2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优9　衍生数列问题

培优9衍生数列问题类型1去项、插项问题解决插项、去项问题的关键是要弄清楚插入或去掉的项数,同时还要分析这些项

的特征,以及这些项与原数列各项之间的关系,然后利用分组或并项法求和.例1在数列{an}中的相邻两项an与an+1(n∈N*)之间分别插入一个首项为an-

,公差为-

的等差数列的前n项,记构成的新数列为{bn},若an=

,则{bn}的前65项的和为

()A.-

B.-13

C.-

D.-14

A

解析根据题意a1和a2间插入的是a1-1一项,a2和a3间插入的是a2-

,a2-1两项,依此类推,数列{bn}为a1,a1-1,a2,a2-

,a2-1,a3,a3-

,a3-

,a3-1,…,an,an-

,an-

,an-

,…,an-

,an-1,an+1,…,要求{bn}的前65项的和,需要想一下插入了多少项,容易观察到相邻项间插入的项数是

首项为1,公差为1的等差数列,可以通过其前n项和判断插入了多少项,由Tn=

<65解得n的最大值为10,所以共插入了

=55项,所以{bn}的前65项是由{an}的前10项和插入的55项构成的.如何求这些项的和呢?注意观察{an}的通项公式an=

,无法直接求和,如何将分母去掉呢?通过观察{bn}的项可以发现,an与其后插入的n项可以看作首项是an,公差是-

的等差数列,故这(n+1)项的和Sn=(n+1)an-

·

=2-

=

(3-n),所以{bn}的前65项和为S1+S2+…+S10=

=-

,故选A.例2记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,等比数列{bn}的公比为q(q>0),已知a1=b2=

4,q=

d,S9=9b4.(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)将{an},{bn}中相同的项剔除后,两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列,构成数

列{cn},求{cn}的前100项和.解析

(1)由S9=9b4,得9a1+

d=9b2q2,因为a1=b2=4,所以1+d=q2.结合q=

d,可得1+

q=q2,即(2q+1)(q-2)=0,由q>0,解得q=2,则d=3,所以数列{an}的通项公式为an=4+3(n-1)=3n+1,数列{bn}的通项公式为bn=4×2n-2=2n.(2)由(1)可知,当n=100时,a100=301.因为bn=2n,所以b1=2,b2=4,b3=8,b4=16,b5=32,b6=64,b7=128,b8=256,b9=512>301,接下来需逐项验证等差数列中与等比数列相同的项,利用等差数列的通项公式建立方

程,进而找出相同项.令2=3n+1,解得n=

,令4=3n+1,解得n=1,令8=3n+1,解得n=

,令16=3n+1,解得n=5,令32=3n+1,解得n=

,令64=3n+1,解得n=21,令128=3n+1,解得n=

,令256=3n+1,解得n=85,所以数列{an}的前100项中与数列{bn}中相同的项共有4项,即4,16,64,256,即为{bn}的前

8项中的偶数项.将{an},{bn}中相同的项剔除后,两个数列中余下的项按从小到大的顺序

排列构成数列{cn},则{cn}的前100项为数列{an}的前100项中剔除与数列{bn}相同的4项

后剩余的96项与{bn}的前8项中剔除与数列{an}相同的4项后剩余的4项,所以{cn}的前100项和为

+

-2×(4+16+64+256)=15080.技巧总结

数列的去项、插项问题,核心在于分析去项、插项后的数列的构成,要解决这个问

题,往往需要结合通项先估计临界位置大概在哪里,再到附近去尝试.类型2公共项问题数列中的公共项问题是指在给定数列中,找出满足特定条件的公共项或多项.解决

数列公共项问题的关键是观察数列的规律.在找到数列的规律后,可以利用相应的数学

公式进行计算.例1将数列{2n-1}与数列{n2-1}的公共项从小到大排列得到新数列{an},则

=_____.解析显然2n-1是奇数,故两个数列的公共项必为奇数,又数列{2n-1}中包含所有的正

奇数,所以关键是找到数列{n2-1}中的前10个为奇数的项,当n为奇数时,设n=2k-1(k∈N*),则n2-1=(2k-1)2-1=4k·(k-1)为偶数;当n为偶数时,设n=2k(k∈N*),则n2-1=4k2-1为奇数,所以{an}即为数列{n2-1}中的偶数项,即a1=22-1,a2=42-1,a3=62-1,……,an=(2n)2-1,所以

=

=

,所以

+

+…+

=

-

+

-

+…+

-

=

=

,所以

+

+…+

=

.例2已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=

(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设集合P={x|x=an,n∈N*},Q={x|x=6n-3,n∈N*},将集合P∪Q中的项按照从小到大的顺

序排列,得到数列{xn},求数列{xn}的前50项和.解析

(1)因为Sn=

,所以a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=

-

=3n-2,又a1=1也满足上式,所以an=3n-2(n∈N*).(2)从条件来看,把{an}和{6n-3}的项合在一起,就构成了P∪Q,但由于P∪Q中不允许元

素重复,所以若有公共项,则公共项只计入一次,故先分析{an}和{6n-3}有无公共项,记bn=6n-3,则bn+1-bn=6(n+1)-3-(6n-3)=6,所以{bn}是公差为6的等差数列,若bn=am,则6n-3=3m-2,所以m=2n-

,因为∀n∈N*,2n-

∉N*,所以m=2n-

不可能成立,从而bn=am不可能成立,故{an}和{bn}没有公共项,接下来分析{xn}的前50项中,哪些是{an}中的,哪些是{bn}中的,观察通项公式可知{bn}增

长得比{an}快,故由小到大排序后,{xn}的前50项中,{bn}中的项肯定比{an}中的少,结合n

的系数是2倍的关系,不妨先考虑{an}的第33项和{bn}的第17项,把它们附近的几项都算

出来观察,因为b16=6×16-3=93,b17=6×17-3=99,b18=6×18-3=105,a33=3×33-2=97,a34=3×34-2=100,所以b16<a33<b17<a34,说明数列{xn}第50项附近的顺序应为a33,b17,a34,从而数列{xn}的前50项由数列{an}的前33项与数列{b