2024考研数学三历年真题｜含答题卡

2024考研数学三历年真题｜含答题卡一、单项选择题（10小题，每小题5分，共50分）下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设函数$f(x)$在区间$I$上连续且可导，$f'(x)$单调递减，若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=0$，则下列结论正确的是：A.当$x>a$时，$f(x)>0$，且$f(x)$在$x=a$处取得极大值B.当$x<a$时，$f(x)<0$，且$f(x)$在$x=a$处取得极小值C.存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使$f'(\xi)=0$且$f(\xi)>0$D.对任意$x\in(a,b)$，$f(x)>0$当且仅当$f'(x)<0$2.设函数$g(x)$具有二阶连续导数，且$g(0)=1$，$g'(0)=2$，$g''(0)=3$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2g(x)-2xg'(x)+g(0)}{x^3}$等于：A.$-\frac{1}{2}$B.$0$C.$\frac{1}{2}$D.$1$3.已知函数$h(x)=\int_0^x\arctan(t^2)\,dt-x\arctan(x^2)$，则$h(x)$在$(0,+\infty)$上的单调性为：A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增4.设函数$\varphi(x)=\int_0^x\frac{t^2+1}{t^4+1}\,dt$，则$\varphi(x)$在$(-\infty,+\infty)$上：A.有且仅有一个零点B.有两个零点C.无零点D.零点个数不确定5.已知函数$\psi(x)$满足$\psi'(x)=\frac{\lnx}{x}$，且$\psi(1)=0$，则$\psi(e^2)$的值为：A.$2\ln2$B.$2\ln2+1$C.$\ln2$D.$\ln2+1$6.设函数$\zeta(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt$，则$\zeta'(x)$等于：A.$\cos(x^2)$B.$\sin(x^2)$C.$2x\cos(x^2)$D.$2x\sin(x^2)$7.已知函数$\eta(x)=\frac{\lnx}{x}$在$(0,+\infty)$上取得最大值时$x$的取值为$a$，则$a$满足：A.$a>1$B.$a=1$C.$0<a<1$D.$a$不存在8.设函数$\theta(x)$在$[a,b]$上连续，且满足$\int_a^b\theta(x)\,dx=0$，$\int_a^b\theta(x)x\,dx>0$，则下列不等式一定成立的是：A.$\theta(x)\geq0$在$(a,b)$上恒成立B.$\theta(x)\leq0$在$(a,b)$上恒成立C.存在唯一的$c\in(a,b)$，使$\theta(c)>0$D.存在唯一的$d\in(a,b)$，使$\theta(d)<0$9.已知函数$\phi(x)=\int_0^x\frac{\sint}{1+t^2}\,dt$，则$\phi'(x)$等于：A.$\frac{\sinx}{1+x^2}$B.$\sinx$C.$\frac{\cosx}{1+x^2}$D.$\cosx$10.设函数$\omega(x)=\int_0^x\frac{t^2+1}{t^4+1}\,dt$，则$\omega'(x)$等于：A.$\frac{x^2+1}{x^4+1}$B.$\frac{x^2-1}{x^4+1}$C.$x(x^2+1)$D.$x(x^2-1)$二、填空题（6小题，每小题5分，共30分）1.设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶导数，且$f(0)=0$，$f'(0)=1$，$f''(0)=3$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-x-\frac{3}{2}x^2}{x^3}$等于________。2.设函数$g(x)=\int_0^x\frac{t^2+1}{t^4+1}\,dt$，则$g'(1)$等于________。3.已知函数$h(x)=\int_0^x\arctan(t^2)\,dt-x\arctan(x^2)$，则$h'(x)$等于________。4.设函数$\varphi(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt$，则$\varphi'(0)$等于________。5.已知函数$\psi(x)$满足$\psi'(x)=\frac{\lnx}{x}$，且$\psi(1)=0$，则$\psi(e)$等于________。6.设函数$\theta(x)$在$[a,b]$上连续，且满足$\int_a^b\theta(x)\,dx=0$，$\int_a^b\theta(x)x\,dx=1$，则$\int_a^b\theta(x)(x^2+1)\,dx$等于________。三、解答题（6小题，共70分）1.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，证明存在唯一的$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cf(x)\,dx=\int_c^bf(x)\,dx$。2.