。更确切地说，如果标称对象摄动到，与具有完全相同数量的不稳定极点，并且满足不等式那么内稳定就能保持（Nyquist图包围临界点的圈数不变）但通常这是非常保守的。例如，在远离临界点的地方可以容许较大的摄动。鲁棒稳定性判据考察如图的不确定性系统定理1：设对象不确定性满足乘积摄动模型，即设控制器使标称对象内稳定则控制器使内稳定其中为标称系统的补敏感函数定理1的证明充分性已知，摄动系统的开环传递函数根据Nyquist稳定性判据，由于标称系统内稳定(1)不通过点，而可容许的(2)令(摄动系统的闭环特征多项式)01位于以1为圆心，半径小于1的闭圆内，相位角变化<360°围绕(-1,j0)的圈数=围绕(-1,j0)的圈数则摄动系统内稳定必要性：用反证法设假定处，有则若取（满足），则在处，有由于，则在处，即通过(-1,j0)点则摄动系统不稳定。证毕。说明设系统不确定性满足以下模型给定控制器，设使标称对象内稳定，则若则称为乘积摄动模型下的稳定裕度。定理1可用于寻找乘积摄动模型下的稳定裕度由其中则由定理1，即则可取图示鲁棒稳定性条件也可以用图形来解释。注意到-1L最后一个不等式表明，在每一个频率下，临界点-1都位于以为圆心，以为半径的圆外，如图小增益定理M鲁棒稳定性检验小结摄动条件4.3鲁棒性能（鲁棒跟踪性）假定对象传递函数属于集合。鲁棒性能的一般含义是指集合中的所有元素都满足内稳定和一种特定的性能。定义：鲁棒跟踪性设对象不确定性满足乘积摄动模型，即对于给定的参考输入信号，当鲁棒稳定的控制器对于，有，称系统是鲁棒跟踪的，其中为摄动系统的敏感函数。分析

为鲁棒稳定控制器的条件为其中为标称系统的补敏感函数对于摄动系统，为鲁棒跟踪控制器的条件为其中则鲁棒跟踪性的条件归结为（鲁棒稳定性）

(跟踪性）鲁棒跟踪性判据定理2：设对象不确定性满足乘积摄动模型，即则系统具有鲁棒跟踪性定理2的证明充分性必要性4.4更一般的鲁棒性能摄动标称性能条件复杂复杂复杂复杂4.5结论假设标称反馈系统是内稳定的，那么标称性能条件鲁棒稳定条件（相对于乘积摄动）同时达到标称性能和鲁棒稳定的条件鲁棒性能条件和鲁棒性能条件的检验条件鲁棒控制理论第五章参数化和同时镇定系统的综合问题之一：系统镇定考虑以下系统，其中P严格正则，C正则标称系统强适定系统综合命题一般为：给定P,设计C，使得反馈系统达到：（1）内稳定；（2）具有某些希望的附加特性一般方法： 把所有满足（1）的C参数化，然后考察是否存在一个参数使（2）成立。PC-+5.1控制器参数化：稳定对象

令为所有稳定、正则、实有理传递函数的集合性质：代数系统是一个具有单位元的环(可交换环)

定理1：假定，那么使反馈系统内稳定的所有控制器的集合为：定理1的证明定理1的证明（续）一个简单的应用5.2互质分解CoprimeFactorization定义：性质：

例如：定义：通常由给定的构造和是比较方便的。例：Euclid算法步骤被除数除数商余备注123……………………n例：

的互质分解思路：步骤：5.3控制器参数化(Parametrization)：

一般对象定理2为证明定理2，先给出以下引理引理1：证明：定理2的证明定理2的证明(续)定理2的证明(续)推论注注5.4强镇定系统可靠性——采用自身稳定的控制器进行系统镇定，避免反馈回路开路时出现故障。定义：强镇定(StrongStabilization)定理3：定理3的证明定理3的证明(续)定理3的证明(续)定理3的证明(续)定理3的证明(续)…--定理3的证明(续)定理3的证明(续)

例1：不可强镇定的例子例2：可以强镇定的例子5.5同时镇定

——单一控制器(固定参数)镇定多个不同对象的问题例4鲁棒控制理论第六章H∞标准控制前言本章在标准框架下讨论H∞控制问题的求解。H∞控制理论可分为频域方法和时域方法。本章开始介绍时域方法。时域状态空间方法包括Riccati方法和LMI(LinearMatrixInequality，线性矩阵不等式)方法。本章将重点介绍理论上成熟的Riccati方法（包括状态反馈求解方法和输出反馈求解方法），并对近年非常流行的LMI方法进行必要的讨论