2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优8　数列中的奇偶项问题

培优8数列中的奇偶项问题类型1

an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n)型1.an+an+1=f(n)型:由an+an+1=f(n),得an+1+an+2=f(n+1),从而an+2-an=f(n+1)-f(n),特别地,当f(n)=

an+b(a≠0)时,an+2-an=a,则{an}的偶数项与奇数项分别构成一个公差为a的等差数列.2.an·an+1=f(n)型:由an·an+1=f(n),得an+1·an+2=f(n+1),从而

=

,特别地,当f(n)=aqn时,

=q,则{an}的偶数项与奇数项分别构成一个公比为q的等比数列,其中a≠0,q≠0,1.例1已知数列{an}满足:a1=1,an+an+1=3n+λ(n∈N*),λ∈R.(1)证明:数列{a2n}是等差数列;(2)是否存在λ,使得数列{an}为等差数列?若存在,求λ的值及数列{an}的前n项和Sn;若不

存在,请说明理由.解析

(1)证明:根据递推关系,将n换成n+1,所得式子与原式相减即可得到an+2-an=3,再利

用等差数列的定义证明数列{a2n}是等差数列.由an+an+1=3n+λ,得an+1+an+2=3n+3+λ,两式相减得an+2-an=3,又a1+a2=3+λ,a1=1,则a2=2+λ,故{a2n}是首项为2+λ,公差为3的等差数列.(2)根据题意求出a2,a3,假设存在λ满足题意,由等差中项得2a2=a1+a3,求得λ,后面再验证.假设存在λ,使得数列{an}为等差数列,由(1)可知,a1+a2=3+λ,a2+a3=6+λ,又∵a1=1,∴a2=2+λ,a3=4,由2a2=a1+a3可得2(2+λ)=1+4,解得λ=

,当λ=

时,由(1)可知an+2-an=3,当n为奇数时,an=a1+

×3=1+3

=

,当n为偶数时,an=a2+

×3=

+3

=

,∴an=

(n∈N*),则{an}是首项为1,公差为

的等差数列,∴Sn=

=

=

.例2已知数列{an}满足a1=2,且anan+1=22n+1(n∈N*),求{an}的通项公式.解析对于这种相邻项相乘的形式,常用n+1代替n,然后两式相除,化为类似等比数列的

递推结构.因为anan+1=22n+1,所以an+1an+2=22(n+1)+1=22n+3,两式相除得

=

,故

=4,

若看不懂

=4,可取一些值代进去看看,

于是{an}的奇数项、偶数项分别构成公比为4的等比数列,故应分奇偶分别求通项

当n为奇数时,设n=2k-1(k∈N*),则k=

,an=a2k-1=a1·4k-1=2×4k-1=22k-1=2n;当n为偶数时,设n=2k(k∈N*),则k=

,an=a2k=a2·4k-1①,在anan+1=22n+1中,令n=1,得a1a2=23=8,故a2=

=4,代入①得:an=4×4k-1=4k=

=2n.综上所述,∀n∈N*,都有an=2n.类型2

an=

型此类问题的常用解法:1.按奇偶项分为两个数列分别求解,但要注意原数列项数分奇数和偶数讨论.2.利用an=

转化为数列{an}的奇数项和偶数项求解.例

(2025山东省实验中学诊断考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=13,an+1=

(1)证明:数列{a2n-1-12}为等比数列;(2)求数列{an}的前2n+1项和S2n+1.解析

(1)证明:根据题意只需证明当n≥2,n∈N*时,

为定值,且a1-12≠0即可.因为an+1=

所以当n≥2,n∈N*时,a2n-1-12=a2(n-1)+1-12=3a2n-2-12=3a(2n-3)+1-12=3(a2n-3-8)-12=3(a2n-3-12),即

=3,又n=1时,a1-12=13-12=1,所以数列{a2n-1-12}是首项为1,公比为3的等比数列.(2)先由(1)可得a2n-1=3n-1+12,a2n-2=3n-2+4,n≥2,n∈N*,再利用等比、等差数列前n项和公式求和,即可求解S2n+1.由(1)知a2n-1-12=3n-1,所以a2n-1=3n-1+12,又由an+1=

可得a2n-2=3n-2+4,n≥2,n∈N*,所以S2n+1=a1+a2+a3+…+a2n+a2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(a2+a4+…+a2n)=[(30+12)+(31+12)+…+(3n+12)]+[(30+4)+(3+4)+…+(3n-1+4)]=[30+3+…+3n+12(n+1)]+(30+3+…+3n-1+4n)=

+

+16n+12=2×3n+16n+11.类型3递推式中含有(-1)n型对n分奇、偶进行讨论,转化为相邻两项和或差求解.当项数不确定时,要分奇数和

偶数讨论求解.例1设an=(-1)n·(4n-3),则数列{an}的前n项和Sn=______________.解析

{an}的通项公式中有(-1)n这一结构,不便于直接求和,怎么办呢?不妨先列出若干

项观察规律,数列{an}中的项依次为-1,5,-9,13,-17,21,…,我们发现,若按a1+a2,a3+a4,a5+a6,…来组合,则每组的和均为4,能否恰好分完,由n的奇偶

决定,故需讨论,先考虑n为偶数这种简单的情形,当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…+(an-1+an)=

×4=2n;对于n为奇数的情形,可以按上面的方法重新计算,分完组最后会余下一项,单独加上去

即可.但更简单的做法是补一项凑成偶数项,再把补的这项减掉,当n为奇数时,Sn=Sn+1-an+1=2(n+1)-(-1)n+1·[4(n+1)-3]=2n+2-(4n+1)=1-2n.综上所述,Sn=

例2

(高考真题精选)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为____________.

1830

解析在an+1+(-1)nan=2n-1中,分别用2n,2n-1代替n得a2n+1+a2n=4n-1,a2n-a2n-1=4n-3,两式相减

得a2n+1+a2n-1=2,可得S奇.由an+1+(-1)nan=2n-1可得a2n+1+a2n=4n-1,a2n-a2n-1=4n-3.两式相减可得a2n-1+a2n+1=2,所以(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)=2×15=30.在an+1+(-1)nan=2n-1中,分别用2n,2n+1代替n,得a2n+1+a2n=4n-1,a2n+2-a2n+1=4n+1,两式相加得a2

n+a2n+2=8n,可得S偶.由an+1+(-1)nan=