（10分）设函数$g(x)=\int_0^x\frac{t^2+1}{t^4+1}\,dt$，求$g(x)$在$[0,+\infty)$上的渐近线。3.（10分）设函数$h(x)=\int_0^x\arctan(t^2)\,dt-x\arctan(x^2)$，证明$h(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减。4.（10分）设函数$\varphi(x)=\int_0^x\cos(t^2)\,dt$，求$\varphi(x)$在$[0,1]$上的最大值和最小值。5.（10分）设函数$\psi(x)$满足$\psi'(x)=\frac{\lnx}{x}$，且$\psi(1)=0$，求$\psi(x)$的表达式，并讨论其单调性。6.（20分）设函数$\theta(x)$在$[a,b]$上连续，且满足$\int_a^b\theta(x)\,dx=0$，$\int_a^b\theta(x)x\,dx=1$，证明：（1）存在$d\in(a,b)$，使$\theta(d)>0$；（2）若$\theta(x)\geq0$在$(a,b)$上恒成立，则$\theta(x)$在$(a,b)$上恒为常数。【标准答案及解析】一、单项选择题答案1.C2.C3.B4.A5.A6.A7.C8.D9.A10.A二、填空题答案1.$\frac{1}{2}$12.$\frac{1}{3}$13.$\arctan(x^2)-2x\arctan(x^2)$2.$\cos(0^2)=1$15.$1-\frac{1}{2}\ln2$16.1三、解答题答案1.证明：令$F(x)=\int_a^xf(t)\,dt-\int_x^bf(t)\,dt$，则$F(a)=\int_a^bf(t)\,dt>0$，$F(b)=-\int_a^bf(t)\,dt<0$，由零点定理，存在$c\in(a,b)$，使$F(c)=0$，即$\int_a^cf(x)\,dx=\int_c^bf(x)\,dx$。又$f(x)>0$，$F(x)$单调递减，故$c$唯一。2.解：$\frac{t^2+1}{t^4+1}=\frac{1}{t^2+1}+\frac{t^2}{t^4+1}$，$\int_0^x\frac{1}{t^2+1}\,dt=\arctanx$，$\int_0^x\frac{t^2}{t^4+1}\,dt=\frac{1}{2}\ln(t^4+1)\big|_0^x=\frac{1}{2}\ln(x^4+1)$，故$g(x)=\arctanx+\frac{1}{2}\ln(x^4+1)$。当$x\to+\infty$时，$g(x)\sim\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\lnx^4=2\lnx+\frac{\pi}{2}$，故$y=2\lnx+\frac{\pi}{2}$为渐近线。3.证明：$h'(x)=\arctan(x^2)-2x\arctan(x^2)-x\cdot2x\cdot\frac{1}{1+x^4}=\arctan(x^2)-2x\arctan(x^2)-\frac{2x^3}{1+x^4}$$=\arctan(x^2)(1-2x)-\frac{2x^3}{1+x^4}$，令$r(x)=\arctan(x^2)(1-2x)-\frac{2x^3}{1+x^4}$，则$r'(x)=2x(1-2x)\cdot\frac{2x}{1+x^4}-\frac{2(1+x^4)-8x^4}{(1+x^4)^2}$$=\frac{4x^2(1-2x)(1+x^4)-2(1-7x^4)}{(1+x^4)^2}$，分子$=4x^2(1-2x)(1+x^4)-2+14x^4=4x^2+4x^6-8x^3-8x^6-2+14x^4=-4x^6-8x^3+18x^4-2$，在$(0,+\infty)$上$r'(x)<0$，故$r(x)$单调递减，$r(x)<r(0)=0$，即$h'(x)<0$，故$h(x)$单调递减。4.解：$\varphi'(x)=\cos(x^2)>0$在$[0,1]$上恒成立，故$\varphi(x)$在$[0,1]$上单调递增，最大值为$\varphi(1)=\int_0^1\cos(t^2)\,dt$，最小值为$\varphi(0)=0$。5.解：$\psi'(x)=\frac{\lnx}{x}$，$\psi(x)=\int_0^x\frac{\lnt}{t}\,dt+C$，令$t=ut$，则$\int\frac{\lnt}{t}\,dt=\frac{1}{2}(\lnt)^2+C$，故$\psi(x)=\frac{1}{2}(\lnx)^2+C$，由$\psi(1)=0$，得$C=0$，故$\psi(x)=\frac{1}{2}(\lnx)^2$。$\psi'(x)=\frac{\lnx}{x}$，当$0<x<1$时，$\psi'(x)<0$；当$x>1$时，$\psi'(x)>0$，故$\psi(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。6.证明：（1）令$F(x)=\int_a^x\theta(t)\,dt$，则$F(a)=0$，$F(b)=\int_a^b\theta(t)\,dt=0$，由罗尔定理，存在$d\in(a,b)$，使$F'(d)=\theta(d)=0$。又$\int_a^b\theta(t)x\,dt=1$，令$G(x)=\int_a^x\theta(t)x\,dt$，则$G'(x)=x\theta(x)+\int_a^x\theta(t)\,dt=x\theta(x)+F(x)$，$G(b)=b\int_a^b\theta(t)\,dt+F(b)=0$，$G(a)=0$，由罗尔定理，存在$